换元法在中学数学解题中的应用及推广

目录1.引言 1一、换元法研究的背景 1二、换元法研究的意义 1三、换元法研究的方法 22.换元法的发展脉络 23.换元法的概念 34.换元法在中学解题中的应用 4一、换元法在方程中的应用 4二、换元法在方程组中的应用 6三、换元法在不等式中的应用 6四、换元法在数列中的应用 7五、换元法在复数中的应用 8六、换元法在函数和三角函数中的应用 95.换元法在中学解题中的常见错误 12一、“元”与“新元”选择不合理； 12二、将复合函数与原函数混淆； 13三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围； 146.结论 14参考文献 17致谢 18

换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州350108）1.引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展.本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4.换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）x+2x-1（2）x+2x-1（3）x+2x-1解：（1）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y则原方程转化为：需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：-1≤y≤1，又∵y=2x-1∴0≤2x-1解得这个不等式的解为：1故，当12≤x≤1时，方程（2）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y则原方程转化为：y+1得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=yy+1当y≤-1时，新元方程可以化为y=-4，即y=-4；当y≥1时，新元方程可以化为y=4，即y=4；当-1<y<1时，新元方程化为y+1-y+1=2综上所述，转换后的新元方程的解为y=-4或y=4.又∵y=2x-1≥0，∴y=4这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：cos分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解：将cos2x看成“元”，用“新元”y代替，则cos2x=y则有：cos2x+=1+1=1+y=2故，原有的方程转化为：y2+1+y∴y1=0，y所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1）cos2x1=即有x1（2）cos2x2=即有x2（3）cos2x3=即有x3综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3.解方程组：解：设a则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5.（第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x解：将1+2x看做“元”，用“新元”y替换，则1+2x=y；既有x=故，原不等式可以转化为：y易得y≠1；既1-y2>0；故故，0≤1+2x<例题6.如果p+q+r=1，且满足0≤p，q，分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于0≤p，q证明：令p=cos2则有：p=cosx+sinxcosy+sinxsiny=cosx+sinx=cosx+≤cosx+=≤故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列αn由循环公式α1=1，α解：将1+24αn看成“元”，用xn则有α由此可得：α既有：x根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列xn接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列{an}中，α1=1解：将nan看成“元”，用“新元”bn替换，设则有{bn由b故，3既有，bn+1bn=所以bn故，当an=五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数y=解：可以设z∴又∵z根据性质z∴x2+a所以，当z1，z2同向时，即有例题10.设复数z1和z（1）z（2）z分析：如果这一题按照常规方法设：z1=a1+b已知条件便转化为：α要证明的结论也相应的转化为：（1）αβ=那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数fx=2x5解：方法一：将“元”x用“新元”1-2替换，则有f1-我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设1-2=x，则有x（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数fx，将式子中的x2+2x-1f==71x-19=71=52-71例题12.已知fx+1x=x2分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代解：设x+1x=t；则有x∵∴∴∴故，函数的解析式为f总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是ft=t2-t+1含有t的式子.第二，漏了自变量的变化范围例题13.（2009年全国高考文科卷）已知∆ABC是三角形的三个内角A、B、C，且满足条件：A+C=2B，1COSA分析：隐含条件“三角形的内角和为180°”，且条件给的答案“A+C=2B”，故可以利用A+C=120°进行换元.解：设A=60°+α故，1解得：cosα例题14.设a>解：设sinx+cosx∴f（1）当t=2a≥有t=sinx+cosx=f此时t有f（2）当t有t=sinx+cosx=f此时tf（3）当-2<t<综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”.5.换元法在中学解题中的常见错误虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1设x1-y2错解：∵∴∴cosα等式两边同时平方可得：sin2α∴错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件x2正解：∵又∴0∴∴又∴又∴∴二、将复合函数与原函数混淆；例题2知fx+1x=x2分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代解：设x+1x=t；则有x∵∴∴∴故，函数的解析式为f总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是ft=t2-t+1含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3已知：x∈错解：令t=x+4将t=1分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：令∴y=t+故解得：t=解得：y≥17因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广.6.结论数学方法是数学思想的外在表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.

参考文献[1]卢春松.浅析换元法在初中数学解题中的应用[J].数理化学习(初版),2014,10:72+74.[2]陈正学.换元法在初中数学解题中的运用[J].雅安教育学院学报,2001,02:92-93.[3]马文杰.高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究[D].华东师范大学,2014.[4]孙静.新课标下初高中数学教学的衔接研究[D].山东师范大学,2011.[5]刘道明.换元法在初中数学解题中的探究[J].数理化解题研究(初中版),2013,12:17.[6]陶能文.初中方程教学研究[D].东北师范大学,2010.[7]王成营.数学符号意义及其获得能力培养的研究[D].华中师范大学,2012.[8]郝娟.新课程背景下初高中数学教学衔接问题的研究与实践[D].陕西师范大学,2010.[9]于萍.新课标下初高中数学衔接问题研究[D].曲阜师范大学,2013.[10]赖宁.关于《数学课程标准》中一元二次方程的内容研究[D].西南大学,2008.[11]孙巍.在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践[D].上海师范大学,2007.[12]丁承伦,孙玉兰.换元法在解方程中的应用[J].