第十一章气体动力学基础

第十一章气体动力学基础

§11.1

声速与马赫数

§11.2

气体一维恒定流动的基本方程

§11.3

气体一维恒定流动的参考状态

§11.4

气流参数与通道截面积的关系

§11.5

喷管

§11.6

等截面有摩擦的绝热管流§11.1声速与马赫数11.1.1声速

声速：微弱扰动波在介质中的传播速度。如图，等直径的长直圆管中充满着静止的可压缩流体，当活塞突然以微小速度dv向右运动时，由活塞运动引起的微弱扰动将一层一层的向右传播，在圆管内形成两个区域：未受扰动区和受扰动区，两区之间的分界面称为扰动的波面，波面向右传播的速度c即为声速。

将参考坐标系固定在扰动波面上，取包围扰动波面的虚线为控制面。波前的流体始终以速度c流向控制体，其压强、密度和温度分别为p、ρ、T，波后的流体始终以速度（c-dv）流出控制体，其压强、密度和温度分别为p+dp、ρ+dρ、T+dT。由连续性方程可得忽略二阶微量，经整理得由动量方程得整理后可得故

微弱扰动波的传播过程可视为绝热可逆的等熵过程。等熵过程方程为将完全气体状态方程，代入上式得

或

11.1.2马赫数气体流速v与当地声速c之比，称为马赫数Ma，即根据马赫数的大小，可将气体的流动分为：

1、Ma＜1，即v＜c，亚声速流动；

2、Ma＝1，即v＝c，声速流动；

3、Ma＞1，即v＞c，超声速流动。设流场中o点处有一固定的扰动源，每隔1s发出一次微弱扰动，现在分析前4s产生的微弱扰动波在各流场中的传播情况。

（1）静止流场（v＝0）由于气流速度v＝0，微弱扰动波不受气流的影响，以声速c向四周传播，形成以o点为中心的同心球面波。

（2）亚声速流场（v＜c）由于气体以速度v运动，微弱扰动波在以声速c向四周传播的同时，随气流一同以速度v向右运动，因此，微弱扰动波向下游传播的速度为c+v，向上游传播的速度为c-v，因v＜c，所以微弱扰动波仍能逆流向上游传播。

（3）声速流场（v＝c）由于微弱扰动波向四周传播的速度c恰好等于气流速度v，扰动波面是与扰动源相切的一系列球面，所以，无论时间怎么延续，扰动波都不可能逆流向上游传播。

（4）超声速流场（v＞c）由于v＞c，所以扰动波不仅不能逆流向上游传播，反而被气流带向扰动源的下游，所有扰动波面是自o点出发的圆锥面内的一系列内切球面，这个圆锥面称为马赫锥。

马赫锥的半顶角，称为马赫角，用α表示。则

例11-1

飞机在温度为20℃的静止空气中飞行，测得飞机飞行的马赫角为40.34º，空气的气体常数R=287J/（kg·K），等熵指数k=1.4，试求飞机的飞行速度。解：§11.2气体一维恒定流动的基本方程

1.连续性方程由质量守恒定律

写成微分形式，得或

2.运动微分方程引用第三章式（3-24）：

由于气体的密度很小，可忽略质量力的影响，取力势函数W＝0。同时，由气流平均流速v代替点流速u，则上式可简化为或

3.能量方程对上式积分，即得理想气体恒定流动的能量方程通常气体的密度是压强和温度的函数，为积分上式，需要补充热力过程方程和气体状态方程。

（1）定容过程（比容v＝C）（2）等温过程（温度T＝C）气体状态方程得，故等温过程能量方程或

（3）等熵过程

绝热过程：与外界没有热交换的热力过程。

等熵过程：可逆的绝热过程或理想气体的绝热过程。

等熵过程方程：，将代入积分式得将上式代入能量方程式，得等熵过程能量方程或或或

例11-2

空气在管道内作恒定等熵流动，已知进口状态参数：t1=62℃，p1=650kPa，A1=0.001m2；出口状态参数：p2=452kPa，A2=5.12×10-4m2。试求空气的质量流量Qm。解：由气体状态方程，得

由等熵过程方程，得由连续性方程，得

由等熵过程能量方程，得解得质量流量

§11.3

气体一维恒定流动的参考状态

1.滞止状态若气流速度按等熵过程滞止为零，则Ma＝0，此时的状态称为滞止状态，相应的参数称为滞止参数，用下标0标识。按滞止参数的定义，由绝热过程能量方程式可得任意断面的参数与滞止参数之间的关系。

