统计与概率初步教材分析课件

初中数学教材教法分析——概率初步天津市静海县沿庄镇中学刘刚初中数学教材教法分析——概率初步天津市静海县沿庄镇中学1提纲一、初中阶段增加概率内容的意义二、整体感知概率三、教学目标及安排四、相关概念解析五、难点分析及突破策略六、概率的计算七、典型题型八、几点建议提纲一、初中阶段增加概率内容的意义2“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上，因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……。”19世纪法国著名数学家拉普拉斯语“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题3一、初中阶段增加概率的意义改革背景：在初中数学中加大统计的份量，增加概率的内容已成共识。回顾我国中学数学教育发展的历史，统计与概率是否进入初中一直是中学数学教育界争论的焦点之一。统计内容在初中教材几进几出，虽然以前初中教材安排了统计的内容，但由于它只在初三出现，而且内容较少，要求不高，在初中实际教学中没有得到充分的重视。对统计与概率重视不够是我国初中数学教材与发达国家中学教材的主要差别之一。从最新的英国、美国、日本以及港、台地区的教材看，统计与概率是初中数学教学内容的重要组成部分，大多数教材在初中的各个年级都有统计与概率的内容，而且占有一定的比例。一、初中阶段增加概率的意义改革背景：4一、初中阶段增加概率的意义统计与概率内容的改革，对促进初中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。一、初中阶段增加概率的意义统计与概率内容的改革，5一、初中阶段增加概率的意义1．使初中数学内容结构更加合理老教材（500课时）代数（258课时）几何（228课时）统计（14课时）新教材数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用一、初中阶段增加概率的意义1．使初中数学内容结构更加合理老6一、初中阶段增加概率的意义2、有利于信息技术的整合。统计与概率的内容中涉及大量的复杂数据的计算问题，使用计算器处理这些问题，能使学生感受到使用计算器的必要性。另外，大多数新型的科学计算器都设有统计功能，使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便。因此，统计与概率能真正推动计算器的普及。另外，增加统计与概率的内容，有利于促进计算机的使用。计算机能够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件绘制统计图表等，这些都为丰富统计与概率提供了大量资源，同时也使得计算机的作用更加突出。一、初中阶段增加概率的意义2、有利于信息技术的整合。7一、初中阶段增加概率的意义3．能有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式。转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动已有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进了教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究。一、初中阶段增加概率的意义3．能有效地改变教师的教学方式和学8二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论产生于17世纪，其产生背景与博彩业的发展有关

问题的产生：甲、乙两人“掷骰子”赌博，他们约定，若甲首先掷出三次“6点”，或乙首先掷出三次“4点”就算赢了对方，赢家可获得全部赌金。当甲已经掷出了两次“6点”，乙已经掷出一次“4点”时，赌博因故中断，那么两人应如何分配这些赌金？二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论产生于17世9二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展对该问题的两种意见：一种意见认为，甲只需要再掷出一次“6点”就能赢，而乙还需要再掷出两次“4点”才能赢，因此，甲、乙二人所分赌金的数额之比应该是2:1，即甲应分得全部赌金的2/3，乙应分得全部赌金的1/3。另一种意见则认为，假设两人再各掷一次骰子，对甲来说只有两种可能的结果：一种是甲未掷出“6点”，这时即使乙掷出“4点”，两人也只是打了个平手，可以各自得全部赌金的1/2；另一种可能是甲掷出“6点”，那么他可获得全部赌金，因此，甲分得全部赌金的1/2和全部赌金的可能性各占一半，他应该分得全部赌金的，即甲应分得全部赌金的3/4，乙应该分得全部赌金的1/4。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展对该问题的10二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论发展史上几位奠基人物:法国数学家帕斯卡荷兰数学家惠更斯瑞士数学家伯努利法国数学家棣莫弗最早引发概率的研究《论赌博中的机会》《猜度术》《论抽签原理》《机会的学说》二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论发展史上几位11二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：

第一、由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能显现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理，这些定义、公理、定理来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特12二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：

第二、在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法，这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观察的时候，往往不可能也不必要对于全部对象进行考查。但是对于部分资料所得出的一些结论，要在全体范围内推断这些结论的可靠性。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特13二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特殊性：

第三、随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的，而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论研究方法的特14二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展概率论作为15二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”（等可能概型）。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举的随机变量，叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，那么，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展有一类随机16二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置数学新课程内容的四个领域:

