适用于老高考旧教材2023届高考数学二轮总复习理专题五解析几何课件

专题五解析几何上篇内容索引010203高考小题突破7直线与圆培优拓展❽圆的几何性质与代数关系的转化高考小题突破8圆锥曲线的方程与性质04培优拓展❾圆锥曲线的常用二级结论及其应用内容索引050607◎高考增分大题五圆锥曲线的综合问题培优拓展快准求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法培优拓展解析几何解题基本方法的探究考情分析1.题型、题量稳定:近几年来高考对该部分的考查一般为“2小1大”或“3小1大”,分值约为22到27分,多为中、高档题.2.重点突出:高考对解析几何的考查主要在直线、圆、圆锥曲线上,(1)客观题重点考查直线和圆的方程及位置关系,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线相交的弦长、面积、参数等问题;(2)主观题重点考查圆锥曲线中的最值、范围、证明问题以及有关的定点、定值、探索性问题.3.核心素养:直观想象、逻辑推理、数学运算.备考策略1.夯实基础:直线、圆、圆锥曲线的定义、方程与性质是解析几何的根本,也是高考命题的重点与热点.2.掌握技巧:既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握常用的重要结论和解题的技巧,注重条件的转化及解法的提炼、优化.3.强化作图:依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探究解题思路的过程,将条件标在图形中的过程是条件转化及建立条件与结论联系的过程.真题感悟1.(2021·全国甲·理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(

)答案A

解析

不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,2.(2020·全国Ⅲ·理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(

)答案B

解析

∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为(,0).(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(

)A.4 B.8C.16 D.32答案B

答案C

解析

由题意,点B(0,b).5.(2020·全国Ⅰ·理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(

)A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0答案D

解析

由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.6.(2022·全国乙·理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

.

解析

(方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则圆的方程(方法二)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.若圆过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平分线方7.(2021·全国甲·理15)已知F1,F2为椭圆C:

=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为

.

答案

8

(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.知识精要1.直线方程的五种形式直线方程有:斜截式,点斜式,两点式,截距式,一般式.2.两条直线平行和垂直的充要条件(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.(2)若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,则名师点析与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.3.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.4.圆锥曲线的标准方程

(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).5.圆锥曲线的几何性质

6.圆锥曲线的重要结论(1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆

=1(a>b>0)中,①当P为短轴端点时,θ最大.③焦点三角形的周长为2(a+c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、

④以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程:设P(x0,y0)为圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的任意一点,则过点P(5)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-a)(y-a)=r2.7.圆锥曲线中点弦斜率公式

名师点析对于以上结论(1)(2),可类比圆的垂径定理,设圆的方程为x2+y2=r2,圆的方8.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

高考小题突破7

考点一直线方程及应用典例突破1(1)已知直线l1:(3+2λ)x+(4+λ)y+(-2+2λ)=0(λ∈R),l2:x+y-2=0,若l1∥l2,则l1与l2间的距离为(

)(2)(2022·河南名校联盟一模)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法不正确的是(

)B.若l1∥l2,则a=1或-3C.若l1⊥l2,则a=0或2D.当a>0时,l1始终不过第三象限答案

(1)B

(2)B

1·[-(2a-3)]-a·a=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或-3,当a=1时,直线l1与直线l2的方程都为x+y-1=0,故两直线重合,故B错误;对于C,若l1⊥l2,则1·a+a·[-(2a-3)]=0,即2a2-4a=0,解得a=0或2,故C正确;对于D,因为a>0,l1变为y-1=-x,即l1恒过定点(0,1),且斜率-<0,所以l1恒过第一、二、四象限,不过第三象限,故D正确.故选B.解题技巧解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.(2)注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,两点式要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.对点练1(1)过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0),与y轴正半轴相交于点B(0,b),则2|OA|+|OB|的最小值为(

)(2)(2022·山东济宁期末)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0(m∈R)平行,则直线l1与l2之间的距离为

.