为便于分析计算，常将式（11-20）改写为由上式，有根据等熵过程方程、状态方程和式（11-22），不难导出

2.临界状态根据能量方程式（11-21），得上式表明，在气体的绝热流动过程中，随着气流速度的增大，当地声速减小，当气流被加速到极限速度vmax时，当地声速下降到零；而当气流速度被制止到零时，当地声速则上升到滞止声速c0。因此，在气流速度由小变大和当地声速由大变小的过程中，必定

会出现气流速度v恰好等于当地声速c，即Ma＝1的状态，这个状态称为临界状态，相应的参数称为临界参数，用下标*标识。将Ma＝1代入式（11-22）～式（11-25），可得

3.极限状态若气体热力学温度降为零，其能量全部转化为动能，则气流的速度将达到最大值vmax，此时的状态称为极限状态。

由能量方程式（11-21），得

§11.4

气流参数与通道截面积的关系由运动微分方程式（11-10）和声速公式（11-3），可得将上式代入等熵过程方程的微分式，得将完全气体状态方程写成微分式，得

再将式（11-31）、式（11-32）代入上式，整理得式（11-31）～式（11-33）表明：v沿程增大，ρ、p、T必沿程减小，v沿程减小，ρ、p、T必沿程增大。为分析流动参数随通道截面积A的变化关系，将式（11-31）代入连续性方程的微分式（11-9），整理得

由式（11-34）可得出以下结论：（1）亚声速气流（Ma＜1）此时（1-Ma2）＞0，dA与dv异号，即通道截面积沿程减小，速度将沿程增大；通道截面积沿程增大，速度将沿程减小。由此，亚声速气流的速度随通道截面积变化的趋势与不可压缩流动是一致的，但在量的关系上却不相同。

（2）超声速气流（Ma＞1）此时（1-Ma2）＜0，dA与dv同号，即通道截面积沿程减小，速度将沿程减小；通道截面积沿程增大，速度将沿程增大。分析产生这种现象的原因！下图是亚声速和超声速气流参数随通道截面积变化的关系。

（3）声速气流（Ma＝1）此时（1-Ma2）=0，dA=0，说明声速只能出现在管道的最大或最小断面处。经分析，声速流动只可能出现在最小断面处。前面定性地讨论了通道截面积对气流参数的影响，下面进一步考虑其定量关系。根据连续性方程，有

因代入前式，经整理后得对于空气，k=1.4，代入上式，得§11.5喷管

喷管：通过改变断面几何尺寸来加速气流的管道。喷管有两种：收缩喷管和缩放喷管。

11.5.1收缩喷管

对大容器内的0-0断面和喷管出口1-1断面列能量方程，得则

根据状态方程利用等熵条件因此式（11-40）还可写成

则质量流量由上式可知，对于给定的气体，当滞止参数和Ae不变时，喷管的质量流量Qm只随压强比变化。

而实际上，Qm的变化取决于，其关系曲线为图中的实线abc。

下面分几种情况讨论质量流量Qm随压强的变化规律：

（1）p0＝pb：由于喷管两端无压差，气体不流动，Qm＝0。出口压强pe＝pb。

（2）p0＞pb＞p*：气体经收缩喷管，压强沿程减小，出口压强pe＝pb＞p*。流速沿程增大，但在管出口处未能达到声速，ve＜c。喷管出口的流速和流量可按式（11-41）和式（11-42）计算。

（3）p0＞pb＝p*：气体经收缩喷管加速后，在出口达到声速，ve＝c*，Ma＝1。此时，出口流速达最大值ve·max，流量达最大值Qm·max。出口压强pe＝pb＝p*。

由式（11-28），得将上式代入式（11-41）和式（11-42）中，可得收缩喷管出口断面的最大流速ve·max和喷管内的最大质量流量Qm·max，即

（4）p0＞p*＞pb：由于亚声速气流经收缩喷管不可能达到超声速，故气流在喷管出口处的速度仍为声速，ve·max=c*，出口处的压强仍为临界压强，pe＝p*＞pb。此时，气流从出口处的压强p*降至背压pb的过程只能在喷管外完成。综上所述，当容器中的p0一定时，随着背压的降低，喷管内的质量流量将增大，当背压下降到临界压强时，质量流量达最大值，若再降低背压，流量也不会增加。这种背压小于临界压强时，管内质量流量不再增大的状态称为喷管的壅塞状态。