数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置数学新课程内容17二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置新课程三个学段中的概率内容：第一学段（1~3年级）第二学段（4~6年级）第三学段（7~9年级）不确定现象可能性概率二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置新课程三个学段18三、教学目标及安排（一）本章教学目标1、理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；2、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象发生可能性大小的数学概念，理解概率的取值范围的意义；3、能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；4、能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。5、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题；6、了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验。三、教学目标及安排（一）本章教学目标1、理解什么是必19三、教学目标及安排（二）内容安排本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率，一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托，本章概率知识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和树形图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想。三、教学目标及安排（二）内容安排本章属于“统计20三、教学目标及安排（三）课时安排本章教学时间约需14课时，具体分配如下：§22.1概率4课时§22.2用列举法求概率4课时§22.3利用频率估计概率2课时§22.4课题学习2课时数学活动、小结2课时三、教学目标及安排（三）课时安排本章教学时间约需14课时，21四、相关概念解析1、确定现象和随机现象关心发生的可能性（概率）现象（事件）确定现象随机现象必然发生的必然不发生的关心发生的条件可能发生也可能不发生的四、相关概念解析1、确定现象和随机现象关心发生的可能性现222、随机试验和随机事件四、相关概念解析试验：实验：为了察看某事的结果或某物的性能而从事某种活动。为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。2、随机试验和随机事件四、相关概念解析试验：实验：为了察看23四、相关概念解析2、随机试验和随机事件概率试验的作用：第一、通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点第二、通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率第三、通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识四、相关概念解析2、随机试验和随机事件概率试验的作用：第24四、相关概念解析随机试验满足下面的三个要求：2、随机试验和随机事件（1）试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生。（2）试验结果的不确定性.一次试验出现什么结果，在试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的。（3）试验的可重复性.试验可以重复地进行，即试验的条件可以重复实现.四、相关概念解析随机试验满足下面的三个要求：2、随机试验和25四、相关概念解析2、随机试验和随机事件研究随机现象的基本方法是随机试验.每个随机现象都联系着一个随机试验，随机试验的结果是不确定的，每种可能的结果称为随机事件四、相关概念解析2、随机试验和随机事件研究随机现象26四、相关概念解析2、随机试验和随机事件随机事件发生的可能性大小是可以比较的。概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征注意：概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现出来。

四、相关概念解析2、随机试验和随机事件随机事件发生的可能性27四、相关概念解析3、等可能性简单的说就是各个结果发生的可能性大小相同。具备以下两个特点的试验就是等可能性试验：（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。四、相关概念解析3、等可能性简单的说就是各个结果发生的可能28四、相关概念解析3、等可能性

例如：分别从标有1,2,3,4,5号的5根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有5种可能，即1,2,3,4,5，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为，每个号被抽到的可能性相等。

又如：掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，由于骰子的构造质地均匀，又是随机地抛出的，所以我们可以断言，每种结果的可能性相等。四、相关概念解析3、等可能性例如：分别从标有1,229四、相关概念解析4、试验、事件和结果随机试验的一般结果称为随机事件，每个随机事件包含若干个基本结果.它用这些基本结果来表示，其中每个基本结果出现都导致这个随机事件发生

例如:掷一颗骰子“出现偶数点”是一个随机事件，它包含“出现2点”“出现4点”“出现6点”.无论出现2点、4点或6点，都是“出现偶数点”，都导致“出现偶数点”这一事件发生四、相关概念解析4、试验、事件和结果随机试验的30四、相关概念解析4、试验、事件和结果试验结果1结果2结果n结果c结果b结果a………事件………结果m四、相关概念解析4、试验、事件和结果试验结果1结果2结果31四、相关概念解析4、试验、事件和结果例如：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于5.掷一个骰子，观察向上一面的点数1试验事件点数为2事件结果所有可能的结果23456点数为奇数点数大于2且小于5341352四、相关概念解析4、试验、事件和结果例如：掷一个骰子，观察32四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（1）古典概型：如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件）发生的可能性大小相等。则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型。对于古典概型E，设它的所有可能结果是n个等可能的情形，事件A包含其中的m个情形，则定义事件A的概率P(A)为P(A)=四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（1）古典概型：33四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（2）几何概型：如果随机试验E是向一个可求面积的平面有界区域S内随意投掷一点M，这时S中的每一落点e是一个基本事件“M落在e处”，设点落在S内的任何一个位置上的可能性大小均等，并且点M落在任何一个可求面积的区域A（A包含在S中）内的可能性大小，只与A的面积成正比，而与A的形状以及A在S内的位置无关，则称试验E为几何概型。由于S内有无限多个点，点M落在S内任意一点处的可能性都是相同的，因而几何概型是一种具有无限、等可能性质的随机试验。这时定义点M落在A内的概率P(A)=，这个定义叫做概率的几何定义，它可以看做是古典概率的推广。四、相关概念解析5、古典概型与几何概型（2）几何概型：34五、难点分析及突破策略难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小．成因诊断：