(2)因为直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0平行,所以m-2×(-2)=0,即

考点二圆的方程及应用典例突破2(1)(2022·山东滨州期末)已知圆C的半径为,其圆心C在直线x+y+2=0上,圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4,则圆C的标准方程为(

)A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+2)2+y2=2C.(x+4)2+(y-2)2=2D.(x+3)2+(y-1)2=2(2)若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点,且该圆与直线

x-y-2=0相切,则该圆的标准方程为

.

答案

(1)A

(2)x2+(y-2)2=4

解析

(1)直线kx-y-2k+2=0(k∈R)可变形为k(x-2)-(y-2)=0(k∈R),故过定点A(2,2),由题意圆C的圆心到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为规律方法解决圆的方程问题的方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.对点练2(1)(2022·山西怀仁期末)已知点P为圆(x-1)2+(y-2)2=1上一点,O为(2)(2022·全国甲·文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为

.

答案

(1)B

(2)(x-1)2+(y+1)2=5

设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.考点三直线与圆的综合应用考向1直线与圆的位置关系典例突破3(1)(2022·山东临沂一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=R2,点A(0,2),B(2,0),则“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在圆x2+y2=25上有一点P(4,3),点E,F是y轴上两点,且满足|PE|=|PF|,直线PE,PF分别与圆交于C,D(不同于P),则直线CD的斜率是

.

解析

(1)圆C:(x-3)2+(y-3)2=R2的圆心为C(3,3),半径为|R|,直线AB的方程为充分性:当R2>8时,有|R|>d,所以直线AB与圆C相交,有公共点,故充分性满足;必要性:“直线AB与圆C有公共点”,则有|R|≥d,即“R2≥8”,故必要性不满足.所以“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.故选A.(2)(方法一)如图,过点P作x轴的平行线,交圆弧于G,连接OG,则G(-4,3),PG⊥EF,∵|PE|=|PF|,∴△PEF为等腰三角形,∴PG是△PEF的角平分线,(方法二)由于E,F是在y轴上运动的,当E,F两点向它们的中点靠拢时,C,D两点也在圆弧上向圆弧的中点靠拢,即弦CD的长度变小,当E,F两点重合时,弦CD就变成了圆弧CD的中点,CD的斜率变为圆弧CD中点的切线的斜率,如图,过点P作x轴的平行线,交圆弧于G,则G(-4,3),PG⊥EF,∵|PE|=|PF|,∴△PEF为等腰三角形,∴PG是△PEF的角平分线,∴G就是圆弧CD的中点.规律方法1.直线与圆位置关系判断的三种方法

2.直线与圆相交弦长的求法(1)几何法:求圆心到直线的距离d,再利用公式l=2求解.(2)代数法:直线方程与圆的方程联立得关于x(或y)的二次方程,利用弦长公式求解.对点练3(1)(2022·山东济南一模)已知直线kx-y+2k=0与直线x+ky-2=0相交于点P,O为坐标原点,点A(4,0),则tan∠OAP的最大值为(

)(2)(2022·河南郑州二模)若平面上两点A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹与直线l:y=k(x-1)的公共点的个数为(

)A.2B.1C.0D.与实数k的取值有关答案

(1)B

(2)A

(2)设P(x,y),∵动点P满足|PA|=2|PB|,则Δ=(2k2+4)2-4k2(k2+1)=12k2+16>0,故直线和圆有2个交点.故选A.考向2直线与圆中的最值问题典例突破4(1)(2022·山西1月调研)若点P是圆C:(x+3)2+(y-2)2=1上任意一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为(

)A.5 B.6(2)若P为直线x-y+4=0上一个动点,从点P引圆C:x2+y2-4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),则|MN|的最小值是(

)答案

(1)C

(2)B

解析

(1)圆C:(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径为r=1,直线y=kx-1恒过

(2)如图,由x2+y2-4x=0可得(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,如图所示,要使|MN|的长度最小,即要∠MCN最小,则∠MCP最小,解题方法直线与圆中的最值问题,常见类型及解题思路常见类型解题思路μ=型转化为动直线斜率的最值问题t=ax+by型转化为动直线截距的最值问题,或用三角代换求解m=(x-a)2+(y-b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题对点练4(1)(2022·辽宁抚顺一模)经过直线y=2x+1上的一点P作圆x2+y2-4x+3=0的切线,则切线长的最小值为(

