262-二次函的图象与性质课件

二次函数y=ax2的图象和性质二次函数y=ax2的图象和性质知识回顾一次函数的图象是

；反比例函数的图象是

；

问题1：二次函数y=x2的图象是什么呢？一条直线双曲线

函数图象画法列表描点连线

描点法问题2：如何画二次函数y=x2的图象呢？知识回顾一次函数的图象00.2512.2540.2512.254-0.50.511.52-1-1.5-2

0二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线叫做抛物线对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点关于y轴对称试一试画函数y＝-x2的图象00.2512.2540.2512.254-0.50.511练习：练习：二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时这条抛物线关于y轴对称图象在横轴的上方，开口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)当x<0时，函数值y随x的增大而减小：当x>0时，函数值y随x的增大而增大。当x=0时,函数取得最小值，y=0。图象在横轴的上方，开口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)图象在横轴的下方，开口向下，当x<0时，函数值y随x的增大而增大：当x>0

时，函数值y随x的增大而减小。当x=0时,函数取得最大值，y=0。(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)图象在横

函数图象向上向下y轴（直线x＝0）y轴（直线x＝0）（0，0）（0，0）当x＝0时，y最小值为0当x＝0时，y最大值为0二次函数y=ax2的性质议一议在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小。在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大。函数图象向上向下y轴（直线x＝0）y轴（直线x＝0）（0，1、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的开口方向

,对称轴是

，顶点坐标

；

在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=

时，函数y的值最小，是

。（2）抛物线的开口方向

，对称轴是

，顶点是

；

当x>0时，y随着x的增大而

；当x<0时，y随着x的增大而

；当x=0时，函数y的值最大，是

.向上y轴（0，0）对称轴的右对称轴的左00向下y轴增大减小0（0，0）练一练1、根据左边已画好的函数图象填空：（2）抛物线2、已知二次函数y=ax2（a≠0）的图像经过点（-2，-8）。（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）点和在此抛物线上，试比较m和n的大小。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得

-8=a(-2)2,解出a=-2,

所求函数解析式为y=-2x2.

（3）因为点和在抛物线y=-2x2上所以当时，

当时，因此m<n（2）因为，所以点（-1，-4）不在此抛物线上。(-2,-8)2、已知二次函数y=ax2（a≠0）的图像经过点（-2，-8y=-2x2

因为<1所以m>n在对称轴的右边y随x的增大而减小y=-2x2因为<1所以m>n在对称轴通过本节的学习你有哪些收获呢？驶向胜利的彼岸课堂小结通过本节的学习你有哪些收获呢？驶向胜利的彼岸课堂小结在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1）

y＝3x2；（2）

y＝﹣x2．课堂作业:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：课堂作业:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xy二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xy怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax²+bx+c的图象我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.

1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax²+直接画函数y=ax²+bx+c的图象4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).直接画函数y=ax²+bx+c的图象4.画对称轴,描点,连线学了就用,别客气?作出函数y=2x2-12x+13的图象.X=1●(1,2)X=3●(3,-5)学了就用,别客气?作出函数y=2x2-12x+13的图象.例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数y=ax²+bx+c的顶点式一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.1.配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示:这个结果通常称为求顶点坐标公式.例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y顶点坐标公式?因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：顶点坐标公式?因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条例：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。例：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴练习:1.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是x=2,求b的值.2.已知二次函数y=-x2+2x+c的最大值是4,求c的值.练习:1.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是x=2,求b的值例4：若抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，求c的值。变化：抛物线y=x2-4x+c的顶点在y=x+1上，求c的值。解题时可以考虑多种方法例4：若抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，求c的值。变练习：已知抛物线y=-3x2-2x+m的顶点在直线上，求m的值练习：已知抛物线y=-3x2-2x+m的例5：抛物线y=2x2+bx的对称轴在y轴的右侧。求b的取值范围。例5：抛物线y=2x2+bx的对称轴在y轴的右侧。求b的取值例6

已知二次函数(1)当m取何值时,函数图象关于y轴对称;(2)当m取何值时,函数图象与y轴交点纵坐标是1;(3)当m取何值时,函数最小值是-2.例6已知二次函数(1)当m取何值时,函数图象关于y轴对称例7

已知抛物线和(1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点总在y2抛物线上;(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式,在同一坐标系中作出两个图象;例7已知抛物线练习

指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。

练习指出下列抛物线的开口方向、求出B1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是

4B.-1C.3D.4或-14.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<01CAxyo-1B()（）

B1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则A.b=2B.b=-6,c=6C.b=-8D.b=-8,c=186.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()()BxyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3C5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平(7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）CxyoxyoxyoxyoABCD7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？请你总结函数想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐独立作业1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.独立1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.

谢谢大家，再会!作业谢谢大家，再会!作业结束寄语探索是数学的生命线.再见结束寄语探索是数学的生命线.再见求二次函数的表达式求二次函数的表达式1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.二次函数表达式有哪几种表达方式？

一般式：y=ax2+bx+c

顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的表达式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，解方程组得：因此，所求二次函数的表达式是a=2,b=-3,c=5.y=2x2-3x+5.【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.【例题】解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-【例2】已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的表达式.yox解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,由点(0,-5)在抛物线上得：a-3=-5,得a=-2，故所求的抛物线表达式为y=－2(x＋1)2-3.-1-3【例2】已知抛物线的顶点为yox解析：设所求的二次函数为y=【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是求出待定系数a,b,c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的表达式.【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意，得解之得∴所求抛物线的表达式为AyxOCB【跟踪训练】（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是()C1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，C2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:经检查，发现只有