机械工程控制基础-系统的数学模型概述

机械工程控制基础第2章

系统的数学模型时城模型—

微分方程、差分、状态方程复城模型

—

传递函数、结构图频城模型

—

频率特性分

析时域法

复域法频域法校

正系统的数学模型2.1

引言数学模型：

描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式建

模

方

法

：解析法，实验法2.2

时域数学模型

—

—

微分方程线性元部件、线性系统微分方程的建立非线性系统微分方程的线性化§2.1

引言·数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式·建模方法解

析

法(机理分析法)根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法(系统辨识法)给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性§2.2

控制系统的数学模型—

微分方程线性定常系统微分方程的一般形式§2.2

控

制系统的数学模型—微分方程§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程例1

R-L-C

串连电路§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程例2

弹簧—

阻尼器系统K₁(x;-xm)=f(xm-x

。)=K₂x。K₁xm=K₁x;-K₂x。A:B:§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程例3

电框控制式直流电动机电枢回路：

u,=Ri+E₆

—克希霍夫

电框反电势：Eb=Ce

·Om

—杨次定律

电磁力矩：

Mm=Cmi

—安培定律

力矩平衡：

Jm@m+fm@m=Mm牛顿定律0m=θm消去中间变量

i,Mm,E,

可得：Tm,am+om

=Kmu,

TmOm+θm

=Kmu,)

电机时间常数电机传递系数例4

X-Y

记录仪反馈口：△u=u,-u,放大器：

u=K,△u电动机：

T.

θm+θm=Kmu减速器：θ2=K₃

θm绳

轮：

L=K₃

θ₂电

桥：

u,=K₄L消去中间变量可得：§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程微分方程中的变量也可采用增量方式表示：方程形式相同工作元件存在非线性，在工作点处有导数或偏导数存在一线性化处理§2.2.2

非线性系统微分方程的线性化(举例1)例5

已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。y(x)=E

。cos[x(t)]解

.

在工作点(xo,yo)

处展开泰勒级数取一次近似，且令△y(x)=y(x)-y(x₀)≈-Eosinxo

·

(x-x₀)既有

△y=-E。sinxo

·△x式中

S

为液位容器的横截面积。若

h

与

Q

在其工作点附近做微量变化，试导出

h

关于

Q

的线性化方程。解.

在

h,

处泰勒展开，取一次近似代入原方程可得在平衡点处系统满足上两式相减可得线性化方程§2.2.2

非线性系统微分方程的线性化(举例2)例6

某容器的液位高度

h

与液体流入量

Q

满足方程微分方程求解方法L代数方程线性定常微分方程求解解

代

数

方

程解

微

分

方

程机械工程控制基础课程回顾系统的数学模型时域模型

—

微分方程·

元部件及系统微分方程的建立·

线性定常系统微分方程的特点

·

非线性方程的线性化·微分方程求解§2.3

系统的复域模型—传递函数§2.3.1

传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。a,c(")+a-,c(-

1)+

…+a₁c'+ac=bmr(m)+bm-r(m-

1)+

…+b,r'+bgr(t)拉氏变换：

[4,s”+an-s"=¹+

…

.+as+a₀K(s)=b

…s"+bm-s"-+

…+b,s+b,]R(s)传递函数：

§2.3.2

传递函数的标准形式微分方程一般形式：(2)尾1标准型：(1)首1标准型：§2.3

系

统

的

复

域

模

型

—

传

递

函

数例7

已知

将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解

.首1标准型尾1标准型增益K=2§2.3

系统的复域模型—

传递函数传递函数的性质(1)G(s)

是复函数；(2)G(S)

只与系统自身的结构参数有关；(3)G(S)

与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L[k(t)];(5)G(s)

与

S

平面上的零极点图相对应。试求：

(1)

系统的传递函数；(2)

系统的增益；(3)

系统的特征根及相应的模态；(4)

画出对应的零极点图；(5)

求系统的单位脉冲响应；(6)

求系统微分方程；(7)

当

c(0)=-1,c'(0)=0;r(t)=1(t)

时，求系统的响应。解.