（1）事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验难以支撑，为认知同化造成困难；

（2）学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己的生活经验，往往带有感情色彩，错误的经验与现实结论的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认知顺应的障碍。

五、难点分析及突破策略难点之一：分析推测事件发生的可能性的大35五、难点分析及突破策略难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小．突破对策：

（1）充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化；

（2）有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关；

五、难点分析及突破策略难点之一：分析推测事件发生的可能性的大36五、难点分析及突破策略难点之二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性．成因诊断：

（1）通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性是建立在大量重复试验的基础上，经过分析、比对，与学伴交流逐渐得出结论，在试验中需要学生投入较多的精力，不厌其烦操作、收集、分析、综合，需要全体同学都参与，集中大家的结果，这种学习的方式需要足够的耐心与细心，这与当前学生形象思维占主导、自制力差的心理特点很不协调；

（2）学生零星的生活经验（例赢了一次游戏，中了一次奖等）中的错误积累排斥正确随机观念的建立；

五、难点分析及突破策略难点之二：通过试验体会事件发生的等可能37五、难点分析及突破策略难点之二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性．突破策略：

让学生动手操作，反复试验，亲身经历“猜测——试验并收集试验数据——分析试验结果”的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制作或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性．

五、难点分析及突破策略难点之二：通过试验体会事件发生的等可能38五、难点分析及突破策略难点之三：概率的计算成因诊断：

（1）在学生的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的；现在遇到用具体的数刻画事件发生的可能性，要计算概率，要用数字“说话”，方法他们难适应，计算也感到没有头绪；

（2）弄清某事件发生的可能结果数和所有事件发生的结果数是计算概率的前提，对于较复杂的情形，学生思维的不缜密会出现统计遗漏或重复，失误影响着他们的学习信心

五、难点分析及突破策略难点之三：概率的计算成因诊断：39五、难点分析及突破策略难点之三：概率的计算突破策略：

（1）针对学生的认知基础和思维特点，设计问题由简单到复杂，先易后难，让学生逐渐积累解题经验

（2）对于复杂情形的事件，重视统计前的点拨和解题中的检查，减少失误的机会，增强学生的学习信心

五、难点分析及突破策略难点之三：概率的计算突破策略：40五、难点分析及突破策略难点之四：体会频率与概率的关系成因诊断：

（1）概率是定量刻画随机现象的数学模型，随机现象的结果事先无法预料，“大量重复实验时频率可作为事件发生的概率的估计值”的数学思想非常抽象、高度概括，这对于初中学生思维水平和知识经验无疑都存在很大的跳跃．我们无法象解方程那样设计题组有易到难，给学生搭几步台阶，只能在大量重复实验中让学生体会、感悟．但课堂教学时间是有限的，一个学生完成试验的次数不会很多，多人汇集试验数据一时也不会稳定于一个数值，这是学习内容与教学方法本身的困难；

（2）试验频率稳定于理论概率，它是用实验的方法估计随机事件发生的概率的基础．但对于初中学生的知识结构，难以给出一个理论解释，只有借助于大量的重复实验进行感悟、体会、认可．有时往往事与愿违，虽多次实验（相对的、有限的，受课堂时间制约），频率仍不稳定，甚至偏差较大，教师难以解释清楚让学生信服，造成认知受阻

五、难点分析及突破策略难点之四：体会频率与概率的关系成因诊41五、难点分析及突破策略难点之四：体会频率与概率的关系突破策略：

（1）选取学生熟悉的、感兴趣的问题情境，尽可能增加试验次数．

（2）借助多媒体模拟实验辅助教学，使大量的重复性实验在课堂短时间内快捷完成，使探究活动简洁精准，生动形象．

（3）注重学生的合作交流活动，鼓励学生积极主动的动手操作、小组讨论，向学伴解释自己的想法，谦虚听取他人的意见，借助别人的试验成果，丰富完善学生的认知过程，在团队合作学习中去粗取精，形成共识五、难点分析及突破策略难点之四：体会频率与概率的关系突破策42五、难点分析及突破策略难点之五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率成因诊断：