例11-3

已知大容积空气罐内的压强p0＝200kPa，温度T0＝300K，空气经一个收缩喷管出流，喷管出口面积Ae＝50cm2，试求：环境背压pb分别为100kPa和150kPa时，喷管的质量流量Qm。解：（1）环境背压为100kPa时收缩喷管出口处达到声速，即临界状态，ve＝c*。

（2）环境背压为150kPa时收缩喷管出口处不可能达到声速，ve＜c，pe＝pb。由等熵过程方程，得由等熵过程能量方程

11.5.2缩放喷管要想得到超声速气流，必须使亚声速气流先经过收缩喷管加速，使其在最小断面处达到当地声速，再经扩张管道继续加速，才能得到超声速气流。这种先收缩后扩张的喷管称为缩放喷管（拉伐尔喷管），喷管的最小断面称为喉部，如图。

下面讨论大容器内气流总压p0不变，改变背压pb时缩放喷管内的流动情况。

（1）p0＝pb：喷管内无流动，喷管中各断面的压强均等于总压p0，如图中直线OA。此时的质量流量Qm＝0。

（2）p0＞pb＞pF：喷管中全部是亚声速气流，用于产生超声速气流的缩放喷管变成了普通的文丘里管，如图中曲线ODE所示。此时的质量流量完全取决于背压pb，可利用式（11-42）计算。

（3）pF＞pb＞pK：此时，在喉部下游的某一断面将

出现正激波，气流经过正激波，超声速流动变为亚声速流动，压强发生突跃变化，如图中曲线OCS1和S2H所示。

（4）pK＞pb＞pG：喷管扩张段中全部为超声速流动，压强分布曲线如图中的OCG所示。但在出口，pb＞pG，气流将受到高背压压缩，在管外形成斜激波，超声速气流经过激波后压强增大，与环境压强相平衡。

（5）pb＝pG：喷管扩张段内超声速气流连续地等熵膨胀，出口断面压强与背压相等，压强分布曲线如图中的OCG所示。这正是用来产生超声速气流的理

想情况，称为设计工况。

（6）pG＞pb＞0：气流压强在缩放喷管中沿喷管轴向的变化规律，如图中曲线OCG所示。但由于pG＞pb，喷管出口的超声速气流在出口外还需进一步降压膨胀。

例11-4

滞止温度T0＝773K的过热蒸汽（k＝1.3，R＝462J/kg·K）流经一个缩放喷管，喷管出口断面的设计参数为：压强pe＝9.8×105Pa，马赫数Mae＝1.39，设计质量流量Qm＝8.5kg/s，试求：出口断面的温度Te、速度ve、面积Ae以及喉部面积A*。解：蒸汽出口断面温度蒸汽出口断面速度蒸汽出口断面密度蒸汽出口断面面积蒸汽的临界温度蒸汽的临界流速蒸汽的临界密度喉部面积§11.6等截面有摩擦的绝热管流

11.6.1摩擦对流速变化的影响取长度为dx的微元管段作为控制体，如图。对控制体内的气流沿运动方向列动量方程，有即若用λ表示dx管段上的沿程阻力系数，则

将上式代入式（11-45），化简得上式即为等截面摩擦管流的运动方程。对气体状态方程取微分，得根据连续性方程式（11-9），并注意到等截面管dA=0，得则

在有摩擦的绝热流动中，仍可应用能量方程，对式（11-16）取微分得联解式（11-46a）、（11-46b），化简得将上式代入式（11-46），整理得上式中λ、k、Ma2和dx/D均为正值，故等式右端恒为负值。若Ma＜1，则dv＞0；若Ma＞1，则dv＜0；

若Ma＝1，则dv＝0，dx＝0。由此可以得出结论：在等截面管道的绝热流动中，管壁的摩擦作用将使亚声速气流加速，超声速气流减速。但由于临界状态只可能在管道出口处达到，故亚声速气流不可能连续地加速至超声速，超声速气流不可能连续地减速至亚声速。11.6.2等截面摩擦管流的计算对取对数后微分，得将能量方程的微分式（11-46b）除以，得联解两式，整理得将上式代入式（11-47），整理得

设截面1、2上的马赫数分别为Ma1、Ma2，两截面