)设f(d)=(36-d2)(1+d)2,则f'(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).所以f(d)在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,②当点D与P在圆心C的同侧时,(ⅰ)当点D在点C,P之间时,△PAB的高为1-d;(ⅱ)当点D在CP的延长线上时,△PAB的高为d-1.根据圆的对称性,当AB与①中相等时,相应的高都小于①中AB对应的高,所以相应△PAB的面积也小.综上,△PAB面积的最大值是10.培优拓展❽圆的几何性质与代数关系的转化在圆的问题中,圆的几何性质与对应代数关系的相互转化是至关重要的一步.如果转化得好,一是能找到解决问题的突破口,二是可以极大地降低运算量,有的题目给的条件可能有多种转化方式,需要寻找最佳转化方式.1.圆的几何关系与代数关系转化的技巧

几何性质代数实现点在圆上点到直径端点的两个向量数量积为零或点与圆心距离等于半径点在圆外点到直径端点的两个向量数量积为正数或点与圆心距离大于半径点在圆内点到直径端点的两个向量数量积为负数或点与圆心距离小于半径2.直线与圆相切问题的转化(1)“直线与圆相切”⇔“切线与过切点的半径垂直⇔圆心到切线的距离等于半径”.(2)过圆外一点作圆的切线,求切线段的长:求出圆心到圆外该点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.【例1】

若圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+y2-8x-10y+2m+6=0外切,则m=(

)A.11 B.18 C.26 D.13答案

D

【例2】

在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称,则k的最小值为(

)答案

D

解析

如图,∵圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,∴圆心纵坐标为2,【例3】

对于任意实数m,直线l:x+my-m-1=0均与圆C:x2+y2=r2(r>0)有交点,则当r取最小值

时,经过直线l与圆C交点的圆C的切线方程为

.

高考小题突破8考点一圆锥曲线定义与标准方程(3)(2022·河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距离为,O为坐标原点,则△POF的面积为

.

解析

(1)设F1(-c,0),F2(c,0),则|PF2|=|F1F2|=2c,则由椭圆定义得|PF1|=2a-|PF2|=2(a-c),所以在△PF1F2中,解题技巧1.应用圆锥曲线定义的技巧:对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离,一般要利用定义进行转化;对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化.2.求圆锥曲线方程的方法:先确定曲线类型,然后利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.对点练1(1)(2021·新高考Ⅰ·5)已知F1,F2是椭圆C:

=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(

)A.13 B.12 C.9 D.6(2)(2022·河北保定期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型,已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36cm,则|AD|=(

)(3)(2022·山东济南一模)已知椭圆C1:

=1的焦点分别为F1,F2,且F2是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点,若P是C1与C2的交点,且|PF1|=7,则cos∠PF1F2的值为

.

则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.(3)因为|PF1|=7,由椭圆的定义得|PF2|=2a-|PF1|=12-7=5,因为点F2是抛物线C2的焦点,则该抛物线的准线l过点F1,如图,过点P作PQ⊥l于点Q,则F1F2∥PQ,由抛物线的定义知|PQ|=|PF2|=5,考点二圆锥曲线的几何性质考向1求椭圆或双曲线的离心率

解析

(1)设椭圆C的右顶点为B,由于P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP与AQ的斜率互为相反数.设直线AP的斜率为kAP,直线BP的斜率为kBP,(3)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=|PF2|+2a,所以|PH|+|PF1|=|PH|+|PF2|+2a.如图,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为A,则有|PH|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a,|AF2|=b,所以b+2a=3a,即b=a,可得离心率规律方法求圆锥曲线的离心率的方法

(2)(2022·山西运城期末)已知点A为椭圆

=1(a>b>0)的左顶点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足∠APO=30°,则椭圆离心率的最大值为

.

(3)(2022·浙江·16)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是

.