用树状图和列表法求概率，各种结果出现的可能性务必相同，并且在考虑所有可能的情况时，必须不重不漏．但对于某些现实问题，原始状态未必恰好各结果机会均等，另外对于较为复杂的试验情形或不同的语言表述，也容易使学生出现疏忽遗漏．学生的认知结构缺乏相应的经验，思维的不成熟和急于求成的心理特点往往“想当然”而出错，使得用树状图和列表法求概率成为学习的难点．五、难点分析及突破策略难点之五：利用树状图和列表法求随机事件43五、难点分析及突破策略难点之五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率破解对策：

让学生经历两步试验的全过程，真实列举结果的各种可能，充分交流，相互评价，允许争议，消除错误认识，弥补思维欠缺，在反复训练中积累经验、树立信心．五、难点分析及突破策略难点之五：利用树状图和列表法求随机事件44六、概率的计算概率计算列举法用频率估计概率试验结果很少画树形图列表直接列举两步试验三步及以上结果无限或发生可能性不相等六、概率的计算概率计算列举法用频率估计概率试验结果很少画树形45六、概率的计算——列举法1、应用条件：必须是等可能事件(古典概型)一次试验中，各种结果发生的可能性相等一次试验中，可能出现的结果有限多个古典概型六、概率的计算——列举法1、应用条件：必须是等可能事件(古46六、概率的计算——列举法2、计算公式：事件A发生的可能种数试验的总共可能种数六、概率的计算——列举法2、计算公式：事件A发生的可能种47六、概率的计算3、类型（1）、直接列举：适用于试验结果不多的情况

例1、掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数（3）点数大于2且小于5——列举法六、概率的计算3、类型（1）、直接列举：适用于试验结果不多48六、概率的计算

例3、把只有颜色不同的1个红球和2个白球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地一次摸出2个球，得1红球1白球的概率为

.——列举法一一列举：红白1；红白2；白1白2；

例2、掷两枚硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面朝上；（2）两枚硬币全部反面朝上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。一一列举：正正、正反、反正、反反六、概率的计算例3、把只有颜色不同的1个红球和2个白49六、概率的计算（2）、列表：当一次试验要涉及两个因素（或两步）并且可能出现的结果数目较多时。

例1:同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同；（2）两个骰子的点数之和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。——列举法六、概率的计算（2）、列表：当一次试验要涉及两个因素（或两50六、概率的计算第2个6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

123456第1个——列举法六、概率的计算第2个6(1,6)(2,6)(3,6)(4,651六、概率的计算（2）、列表：

例2、第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒中随机地取出1个球，求下列事件的概率：（1）取出的两个球都是黄球；（2）取出的两个球中有一个白球一个黄球。——列举法六、概率的计算（2）、列表：例2、第一盒乒乓球52六、概率的计算列表如下：（B代表白球，H代表黄球）BBBBHHBBBBBBBBBHBHBBBBBBBBBBHBHBBBBBBBBBBHBHBHBHBHBHBHHHHHHBHBHBHBHHHHHHBHBHBHBHHHHH第一盒第二盒——列举法六、概率的计算列表如下：（B代表白球，H代表黄球）BBBB53六、概率的计算（2）、列表：

例3、在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求两次取得小球的标号和等于4的概率：——列举法列表如下：第二次45678345672345612345

1234第一次六、概率的计算（2）、列表：例3、在一个口袋中有454六、概率的计算（3）、画树形图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（步骤）时，多采用树形图。

例1、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两辆车向右转，一辆车向左转；（3）至少有两辆车向左转。——列举法六、概率的计算（3）、画树形图：当一次试验要涉及3个或55六、概率的计算车3车1车2右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左右直左——列举法六、概率的计算车3车1车2右直左右直左右直左右直左右直左右56六、概率的计算（3）、画树形图：——列举法

例2、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I，从3个口袋中各随机地取出1个小球。（1）取出的3个小球上恰好1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？六、概率的计算（3）、画树形图：——列举法例2、57六、概率的计算画树形图如下：——列举法甲AB乙CDECDE丙HIHIHIHIHIHI六、概率的计算画树形图如下：——列举法甲58六、概率的计算3、几个值得关注的问题（1）列表和树形图可以通用，灵活选用

