IBM-SPSS培训：简单线性回归与相关

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简单线性回归与相关13.1相关分析简介13.1.1基本概念13.1.2相关系数的计算13.1.3SPSS中的相应功能13.1.1基本概念（1）线性相关：最简单的一种关联。（2）曲线相关：两变量之间存在相关趋势，但并非呈线性，而是一曲线。（3）非线性相关：X、Y之间没有明显的线性关系，却存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的因素。（4）秩相关：也称等级相关，对原变量的分布不作要求，属于非参数统计方法。（5）正相关与负相关：两变量X、Y同增或同减，变化趋势同向，称为正相关，两变量一增一减，变化趋势反向，称为负相关。（6）完全相关：相关系数的绝对值为1，分为完全正相关和完全负相关。13.1.2相关系数的计算1.相关系数基本思想相关分析往往考察的是两个连续变量的相关关系，对任何类型的变量，都可以使用相应的指标进行相关关系的考察。统计学中，一般用样本相关系数r来推断总体相关系数ρ。对于反映有序变量或连续变量间关联程度的参数，取值范围r为－1～1，r＞0为正相关，r＜0为负相关，r＝0为零相关。2.线性相关系数（Pearson积矩相关系数）线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标，适用于二元正态分布资料。相关系数的计算公式为：相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式为：t统计量服从自由度为n－2的t分布。3.Spearman等级相关系数Spearman等级相关系数相当于Pearson相关系数的非参数形式，它是根据各数据的排序名次进行计算，取值范围也在―1～1之间。适用于那些不满足正态分布的资料、总体分布未知的资料和等级资料。rs的计算公式为：4.Kendall等级相关系数

Kendall等级相关系数是对两个有序变量或两个秩变量之间相关程度的度量统计量，属于非参数统计范畴，它在计算时考虑了结点（秩相同的点）的影响。KendallTau-b，它利用变量值的秩数据，计算一致对数目（U）和非一致对数目（V），其计算公式为：13.1.3SPSS中的相应功能（1）“双变量相关”过程：用于两个或多个变量间的参数或非参数相关分析。（2）“偏相关”过程：若需要进行相关分析的两个变量其取值均受到其他变量的影响，可以通过偏相关分析对其他变量进行控制，给出在控制其他变量影响后两个变量的相关系数，分析思想和协方差分析类似。（3）“距离相关”过程：此过程可对同一变量内部各观察单位间的数值或各个不同变量进行相似性或不相似性距离分析。13.2双变量相关原理1.系数计算Pearson相关系数（积矩相关系数）就是人们定量地描述线性相关程度好坏的一个统计指标。样本的相关系数用r表示，总体相关系数用ρ表示。相关系数的计算公式为：相关系数的特点：（1）相关系数r是一个无单位的量值，其取值范围为－1≤r≤1。（2）r值为正表示正相关；r值为负表示负相关；r值等于0为零相关。（3）相关系数的绝对值越接近于1，表示两变量间的相关关系的密切程度越高；越接近于0，则表示相关程度越不密切。（4）|r|＝1，为完全相关。此种情况很少见。2.相关系数的检验方法常用的检验方法：（1）直接查相关系数临界值表，比较︱r︱与临界值，统计量绝对值越大，概率P越小；统计量绝对值越小，概率P越大。（2）t检验H0为=0，H1为≠0，统计量t值为：3.积矩相关系数应注意的问题（1）散点图可以直观地判断两变量间是否具有线性关系。（2）积矩相关系数要求两变量符合双变量正态分布。（3）作相关分析时，应该剔除离群值。（4）相关分析要有实际意义，两变量相关并不代表两变量间一定存在内在联系。（5）样本的相关系数为0时，并不意味着两变量一定无相关性。（6）分层资料盲目合并时易出现假象。分析实例对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav。利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。1.操作步骤与界面说明

依次单击菜单“分析”|“相关”|“双变量…”命令。2.结果解释（1）描述性输出。“描述性统计量”表格给出了两个变量的基本统计信息，包括均值和标准差。（2）相关性输出。“相关性”表格给出了Pearson相关系数及其检验结果。可以推断出碘含量与甲状腺肿之间存在着明显的正相关。Spearman等级相关系数

结果显示，Spearman相关系数为0.979，P<0.01，在α=0.05的水平上是拒绝原假设的，结论同前。

Kendall等级相关系数

此系数是用于反映分类变量相关性的指标，适用于两个变量均为有序分类的情况。分析结果同前。13.3偏相关分析13.3.1含义在实际应用中，线性相关分析可能会受到其他变量的影响，只有在其他变量固定不变的情况下计算相关系数，才能真正反映它们之间的相关关系，这样的相关分析称为偏相关分析。13.3.2偏相关系数的计算偏相关系数的计算公式为：