(1)例8

已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：(2)(3)(4)

如图所示(5)(6)(s²+5s+4)C(s)=(2s+4)R(s)L-

¹:c+5c+4c=2r+4rC₁=lism→

1

S+4

三

32(s+2)

2L:[s²C(s)-sc(0)-c(0)]+5[sC(s)-c(0)]+[4C(s)](s²+5s+4)C(s)-(s+5)c(0)-c(0)=2(s+2)R(s)其中初条件引起的自由响应部分(7)传递函数的局限性(1)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；(2)适合于描述单输入/单输出系统；(3)只能用于表示线性定常系统。例8

线性/非线性，定常/时变系统的辨析c+5c+4c=2r+4rc+2

·c

·c+4c³+4=2r+4r

·cc+a₁(t)c+a₂(t)c=2r+4r例系统如图，被控对象微分方程为Tou.+u.=KUa求系统传递函数中(s)。解.

(1)求Go(s)(Tos+1)

·U

。(s)=K

。

·Ua(s)传递函数(1)(2)传递函数(1)(2)整理得通

黄精品资料网

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()

专业提供企管培训资料u₁=K₁θu₂=K,θ₂u=u₁-u₂=k(θ₁-θ₂)=k,

△θ§2.3.3典型环节的传递函数注自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别

1)前者工作于交流状态，后者直流2)自整角机无摩擦，精度高3)自整角机

0,0.

可以大于360°精品资料网(shu,cn)专业提供u。=k(G₁=8₂)=k₂48∴

§2.3.3典型元部件的传递函数自楚角机工作原理图接学看特蒋覆蒋精品资料网(http://ww.cnshu.cn)

专业提供企管培训资料K(2s+1)s(Ts+1)(x²s²+25rs+1)G(s)=序

号微分方程环节名称传递函数例1c=K-r比例环节K电位器，放大器，自整角机2Tc+c=Kr惯性环节CR电路，交、直流电动机3T²ε+25Tc+c=Kr<1振荡环节ξ<1R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统4C=R积

分

环

节减速器(o

→0)5C=R微分环节Ks测速发电机(θ,→u₂)6c=w+r

阶复合微分环节+17c=x²y+2x⁵+r二阶复合微分环节x²s²+2t5s+1§2.3.4典型环节的传递函数·

环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。·

典型环节及其传递函数·

不同的元部件可以有相同的传递函数；·若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数；·

任一传递函数都可看作典型环节的组合。Ur精品资料网

(http://ww.cnshu.cn)

专业提供企0-§2.3.5负载效应R₂ucR1ua系统微分方程¹系统传递函数控制系统的数学模型L元部件

传递函数系统模型及其建立过程结构图化简

Mason

公式无部件

微分方程工作

原理图微分

方程组系统

结构图消去中间变量方框图§2.4

系统的传递函数方框图及其简化精品资料网

tto://ww.

专业提供企管培训资料△u=u,-up-u;u=K₁△uTmθm+0m=Kmuθ₂=K₂θmL=K₃θ₂u,=K₄Lu,=K,w△U(s)=UU(s)=K₁纪

轮

机

构Tm

·

s²om(O₂(s)=KL(s)=K₃

·U₂CS)U,(s)=K₄

·L(s)

U,(s)=K,

·Q(s)反馈口：放大器：电动机：减速器：绳

轮：

电

桥：

测速机：Ur§2.4

系统的传递函数方框图及其简化放大器桥式电位计测

速

机电

动

机减

速

器减速器绳轮/笔LK2

K3电动机KmTmS+1例1

X-Y

记录仪UtKt测速机放大器K1Ut(s)

Q(s)函

数

记

录

仪

工

作

原

理

图=Kt电桥K4Up笔例2

电框控制式直流电动机电枢回路：

u,=Ri+E,电枢反电势：

Eb=Ce

·Om电磁力矩：

Mm=Cmi力矩平衡：

Jmm+fmam=Mmwm

=0Ua

1

I

Mm

1CmRCe直流电动机传递函数框图RU,(s)=E,(s):

EbMm(s

)ur§2

.4

系统的传递函数方框图及其简化2m(s)=s

◎m(s)⑩

m1SJm

·sΩm(s)+fm

·Ωm(s)=Mm(s)Mm0-§2.4系统的传递函数方框图及其简化§2.4.2

传递函数方框图等效变换规则1).环野罩牍(mcu)全2)

.