故选A.(2)如图所示,由对称性不妨设P在x轴上方,设|PF|=m,∠POF=α,∠PAF=β,∵|OF|=c,|OA|=a,考向2圆锥曲线的其他几何性质典例突破3(1)(2022·山东烟台一模)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(

)A.x=

B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4(2)(2022·河南南阳期末)已知双曲线C:

=1(a>0,b>0),P为双曲线C上的一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c的取值范围是(

)A.(0,1) B.(1,2] C.(0,2] D.[2,+∞)答案

(1)B

(2)D

(3)A

所以E(-2,0),则点A在点E正上方,连接AE,PE,由椭圆的定义,得2a=|PE|+|PF|≤|PA|+|AE|+|PF|=10,即a≤5,所以m=a2≤25,当P,A,E在一条直线上,且点P在第二象限时取等号.2a=|PE|+|PF|≥|PA|-|AE|+|PF|=6,即a≥3,所以m=a2≥9,当P,A,E在一条直线上,且点P在第三象限时取等号.因为点A(-2,2)在椭圆内部,所以当x=-2规律方法

求解与圆锥曲线的几何性质有关问题的方法1.几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,主要考虑用图形的几何性质求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论求解2.代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最值对点练3(1)(2022·山东济宁期末)“1<m<5”是“方程

=1表示椭圆”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点三直线与圆锥曲线的位置关系答案

(1)A

(2)13

∴|AF1|=|F1F2|,∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.规律方法中点弦问题常用的求解方法

对点练4(1)(2022·新高考Ⅱ·16)已知直线l与椭圆

=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则直线l的方程为

.

(2)(2022·陕西咸阳一模)已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+m(k≠0)既是抛物线x2=4y的切线,又是圆x2+(y+1)2=1的切线,则m=

.

(方法二)取AB的中点E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),(2)将y=kx+m代入x2=4y,得方程x2-4kx-4m=0,由题意Δ=16k2+16m=0,所以m=-k2,因为k≠0,所以m≠0.由直线y=kx+m与圆考点四圆与圆锥曲线的综合问题典例突破5(1)(2022·江西吉安期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-4x=0,M(x,y)为抛物线上一点,且x∈[2,4],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为

.

(2)(2022·山东淄博期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为

.

(2)由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0得(x-2)2+y2=1,所以C2是以F(2,0)为圆心,r=1为半径的圆,所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,当且仅当A,B,F在一条直线上时,取等号,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值,根据抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x=-2的距离,所以过点M作准线x=-2的垂线,垂足为N,与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3,所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2.规律方法圆与圆锥曲线的综合问题的求解方法:(1)求解圆与圆锥曲线的综合问题要注意数形结合,搞清问题中已知条件的内在联系,依据所求问题的结论将图形性质、位置关系转化为数量关系,通过数量关系的求解得出结论.(2)圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇的综合问题,一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件,再利用其他的知识点解题,或者是其他的知识点转化为条件,再利用圆锥曲线的几何性质解题.对点练5(1)(2022·山西运城期末)已知椭圆

=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率为

.

(2)(2022·山东泰安期末)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,以F为圆心,3p为半径的圆交抛物线E于P,Q两点,以线段PF为直径的圆经过点D(0,-1),则点F到直线PQ的距离为

.

解析

(1)如图所示,设线段PF的中点为M,连接OM.设椭圆的右焦点为F',连接PF',则OM∥PF',|PF'|=2|OM|,培优拓展❾一、椭圆与双曲线焦点三角形面积公式的应用

证明

在椭圆焦点△PF1F2中,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,则(2c)2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,

解析

(1)(方法一)不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,对点练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(

)A.2 B.4 C.6 D.8答案

(1)B

(2)B

解析

(1)由三角形面积公式得

|PF1|·|PF2|sin

60°,所以|PF1|·|PF2|=4,故选B.(2)(方法一)由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,二、焦点三角形求离心率(1)椭圆结论:设椭圆焦点三角形两个以焦点为顶点的角分别为α,β,则答案

