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文档简介

§2.3可逆矩阵一、可逆矩阵概念的引入二、可逆矩阵的定义三、伴随矩阵五、可逆矩阵的性质四、矩阵可逆的充要条件一、可逆矩阵概念的引入

在数的运算中，当时，存在一个数b，其中，称为

a

的倒数，

或者称为

a

的逆

.

在矩阵的运算中，单位阵I

相当于数中的单位1，那么，对于矩阵A，是否存在一个矩阵B

，而且，对矩阵A又有什么要求呢？使得使得定义对于n阶方阵

A，则称B

为A的逆矩阵，否则称A

是不可逆的

.二、可逆矩阵的定义并称A

为可逆矩阵，或满秩矩阵，或非奇异矩阵

.若A

是可逆矩阵，则A

的逆矩阵是惟一的。可得结论事实上，设矩阵B

和C

都是A

的逆矩阵，如果存在n

阶方阵

B，使得记作则有例设故B

是A

的逆矩阵。由于例设故A

不可逆。则对任意的二阶矩阵B，有例设故A

不可逆。有则对任意的二阶矩阵(2)利用伴随矩阵求逆矩阵；(

本节给出

)

(1)根据定义采用待定系数法求逆矩阵；

需要探讨的问题1.如何判定一个矩阵是否可逆？2.如何求逆矩阵？(3)利用初等变换求逆矩阵。(§2.5给出)

三、伴随矩阵

称为

A

的伴随矩阵

.定义为中元素的代数余子式，设n阶矩阵则矩阵三、伴随矩阵特点同理有即方阵A可逆的充要条件是必要性充分性定理此时，证明若A

可逆，则存在B

使得即得由此有当时，由有按逆矩阵的定义得A

可逆，本定理还给出一种求逆矩阵的方法.注四、矩阵可逆的充要条件且因此A

不可逆.解由于例已知求故A

可逆，解因例已知求故A

可逆，解因例已知求注对角矩阵的逆矩阵仍为对角矩阵。且故A

可逆，解因例已知求注上(下)三角矩阵的逆矩阵仍为上(下)三角矩阵。且因此A

可逆，解由于注利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通常仅适合于阶数较低或者较特殊的矩阵；例已知求且因此它主要用于理论推导与证明。其中例已知且求X

.解由

知A

可逆，即

可见，这就是由克莱姆(Cramer)法则得到的结果。因此有证明推论(1)若(或者

)，则A

可逆，且(1)由有即得于是有因而A

可逆，即存在，(2)若A

B

可逆，则A

可逆且B

可逆。设A

,B

为方阵，(2)由A

B

可逆有因而A

可逆且B

可逆。即得且四、矩阵可逆的充要条件(1)由得证故A可逆，且(2)由得故

可逆，且设方阵A

满足证明下列矩阵都可逆，例并求它们的逆矩阵。证（略）答案设方阵

B

满足例证明A

可逆，并求(此时称

B

为幂等矩阵)，故A

可逆，且证由得性质证明仅证(5)式因为所以五、可逆矩阵的性质[易犯错误]例试化简解例设

A

可逆，则有例设

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