环节并联：C=G₁(s)

·

△=G₁(s)[R+B]C=G,(s)[R

干H(s)

·C]=G₁

(s)R

干G(s)H(s)

·C∴[1干G,(s)H(s)]C=G₁

(s)

·RC=G₁(s)

·

△=G₁(s)[RFB]§2.4系统的传递函数方框图及其简化3).反馈等效：精

R(S)

G₁(S)

C(s)B(s)

H(S)G(S)

C(S)

1±G₁(S)H(S)§2.4系统的传递函数方框图及其简化UaR精Ua

Kms(Tms+1)()Jms

+fmCmCe例1

Sθ§2.4系统的传递函数方框图及其简化4).相加点、分支点的移动相加点换位精品资料网

(ht分支点换位§2.4系统的传递函数方框图及其简化精品资料网

(http://wu.相加点后移相加点前移§2.4系统的传递函数方框图及其简化分支点前移精品资料网

(http://www.cn分支点后移§2.4系统的传递函数方框图及其简化比较点、引出点换位§2.4系统的传递函数方框图及其简化Ur,

KiKmTms²+(1+K₁K₅Km)s+K₁K₂K₃K₄KmKKms(Tms+1)[Kss+KK₂K;}Kms(Tms+1)KsSTmKiK₂K3K₄Km见s+11+K₁KsKmKiK2KsK₄KK₂K₃}

见K¹Km

s(Tms+D)1/K4

s²+K₂K₃K3}K2K;见Ur.K,K₂Ur,Ur-见Ur.θ1§2.4系统的传递函数方框图及其简化G₄(G₁G₂+G₂+

1+G₄(G₂+1G,G2-G4G

·

G₃G₁G2-G2+G3G4G₂+G₃G3)

CG₂G₃CG4.G₁R、G4RCRRCR信号流图结构图源节点输入信号阱节点输出信号混合节点比较点，引出点支路环节支路增益环节传递函数§2.5

控

制

系

统

的

信

号

流

图§2.5.1

信号流图与结构图的对应关系前向通路回路互不接触回路信号流图与结构图的转换(1)控制系统信号流图(1)信号流图H₁信号流图与结构图的转换(2)(14

=

(21$+§(2)结构图→信号流系统信号流图§2.5.2梅逊(Mason)

增益公式Mason公式：

△

混漆相ttp:/1

检

管

。L-

∑LL.L,+…nP.ZL∑LLZLLL△kMason

公式例

1

求传递函数

C(s)/R(s)R△=1-[-G₂G₃H₂-G₄G₅H₅G₃G₄H₄G₁G₂G₃G₄G₅G₆H₁J+(-G₂G₃H₂)(-G₄G₅H₃)