(1)D

(2)D

答案

(1)A

(2)D

三、抛物线的二级结论的应用(1)过抛物线y2=2px(p>0)对称轴上的一点M(t,0)的直线l与抛物线交于(3)过抛物线x2=2py(p>0)焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线交于A,B两点,证明

(1)设直线l的方程为x=my+t,代入y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y1y2=-2pt,又(y1y2)2=(-2pt)2,即4p2x1x2=4p2t2,所以x1x2=t2.(2)如图所示,|FA'|=|AF|cos

θ,由抛物线的定义,|AF|=|AM|=p+|FA'|=p+|AF|cos

θ,【例3】

(1)(2022·山东滨州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为4,过焦点F的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列结论中不正确的是(

)A.抛物线C的准线l的方程为x=-2B.|MN|的最小值为4C.若A(4,2),点Q为抛物线C上的动点,则|QA|+|QF|的最小值为6D.2x1+x2的最小值为4(2)已知抛物线C:y2=4x,点A,B在抛物线上,且分别位于x轴的上、下两侧,若

=5,则直线AB过定点

.

(3)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,|BF|=2,则点A的坐标为

.

答案

(1)B

(2)(5,0)

(3)(2,2)或(2,-2)

解析

(1)∵焦点F到准线l的距离为4,∴p=4,∴抛物线的方程为y2=8x,过Q作准线的垂线,垂足为P,则|QA|+|QF|=|QA|+|QP|≥AP=4+2=6,当且仅当A,Q,P三点共线时取等号,所以|QA|+|QF|的最小值为6,故C正确;(3)(2022·河北邯郸期末)已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上两点,焦点为F,抛物线上存在一点M(3,t)到准线的距离为4,则下列说法不正确的是(

)A.p=2B.若OA⊥OB,则直线AB恒过定点(4,0)答案

(1)C

(2)A

(3)D

高考增分大题五考点一圆锥曲线中的求值问题增分1

圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题

(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或xP=-3.由直线BP的方程得yQ=2或yQ=8.所以点P,Q的坐标分别为(方法三)根据对称性可设Q在x轴上方,由题意可得P也在x轴上方,如右图所示:当P点在y轴左侧时,过P点作PM⊥AB,直线x=6和x轴交于点N(6,0),规律方法直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路(1)翻译转化:将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子;或反之将代数关系恰当转化为几何关系.(2)消元求值:对所列出的方程或函数关系式进行变形、化简、消元、计算,最后求出所需的变量的值.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由Δ>0可得(16k2+8k)2-4×(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.考点二圆锥曲线中的最值问题典例突破2(2022·河南名校联盟一模)已知点F为椭圆C:

=1(a>b>0)的右焦点,椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若M为椭圆C上的点,以M为圆心,MF长为半径作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点),求四边形EAMB面积的最大值.解

(1)因为椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1,所以(2)由(1)知,E(-1,0)为椭圆的左焦点,如图所示,根据椭圆定义知,|ME|+|MF|=4,设r=|MF|=|MB|,由题意,点E在圆M外,所以|ME|=4-r>r,所以1≤r<2,规律方法目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型对点练2(2021·全国乙·理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,∴P(2k,-b).考点三圆锥曲线中的范围问题典例突破3(2022·河南名校期末)已知动直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C交于M,N两点,且点M在x轴上方.(1)若|MN|=3|NF|,求l的方程;(2)设点Q(n,0)(n≠1)是x轴上的定点,若l变化时,M总在以QF为直径的圆外,求n的取值范围.解

