第7章第40讲-立体几何

课时达标第40讲■立体几何一、选择题若a,“表示两个不同的平面，直线加Ua,则"a丄是“加丄0”的（）充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B解析由面面垂直判定走理得加丄“,"Cana丄“，而a丄0时，a内任意直线不可能都垂直于“,因此“a丄0”是“加丄的必要不充分条件.故选B.已知平而a丄平面伤aCB=l,点AGa,人创，直线AB//1,直线AC丄人直线加〃a,m"B、则下列四种位宜关系中，不一定成立的是（）AB//m B・AC丄加C・AB//p D・ACA.fiD解析如图所示rABII/IIa??；AC丄/fmWl^AC丄〃？；ABWl^ABWp,只有D项不一走成立.故选D.（2019•忻州二中月考）设皿“是两条不同的直线，a,Qy是三个不同的平而.下列命题中正确的有（）若加U0,a丄伤则加丄a；②若a〃0, 则加〃0；若"丄a,"丄艮加丄a,则加丄0；④若a丄""丄八则a丄0・A.①③ B.①②C.③④ D.②③D解析由面面垂直的性质走理知若niUR<a丄"，且加垂直于a,“的交线时，加丄a,故①错误；若all0,则a,“无交点，又〃?Ua,所以mII",故②正确；若n±a,"丄“，则a110,又加丄a,所以加丄0,故③正确；若a丄）,，“丄y,不能得出a丄8,故④错误•4・如图，在斜三棱柱ABC-AiBiC,中，ZBAC=90SBCiXAC,则C】在底面ABC上的射影H必在（）c儿直线A3上直线BC上直线AC上D・ZVIBC内部A解析因为AC丄ABtAC丄BC】，所以AC丄平面ABC]•又因为ACC平面ABC,所以平面ABCi丄平面ABC,所以Ci在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上・5・如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB.ZBCD=45°,ZBAD=90°>将厶ABD沿BD折起，使平而ABD丄平而BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是（）平而ABD丄平而ABC平而ADC丄平而BDC平而ABC丄平而BDC平而ADC丄平而ABCD解析在平面图形中CD丄BD.折起后仍有CD丄BD.由于平面ABD丄平面BCDt

故CD丄平面ABD,CD丄AB,又AB丄ADz故AB丄平面ADCr所以平面ABC丄平面ADC.（2019•宝鸡质检）对于四而体ABCD,给出下列四个命题：①若AB=AC,BD=CD.贝\\BC丄AD：②若AB=CD,AC=BD,贝QBC丄AD；③若AB丄AC.BD丄CD,贝ljBC丄AD：④若AB丄CD,AC丄BD,贝ijBC丄AD.其中为真命题的是（）A.①② B.②③C.②④ D.①④D解析①如图•取BC的中点连接AM,DM•由AB二AC=MM丄BC,同理,DM

丄BC=BC丄平面AMDr而ADU平面AMD,故BC丄AD；④设A在平面BCD内的射影为

Ot连接BO,CO,DOAB丄CD=BO丄CDf由AC丄BD=CO丄BD=O卧BCD的垂心=>DO丄BC=AD丄BC.I)二、填空题如图，已知用丄平而ABC,BC丄AC,则图中直角三角形的个数为 解析因为用丄平面ABC,所以PA丄BC,又AC丄BC,所以BC丄平面PAC,所以几何体中的直角三角形有△刊B,^PAC.马眈和±PBC,共4个.答案4（2019•合肥三中月考）已知“，b表示两条不同的直线，a,伤y表示三个不同的平面,给岀下列命题：若 bUa、"丄b,贝9a丄“：若aUa,a垂直于0内的任意一条直线,则a丄“：若a丄艮aC\fi=a,aC\y=b,贝lj"丄b：若“不垂直于平而g则“不可能垂直于平而a内的无数条直线；若“丄a,“丄艮贝Ija〃呂・其中正确命题的序号是 .解析①一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线垂直，这两个平面不一走垂直，故①错误；②满足两个平面垂直的走义,故②正确；③若a丄久aW二"，My二b,则“与b平行或相交（相交时可能垂直匚故③错误；④若“不垂直于平面a”但“可能垂直于平面a内的无数条直线，故④错误；⑤垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故⑤正确・答案②⑤9・如图，在直四棱柱ABCD-A}B}CxDx中，ZADC=90°9RAAi=AD=DC=29MG平面ABCD,当DiM丄平而AiGD时，DM= ・n解析因为DA二DC=AAi二DDi，且DAtDC.DDx两两垂直,故当点M使四边形ADCM为正方形时，DM丄平面AQD,所以DM二2也答案2返三、解答题10.如图，在四棱柱ABCD-AxBiCiDi中，侧ADDiAi和侧面CDDiCi都是矩形，BC//AD.AABD是边长为2的正三角形，E,F分别为AD.AiD的中点.求证：DDi丄平面ABCDx求证：平而A0E丄平而ADDXAX.证明(1)因为侧面ADDxAx和侧面CDDQ都是矩形，所以DDi±AD，且DD丄CD因为ADCCD二D,所以DD丄平面ABCD.⑵因为乙ABD是正三角形，且E为AD中点r所以BE丄AD,因为DD]丄平面ABCDf而BEU平面ABCDt所以BE丄DD•因为ADC]DDi=D,所以BE丄平面ADD\Ai,又因为BEU平面A\BEt所以平面A\BE丄平面ADD\A\.11.(2019-渭南检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,刊丄平而ABCD.E,F分别是线段AB,BC的中点.证明：PF丄FD；若PA=1,求点E到平而PFD的距离.解析⑴证明：连接AF,则AF=d又DF=£,AD=2.所以DF2+AF2=AD2.所以DF丄AF•因为用丄平WiABCD,所以DF丄用，^PAQAF=A.所以DF丄平而用八又PFU平面刊F,所以DF丄PF・53⑵连接£P，ED,EF•因为S“FD=S处彫ABCD—Sa・BEF—S£ADE—SMDF=2—g=4、所以V1 13 1rtWtP-£FD=^5a££D-=*^x—X1=毎・设点E到'I'THIPFD的Fli•罔为力，则由V:^tf£PFD=V««:pEFD得|sapfd-/i=|x^./,=|,解得h書,即点E到平而PFD的距离为爭.12.（2016浙江卷）如图，在三棱台ABC-DEF中，平而BCFE丄平而ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=\,BC=2,AC=3.（1） 求证：BF丄平面ACFD；（2） 求直线BD与平而ACFD所成角的余弦值.解析（1）证明：延长AD,BEtCF相交于一点K,如图所示・因为平面BCFE丄平面ABC,且AC±BCr所以AC丄平面BCK.因此BF丄AC.又因为EFHBC,BE二EF二FC二—BC二2,所以汕CK为等边三角形，且F为CK的中点f则BF丄CK,所以丄平面ACFD.⑵因为BF丄平面ACKt所以乙BDF是直线BD与平面ACFD所成的角・3在R2BFD中，BF二心tDF二得coszBDF=DFDFcoszBDF=BD、］bf2十DF?7所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为警1.13.［选做题］如图，在直角梯形ABCD中，BC丄DC.AE丄DC,N,M分别是AD,BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是 （填上所有正确说法的序号）.不论D折至何位置（不在平而ABC内）都有M/V〃平而DEC；不论D折至何位置都有MN丄AE：不论D折至何位置（不在平而ABC内）都有MN//AB.解析①如图，分别取EC,DE的中点P.