2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期第二次学情调研数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期第二次学情调研数学试题一、单选题1．已知（i是虚数单位），则A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用复数除法运算求得，再求.【详解】依题意，所以.故选：B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.2．在中，若，则的最大角与最小角之和是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，由余弦定理可得，，由为三角形内角，∴，则最大角与最小角的和是.故选：B3．向量，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，所以在上的投影向量是,故选：C4．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】试题分析：均值为;方差为,故选D.【解析】数据样本的均值与方差.5．如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（

）A．直线上 B．直线上C．直线上 D．内部【答案】C【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到平面平面，从而得到点在底面上的射影的位置.【详解】连接，如图所示.∵，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.又∵平面平面，∴点在底面上的射影必在直线上.故选：C.6．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式：即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积，截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，而圆台的侧面积．故两者侧面积的比值．故选：B7．中，所对的边分别为，若，，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理列出方程，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，即，又因为，可得，所以，因为，由余弦定理可得，即，所以.故选：D.8．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】连接相交于点，由平面，得是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，则，进而得的表达式，由的范围可得答案.【详解】如图，连接相交于点，连接，则是的中点，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，则是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，设，所以，，所以，因为，所以，所以，即.故选：A．二、多选题9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（

）A．平均数为3 B．标准差为C．众数为2 D．85%分位数为5【答案】AD【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得，所以A正确；由方程的公式，可得，所以标准差为，所以B错误；由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确.故选：AD.10．已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，且与不平行，，，则【答案】BD【分析】根据线面位置关系判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，，则或，所以A不正确；对于B中，若，，，由线面垂直的性质和面面垂直的定义，可得，所以B正确；对于C中，若，，，则或与异面，所以C不正确；对于D中，因为，，且与不平行，设，又由，，根据面面平行的判定定理，可得，所以D正确.故选：BD.11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则面积的最大值为C．若，且只有一解，则的取值范围为D．为的外心，则【答案】ABD【分析】根据题意，利用正弦定理求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据正弦定理，求得时也是一解，可判定C不正确；作得到点为的中点，设，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得因为，所以，所以，所以A正确；若，且，所以，由余弦定理得，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，则面积，所以面积的最大值为，所以B正确；若，且，由正弦定理得，可得所以，当时，可得，所以时有一解，所以C不正确；对于D中，如图所示，作交于点点，则点为的中点，且，设，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.12．已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点处，在折起的过程中，下列结论正确的是（

）

A．B．与不可能垂直C．存在一个位置，使为等边三角形D．若菱形的边长为，则四面体体积的最大值为【答案】ACD【分析】根据线面垂直可得线线垂直即可判断A,利用向量垂直以及向量的线性运算和数量积运算即可判断B,根据二面角的几何法，借助于余弦定理即可求解C,根据锥体的体积公式即可求解D.【详解】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，.将沿折起，使顶点至点处，折起过程中，始终与垂直，因此，又，所以由线面垂直的判定定理可得平面，平面,因此，故A正确；B选项，，，由A选项知，，，所以，因此.设菱形的边长为2，易得，，所以，显然当时，，即，故B不正确C选项，因为折起的过程中，边的长度始终不变，因此.若为等边三角形，则.设菱形的边长为2，由，得，即，又，所以，即平面与平面夹角的余弦值为时，为等边三角形，故C正确；D选项，菱形的边长为，则，，，当平面时，四面体的体积最大，此时体积为，故D正确.故选：ACD三、填空题13．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为．【答案】1200【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.14．在中，，，，若是的重心，则.【答案】7【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设，∵，，∴，∵，解得，∴∵是的重心，延长交于点，则为中点，所以,∴，,∴.故答案为：7

15．立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于点，②在点的正西方点测得旗杆顶端的仰角为45°，③在点南偏东60°的点处测得点的仰角为60°，④测得，两点处的距离为米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米．【答案】12【分析】由题意设，则，然后在中利用余弦定理可求出的值，进而可求出的值【详解】解：设，由于在直角中，,在直角三角形，，则，∵，则，故，即，故，，∴．故答案为：12四、双空题16．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则①的余弦值为；②三棱锥外接球的表面积为.

【答案】/【分析】根据题意求得的长，在中，由余弦定理求得的值，再由球的截面圆的性质，列出方程求得三棱锥外接球的半径为，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】在中，因为，，所以，所以.在中，因为，，，所以，所以.又因为，所以在中，由余弦定理得，设的外接圆的半径为，且外接圆的圆心为，可得，所以，设三棱锥外接球的半径为，且外接球的球心为，在直角中，可得，即，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：；.

五、解答题17．已知复数，其中i为虚数单位.(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若，设，试求和的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据题意，结合复数的分类，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，利用复数的运算法则，结合复数相等的充要条件，即可求解.【详解】（1）解：由复数，因为复数是纯虚数，可得且，解得，所以实数的值为.（2）解：当时，可得，所以，所以，.18．如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.

(1)若，求，的值；(2)若，，求.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解；（2）由，，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：在菱形中，是的中点，，则，可得，又因为，所以，.（2）解：因为，，所以，且，因为，，所以，又因为，，所以.19．在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：；(3)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，由中位线定理易得，即可证得结论；（2）由，易得平面，进而可证得结论；（3）取的中点，连结，利用中位线定理得底面，利用即可求体积【详解】（1）连接，由是正方形可知，点为中点，又为的中点，∴，又面，平面∴平面（2）因为底面，底面，∴，由是正方形可知，，又，、平面，∴平面,又平面，∴（3）取的中点，连结，在四棱锥中，底面，∵是的中位线，∴∴底面，∵，∴，∴三棱锥的体积.20．为了了解居民的用电情况，某市供电局抽查了该市若干户居民的月均用电量（单位：kW·h），并将样本数据分组为，，，，，，，其频率分布直方图如图所示.

(1)若样本中月均用电量在内的居民有30户，求样本量；(2)在月均用电量为，，，的四组居民中，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22户居民，则月均用电量在内的居民应抽取多少户？(3)求样本中月均用电量的中位数.【答案】(1)200(2)6(3)中位数为224【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，结合内的居民有30户，求出样本量；（2）计算出四组居民的月均用电量的频率，从而利用比例求出答案；（3）计算得到月平均用电量的中位数在内，设出中位数，列出方程，求出答案.【详解】（1）由，解得，∴月平均用电量在的频率为，∴样本量为，（2）月平均用电量为，，，的四组频率分别为：0.25，0.15，0.1，0.05，则，答：月平均用电量在的用户中应抽取6户.（3）∵前三组频率为，前四组频率为∴月平均用电量的中位数在内，设中位数为，则，解得，所以中位数为224.21．如图，三棱台中，，，.

(1)求证：；(2)若二面角的平面角为60°，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到垂直关系，结合三线合一得到线面垂直，证明出线线垂直；（2）先找到为二面角的平面角，再取的中点，连接，，证明线面垂直，得到为直线与平面所成的角，求出各边长，利用三角函数有关性质求出答案.【详解】（1）证明：取中点，连接，.因为三棱台，有且，所以四边形为平行四边形，所以且.又，所以.因为，，所以.又，，平面，所以平面.因为平面，所以.

（2）由（1）可知，，为二面角的平面角，即.设，则，得为等边三角形.所以，取的中点，连接，，则.由（1）可知平面，平面，从而.又，，平面，所以⊥平面.是在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角.因为，，所以.所以.又，又⊥平面.平面，所以，在中，，.所以直线与平面所成角的正切值为.22．的内角，，的对边分别为，，．已知.(1)求角；(2)若为锐