就是在控制了第三个因素的影响下所计算的第一个、第二个因素之间的偏相关系数。分析实例

研究者测量得到20名男童身高X（cm）、体重Y(kg)、肺活量Z(L)的数据如图所示，试对控制身高后的体重与肺活量之间的关系进行研究。数据文件见例13-2.sav。1.操作步骤与界面说明

（1）描述性输出。“描述性统计量”给出关于三个变量的均值、标准差和频数。（2）相关性输出。“相关性”表格上部显示三个变量之间都呈显著的正相关。下部结果显示在控制身高的影响后，体重与肺活量之间仍然呈正相关（r=0.461，P=0.047）。13.4距离相关在实际的相关分析中，变量可能多到无法用以上方法解决的地步，变量都携带了一定的信息，彼此之间又有重叠，这时往往需要先对各个指标的差异性、相似程度进行考察，根据结果再考虑如何进行进一步分析。距离分析就是简化数据的一种预分析过程。距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测量指标。1.距离测量指标（1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean距离（欧氏距离）；有Euclidean距离、平方Euclidean距离、块等。（2）计数变量：默认为卡方统计量测量度量。（3）二分类变量：默认为Euclidean距离；有Euclidean距离、平方Euclidean距离、尺度差分、模式差别、方差等。2.相似性测量指标分为计量资料和二分类资料分析实例

有10名学生参加测试，检测了7个指标，分别用变量X1---X7表示，对其进行距离测量，看看哪几个距离比较接近，如图所示。数据见“13-3.sav”。1.操作步骤与界面说明单击度量按钮，弹出下图所示的对话框，单击转换栏的下拉列表，选则Z得分，单击继续后返回。2.结果解释

（1）案例处理摘要。给出了数据使用的基本情况，主要是对于有无缺失值的统计信息，本例无缺失，全部用于分析。（2）近似矩阵，给出各变量之间的相似矩阵。13.5简单回归分析原理1.概念与要求（1）概念线性回归（linearregression）是分析两个定量变量间数量依存关系的统计分析方法。如果某一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且它们的变化关系呈直线趋势，就可以用直线回归方程来定量地描述它们之间的数量依存关系，这就是线性回归分析。（2）要求①因变量Y与自变量X呈线性（linear）关系。②每个个体观察值之间相互独立(independent)。③应变量Y属于正态随机变量（normaldistribution）。④在一定范围内，不同的X值所对应的随机变量Y的方差相等（equalvariance）。2.计算和检验求直线回归方程依据的是最小二乘法(leastsquaremethod)的原理，即各实测点到回归直线的纵向距离的平方和最小，使回归方程可以较好地反映各点的分布情况。a和b的计算式为：（1）方差分析其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F的计算公式为，（2）t检验检验统计量t的计算公式为，其中Sb为回归系数的标准误，3.回归分析的统计预测所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归方程对预报量进行估计。（1）总体均数的置信区间可对总体均数进行置信区间的估计，该范围在散点图上表现为一个二维空间的弧形区带，也称回归直线的置信带。相应的总体均数的（）置信区间为：（2）个体Y值的预测区间个体Y值的预测区间为：。该区间是比总体回归置信带更远离的两条弧形曲线，以95%的区间为例，表示的是期望有95%的数据点所落入的范围。分析实例1.操作步骤与界面说明2.结果解释下图所示是对模型中各个自变量纳入模型情况进行的汇总，由表可见，只有一个自变量，变量选择的方法为强行进入法，也就是将所有的自变量都放入模型中。如下是对回归方程拟合情况的描述，可知相关系数的取值（R），相关系数的平方即决定系数，校正后的决定系数和回归系数的标准误。如下为对模型进行方差分析的结果，F=115.136，P=0.000，提示模型具有统计学意义。a=17.484，b=4.459，回归方程为：13.5.3相关与回归分析的区别与联系1．区别（1）资料要求：相关分析要求两个变量为均服从双变量正态分布的随机变量。回归分析要求应变量服从正态分布，而自变量可以是正态分布的随机变量，也可以是能精确测量和严格控制的变量。（2）统计意义：相关反映两变量间的相互关系。回归则反映两变量间的依存关系。（3）分析目的：相关分析表明两变量间线性关系的密切程度及相关方向。回归分析则用函数公式定量表达应变量随自变量变化的关系。2．联系（1）方向一致：对同一资料，