例1(重复)：在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率.——列举法六、概率的计算3、几个值得关注的问题（1）列表和树形图可以59六、概率的计算白红黑白白白白红白黑红红白红红红黑黑黑白黑红黑黑白红黑白白白红红红黑黑黑甲乙列表：画树形图：甲乙——列举法六、概率的计算白红黑白白白白红白黑红红白红红红黑60六、概率的计算

例2（不重复）：水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动，每一位来摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张。（1）请利用树状图（或列表）的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况。（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？——列举法六、概率的计算例2（不重复）：水果种植大户小方，61六、概率的计算列表：画树形图：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）第二张第一张AAAABBBBCCCCDDDD——列举法六、概率的计算列表：画树形图：ABCDA（A，B）（A，C）62六、概率的计算3、几个值得关注的问题（2）、有序结果与无序结果例1.题一、同时抛两枚硬币A、B,两枚硬币所有可能出现的结果是:(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)

题二、从A、B两枚硬币中,随意取一枚上抛,再取剩余一枚上抛,落地后两枚硬币面朝上的所有可能出现的结果是:（A正,B正）（A正,B反）（A反,B正）（A反,B反）（B正,A正）（B正,A反）（B反,A正）（B反,A反）——列举法六、概率的计算3、几个值得关注的问题（2）、有序结果与无序63六、概率的计算

例2（有序）：从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，组成的两位数中奇数的概率是______一一列举：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，431234234134124123121314212324313234414243画树形图：——列举法六、概率的计算例2（有序）：从分别标有1、2、3、464六、概率的计算

例3（无序）、从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是______一一列举：12，13，14，23，24，342341341241231234画树形图：列表：——列举法

4567345723561345

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六、概率的计算例3（无序）、从分别标有1、2、3、465六、概率的计算3、几个值得关注的问题（3）、正确鉴别有限与等可能条件

例如，将一枚硬币抛两次，求恰好出现一次正面的概率。如果把试验的所有可能结果分成以下三种情形：“两次皆正面”、“两次皆反面”、和“一次正面，一次反面“，从而得所求概率为，这就错了，问题在于，上述三种情况出现的可能性不相等，不能直接套用概率的古典定义。因为“两正”“两反”都在一种情形下发生，但“第一枚正、第二枚反”及“第一枚反、第二枚正”都导致“一正一反”发生，故其概率大于“两正”出现的概率，也大于“两反”出现的概率。——列举法六、概率的计算3、几个值得关注的问题（3）、正确鉴别有限与66六、概率的计算3、几个值得关注的问题:（3）、正确鉴别有限与等可能条件

又如：某运动员射击一次中靶心和不中靶心。有同学认为概率为1/2，这是不对的，因为这两种结果产生的可能性是不相等的。——列举法六、概率的计算3、几个值得关注的问题:（3）、正确鉴别有限67六、概率的计算3、几个值得关注的问题:（4）、抓阄问题3人欲通过抓阄方式决定谁取得某物，为此设3个阄，其中只有一个阄是有物的阄，3人依次从中抓取，是先抓阄的人得到此物的可能性大还是后抓阄的人得到此物的可能性大？有有有无有有无无无无无无无无无第一人（）第二人（）第三人（）——列举法六、概率的计算3、几个值得关注的问题:（4）、抓阄问题683、几个值得关注的问题:六、概率的计算（5）、试验结果比较多时

例1：从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（）A.B.C.D.无法确定——列举法3、几个值得关注的问题:六、概率的计算（5）、试验结果比较693、几个值得关注的问题:六、概率的计算（5）、试验结果比较多时

例2：从1——9这九个数中任取两个数组成一个两位数，这些两位数中偶数的概率为

。——列举法3、几个值得关注的问题:六、概率的计算（5）、试验结果比较703、几个值得关注的问题:六、概率的计算（6）、准确把握语句的含义

例如：假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雄鸟的概率是多少？…………则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是多少？——列举法3、几个值得关注的问题:六、概率的计算（6）、准确把握语句71——用频率估计概率六、概率的计算

1、应用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时。

2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。

——用频率估计概率六、概率的计算1、应用条件：当72六、概率的计算频率与概率的关系：在某次试验中，事件频繁发生，则有理由认为发生的可能性大.这时发生的频数大，频率也大，故频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小.这说明频率与概率有联系，这是一方面.另一方面，频率与概率又有着本质的区别，不能把两者混为一谈，更不能认为频率就是概率.因为频率依赖于试验：不但依赖于试验的次数，而且依赖于具体的次试验，在不同的次试验中，同一事件发生的频数和频率一般不会完全相同，而概率是客观的，它是随机事件自身的固有属性，不依赖于具体的试验而存在.——用频率估计概率六、概率的计算频率与概率的关系：在某次试验中，事件频73七、典型题型近三年天津市中考概率题汇总：