(1)由题意得F(1,0),设直线l的方程为x=ty+1,M(x1,y1)(y1>0),N(x2,y2)(y2<0),综上所述,n的取值范围是[0,1)∪(1,9).规律方法圆锥曲线中的范围问题的解题方法对点练3(2022·河北唐山期末)已知圆O:x2+y2=4,点M是圆O上任意一点,M在x轴上的投影为N,点P满足,记点P的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知F(1,0),过F的直线m与曲线E交于A,B两点,过F且与m垂直的直线n与圆O交于C,D两点,求|AB|+|CD|的取值范围.考点四圆锥曲线中的存在性问题典例突破4(2022·浙江杭州4月质检)如图,设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆E:(x+1)2+y2=4与y轴的正半轴的交点为A,△AEF为等边三角形.(1)求抛物线C的方程.(2)设抛物线C上的点P(,y0)(y0>0)处的切线与圆E交于M,N两点,在圆E上是否存在点Q,使得直线QM,QN均为抛物线C的切线?若存在,求Q点坐标;若不存在,请说明理由.解

(1)易知点E(-1,0),则F(1,0),p=2,所以抛物线C:y2=4x.(2)存在.设M(x1,y1),N(x2,y2).过点M,N作抛物线C的两条切线(异于直线MN)交于点Q,并设切线QM:x-x1=t1(y-y1),QN:x-x2=t2(y-y2).设过点M的直线x-x1=t(y-y1)与抛物线C相切,代入抛物线方程y2=4x,得y2-4ty+4ty1-4x1=0,解题技巧有关存在性问题的求解策略(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先写出结论,后给出证明(理由).培优拓展问题提出直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用圆锥曲线的弦长公式,但很多同学计算能力不强,导致耗费大量时间所求的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆、双曲线相交的弦长,在求具体的弦长时当公式用,既省时又准确.名师点析1.结论2中的一元二次方程、判别式、韦达定理只需将椭圆对应的式子的b2换成-b2即可,因此,两个结论只需记住结论1中的一元二次方程和判别式,3.对于解答题,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够记住并写出直线与椭圆联立整理后的方程式、判别式Δ的表达式及韦达定理表达式后,就可用本定理的弦长公式,能极大地提高运算速度及运算的准确性.结论应用答案

B

(1)求椭圆E和圆F的方程.(2)若直线l:y=k(x-)(k>0)与圆F交于A,B两点,与椭圆E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k,使|AC|=|BD|?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.同理当l2垂直x轴时,|AB|+|MN|=7.当l1,l2不垂直x轴时,设l1的方程为y=k(x+1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),考点一圆锥曲线中的证明问题增分2

圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

典例突破1(2022·北京房山一模)已知椭圆C的离心率为,长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N(不与A,B重合)两点,直线AM与直线(1)解

由长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),可设椭圆

规律方法常见解析几何证明问题转化策略对点练1(2022·甘肃平凉二模)已知抛物线C的焦点F在x轴上,过F且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,点A在第一象限且|AB|=4.(1)求C的标准方程;(2)已知l为C的准线,过F的直线l1交C于M,N(异于A,B)两点,证明:直线AM,BN和l相交于一点.得|y|=p,∴2p=4,p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)证明

由(1)可知A(1,2),B(1,-2),设直线l1的方程为x=my+1(m≠0),由的点的纵坐标相等,∴直线AM,BN和l相交于一点.考点二与圆锥曲线有关的定点问题为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.去y,整理得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0,Δ=2

916>0恒成立.y=kx+m=k(x-6)过定点(6,0),不合题意,舍去.规律方法1.圆锥曲线中定点问题的常见解法:(1)要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求出,即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点;(2)对于直线或曲线是否过定点问题,一般先假定过定点,并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.对点练2(2022·陕西咸阳二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M,N两点,S△MON=2.(1)求抛物线C的标准方程;(2)O为坐标原点,点A是抛物线C上异于点O的一点,连接AO交抛物线的准线于点D,过点D作x轴的平行线交抛物线于点B,求证:直线AB恒过定点.考点三与圆锥曲线有关的定值问题典例突破3在平面直角坐标系中,A1,A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是-,记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2,证明

为定值.解题技巧1.求或证明某个量为定值的常见方法:(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.左、右顶点分别为A1,A2.(1)若椭圆的长轴长为4,求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点,证明:点P分别与A1,A2连线的斜率的乘积为定值,并求出该定值.考点四圆锥曲线中定点、定值的探究问题典例突破4(12分)(2022·河南开封二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)