2022-2023学年辽宁省沈阳市兴东中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市兴东中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，

②函数有2个零点③的解集为

④，都有其中正确命题个数是A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B【知识点】函数综合解：因为①当时，可得；②函数有-1，0，1三个零点；

③的解集为；④，都有

所以，①②均不正确，③④正确。

故答案为：B2.若，则方程的根是(

)

A．

B．－

C．2

D．－2参考答案：答案：A3.已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为(

) A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由y=ln（x+a），得，由直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，得，所以切点是（1﹣a，0），由此能求出实数a．解答： 解：∵y=ln（x+a），∴，∵直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，∴切线斜率是1，则y'=1，∴，x=1﹣a，y=ln1=0，所以切点是（1﹣a，0），∵切点（1﹣a，0）在切线y=x+1上，所以0=1﹣a+1，解得a=2．故选B．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.已知函数，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点，则函数（

）A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增C.在区间上有最大值

D.在区间上有最小值参考答案：B5.数列{an}满足，则数列{an}的前20项的和=(

)A．－100

B．100

C．－110

D．110参考答案：A6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．参考答案：B由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.7.平面平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线参考答案：答案：D8.设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：A考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．

专题：计算题．分析：由题意构造函数g（x）=xf（x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（﹣1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．解答：解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0；即g（﹣1）=0，g（1）=0∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，设x＞0，故不等式为g（x）＞g（1），即1＜x；设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣1），即﹣1＜x＜0．故所求的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．9.在等差数列{an}中，对任意n∈N+，都有an＞an+1，且a2，a8是方程x2﹣12x+m=0的两根，且前15项的和S15=m，则数列{an}的公差是（）A．﹣2或﹣3 B．2或3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；消元法；等差数列与等比数列．【分析】由根与系数的关系得出a2+a8=12，a2a8=m；再由{an}的前15项的和为m，列出方程，求出a2、a8与m的值，即可求出公差．【解答】解：等差数列{an}中，an＞an+1，且a2，a8是方程x2﹣12x+m=0的两根，∴a2+a8=12①，a2a8=m②；又{an}的前15项和为m，∴=m，即15a8=m③；由①②③组成方程组，解得a2=15，a8=﹣3，m=﹣45；或a2=12，a8=0，m=0；当a2=15，a8=﹣3时，d=﹣3，当a2=12，a8=0时，d=﹣2；∴数列{an}的公差是﹣3或﹣2．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、一元二次方程的根与系数的关系的应用问题，是综合性题目．10.已知角终边上一点，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13=．参考答案：50考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案为：50．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题12.已知函数的图像与直线有且仅有3个交点，交点横坐标的最大值为则______________.参考答案：013.已知函数f（x）=在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为

．参考答案：（﹣）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将函数分离成f（x）=a，再由反比例函数的单调性，即可得到a的范围．解答： 解：函数f（x）===a，由于f（x）在（2，+∞）上单调递增，则1+2a＜0，解得，a＜﹣．故答案为：（﹣）．点评：本题考查分式函数的单调性的判断，考查分离变量的思想方法，属于基础题．14.已知函数，则不等式的解集是_______．参考答案：试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.

15.数列{an}满足=1，记若对任意恒成立，则正整数m的最小值是

.参考答案：1016.如图，圆的割线过圆心，弦交于点，且～，则的长等于_______。参考答案：317.如图,在边长为的正方形内任取一点,则点恰好落在阴影内部的概率为

．参考答案：试题分析：因为阴影部分的面积,所以由几何概型的计算公式可得概率为.考点：定积分公式和几何概型计算公式的运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．参考答案：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA?DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA?DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA?DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键19.（本题10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，其中C为锐角.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=1，b=4，求边c的长。参考答案：解：（Ⅰ）由得，因为C为锐角，，从而。故角C的大小。（Ⅱ）由，根据余弦定理得，故边c的长是。20.（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，其中，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，依题意有，

………2分解得：或（舍去），

………4分，．

………6分（Ⅱ），

………7分令

①

②①-②得：

………9分，

………10分．………12分21.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通：基本畅通：轻度拥堵：中度拥堵：严重拥堵.在晚高峰时段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：（1）在这个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这个路段中随机抽出个路段,用表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求的分布列及数学期望.参考答案：（1）9,（2）试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积表示对应区间的概率，因此轻度拥堵的路段频率为，个数（频数）为，同理可得中度拥堵的路段个数是.（2）先确定随机变量取法，再利用组合数分别求各自概率，列表可得分布列，最后利用公式求数学期望考点：频率分布直方图，概率分布及数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.22.某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次