2008年：（6题）掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（）（A）1（B）（C）（D）0（3分）

2009年：（21题）有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球。（Ⅰ）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；（Ⅱ）求摸出的两个球号码之和等于5的概率。（8分）

2010年：（15题）甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是

．（3分）七、典型题型近三年天津市中考概率题汇总：2008年74七、典型题型（一）考察概率含义及其相关概念的问题1、下列事件是随机事件的是（）（A）两个奇数之和为偶数（B）某学生的体重超过200千克（C）宁波市在六月份下了雪（D）三条线段围成一个三角形2、下列事件中是等可能性事件有（）件①某运动员射击一次中靶心与不中靶心；②随意抛一枚硬币背面向上与正面向上；③随意投掷一只纸可乐杯杯口朝上或杯底朝上或横卧；④从分别写有1，3，5，7，9中的一个数的五张卡片中任抽1张结果是1或3或5或7或9（A）1件（B）2件（C）3件（D）4件七、典型题型（一）考察概率含义及其相关概念的问题175七、典型题型（一）考察概率含义及其相互关系的问题3、（2009义乌）下列事件是必然事件的（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则4、(2009成都)下列说法正确的是（）(A)某市“明天降雨的概率是75％”表示明天有75％的时间会降雨(B)随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上(C)在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖l00次就一定会中奖(D)在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交七、典型题型（一）考察概率含义及其相互关系的问题376七、典型题型（二）利用古典概型直接计算事件概率包括一步、两步、三步试验的问题，投币问题、掷骰子问题、摸球问题、翻牌问题、数字问题、转盘问题等。事件A发生的可能种数试验的总共可能种数七、典型题型（二）利用古典概型直接计算事件概率包括77七、典型题型（三）与代数知识综合的问题

例、已知分式，及一组数据：-2，-1，0，1，2．（1）从已知数据中随机选取一个数代替x，能使已知分式有意义的概率是多少？（2）先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有意义的数代替x求值．七、典型题型（三）与代数知识综合的问题例、已知分式78七、典型题型（四）与函数知识综合的问题

例1、(2008宁夏)从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是

．七、典型题型（四）与函数知识综合的问题例1、(2079七、典型题型（四）与函数知识综合的问题

例2、一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．如果用小刚抛掷正方体骰子朝上的数字为x，小强抛掷正方体骰子朝上的数字为y来确定点P(x,y)，那么他们各抛掷一次所确定的点P落在已知直线y=-2x+7图象上的概率是多少？y6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

123456x七、典型题型（四）与函数知识综合的问题例2、一枚均80七、典型题型（四）与函数知识综合的问题

例3、已知M(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件Q(2≤n≤7，n为整数)，则当Q的概率最大时，n的所有可能的值为______．分析：利用列表法，列举出所有点的可能性：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）4（1，4）（2，4）（3，4）七、典型题型（四）与函数知识综合的问题例3、已知M81七、典型题型根据定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件Q，我们应理解为，a+b的和出现次数最多时，对应的n的值，就是我们所求的，但是在解答时，千万不要忘记了“2≤n≤7，n为整数”这个非常重要的条件。因为，a+b的和为：2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，一共有12种可能，其中，和为2的概率是：1/12；和为3的概率是：2/12=1/6；和为4的概率是：3/12=1/4；和为5的概率是：3/12=1/4；和为6的概率是：2/12=1/6；和为7的概率是：1/12；概率最大的是和为4的概率与和为5的概率，所以，n的值是4或5.七、典型题型根据定义“点M(a，b)在直线x+y=n82七、典型题型（四）与函数知识综合的问题

例4：（09年重庆）在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为

。分析七、典型题型（四）与函数知识综合的问题例4：（0983七、典型题型（五）与统计知识综合的问题（2009日照、德州）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：求：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？（2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围．（3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？6080100120140160180次数42571319频数O七、典型题型（五）与统计知识综合的问题（2009日84七、典型题型（六）利用概率和为1的性质求概率或某值分析：在这个事件中，一共有两类事件，一类是白色球出现的概率，一类是红色球出现的概率，并且红色球出现的概率与白色球出现的概率的和是1，这样，我们就很容易求白色球的概率了。

例1、（2009黔东南）不透明的口袋