|=1+G₂G₃H₂+G₄G₅H₃+G₃G₄H₄+G₁G₂G₃G₄G₅G₆H₁+G₂G₃G₄G₅H₂H₃P¹=G₁G₂G₃G₄G₅G₆

△₁=1φ(s)=

G₁G₂G₃G₄G₅G₆1+G₂G₃H₂+G₄G₅H₃+G₃G₄H₄+G₁G₂G₃G₄G₅G₆H₁+G₂G₃G₄G₅H₂H₃例

1

求C(s)/R(s)R

RG₁Mason

公式

例2

求传递函数C(S/R(S)RRH₁△

=1-[-G₁G₂H₁-G₂G₃H₂-G₁G₂G₃-G₄H₂-G₁G₄

]=1+G₁G₂H₁+G₂G₃H₂+G₁G₂G₃+G₄H₂+G₁G₄G,G,G₃+G₁G₄G₁G₂H₁+G₂G₃H₂+G₁G₂G₃+G₄H₂+G₁G₄例

2

求C(s)/R(S)φ(s)=

P₁=G₁G₂G₃P₂=G₁G₄△1=1△₂=1Mason

公式例3

求传递函数

C(s)/R(S)蓝RC'sRR

Cs

C's

R例

3

求C(s)/R(S)IV—

VⅢ

—

VII

—

ⅢI—

Ⅱ

Ⅲ

IV△₁=1Mason

公式例4

求传递函数

C(s)/R(s)R△=1-[-H-G₁-G₂-G₁G₂+G₅G₃]-G₃H₁=1+H₁+G₁+G₂+G₁G₂-G₃H₁例

4

求C(s)/R(S)△₁=1△₂=1+H₁P₁=G₁G₂P₂=-G₃Mason

公式例5

求传递函数C(s)/R(s)R△

=1-[G₂H₂-G₁G₂G₃G₄H₁-G₁G₂G₄H₁

]=1-G₂H₂+G₁G₂G₃G₄H₁+G₁G₂G₄H₁P¹=G₁G₂G₃G₄

△1=1P₂=G₁G₂G₄

△₂=1P₃=G₂G₃G₄G₅

△₃=1P₄=G₂G₄G₅

△4=1Ps=-G₃G₄G₆

△s=1P₆=-G₆H₂G₂G₄

△6=1G₁G₂G₃G₄+G₁G₂G₄+G₂G₃G₄G₅+G₂G₄G₅-G₃G₄G₆-G₂G₄G₆H

₂1-G₂H₂+G₁G₂G₃G₄H₁+G₁G₂G₄H₁例5

求C(s)/R(S)φ(s)=Mason

公式例6

求传递函数

C(s)/R(s),C(s)/N(s)牲口次

土

业△

=1-[-G₂H-G₁G₂-G₁G₃

]+G₁G₂G₃H=1+G₂H+G₁G₂+G₁G₃+G₁G₂G₃HP₁=G₁G₂P₂=G₁G₃Pw₁=-

1Pv₂=G₄G₁G₂Pv₃=G₄G₁G₃例6

求C(s)/R(S),

C(s)/N(s)2.

输入

r(t)作用下的闭环传递函数1.

开环传递函数§2.6

考虑扰动的反债系统的传递函数4.

系统的总输出C(s)

及总误差E(s)3.

干

扰n(t)作用下的闭环传递函数R(s)

E(s)B(s)H(s)5.

讨论G₁(s)

·G₂(s)

·H(s)|

>>1并且

|G;(s)

·H(s)|>>1则

反馈系统系统有很强的抗干扰能力，单位反馈时，

H(s)=1,可以近似有C()≈R(s)例7

系统结构图如右图所示，求当输入

r(t)=1(t)干扰

n(t)=δ(t)

R(s)E(s)初条件

c(0)=-1c'(0)=0时系统的总输出c(t)

和总误差e(t)。求解§2.6

考虑扰动的反债系统的传递函数(例)M(s)s+32S§2.7

系统的状态空间模型数学描述方法：(毒雪清特理了有系锡璃

。蒋学素强有等弱

，特

露状态、状态变量和状态向量：

能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的

一

组独立(数目最小)的变量称为系统的状态；其中爵裂果复型积别决思要提供金等感集示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。状态空间：

以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n

维空间称为状态空间。状态方程：

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。

一

般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，可以表示为RLC

电路所选状

建立相应的动态方程，并就解

有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电

感器的电压与磁通。根据独立性要求，电阻器的电压与电流、电容器的电压与电荷、

电感器的电流与磁通这三组变量不能选作为系统的状态。根据回路电