2021年辽宁省铁岭市无极限职业中学高二数学理联考试题含解析

2021年辽宁省铁岭市无极限职业中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果命题“p∨q”为假命题，则（）A．p，q均为假命题 B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题 D．p，q中只有一个真命题参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据真值表，当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题，就可得到正确选项．【解答】解：∵当p，q中都为假命题时，“p∨q”为假命题故选A【点评】本题主要考查用连接词“或”连接得到的命题的真假的判断，要熟记真值表．2.先把函数f(x)=cosx的图象上的所有的点向右平移个单位长度，得函数f1(x)的图象，再把f1(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得函数f2-(x)的图象，则f2(x)是A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33 B．34 C．35 D．36参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案．【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33个，故选A．4.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．5.如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）①k的取值范围是（0，）．②＜k＜．③当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负．以上结论中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．①③ D．②③参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；对数函数的图象与性质．【分析】构造函数f（x）=kx﹣lnx，求导可得f′（x）=k﹣，由已知f（x）有两个不同的零点，得k＞0，进一步可得f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，画图可得f（）=1﹣＜0，则0，故①正确；由，得，故②错误；由图可知，当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．【解答】解：令f（x）=kx﹣lnx，则f′（x）=k﹣，由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，∴f（）=1﹣＜0，则0，故①正确；且有，∴，故②错误；当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．∴所有正确结论的序号是①③．故选：C．6.已知集合，，则

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略7.有下列四个命题：①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若有实根则”；④“若”的逆否命题.其中真命题个数为

.A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略8.在直角坐标系中，满足不等式的点的集合（用阴影表示）是（

）参考答案：B9.已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是(

)A．a2＜ab B．|a|＜|b| C． D．参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论．【解答】解：令a=﹣2，b=﹣1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．10.是的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x?ex，则f′（1）=．参考答案：2e【考点】导数的运算．【分析】根据（uv）′=u′v+uv′和（ex）′=ex，求出函数的导函数，把x等于1代入到导函数中即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）=（x?ex）′=ex+xex，∴f′（1）=e+e=2e．故答案为：2e．12.已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1②y=2③y=x④y=2x+1是“单曲型直线”的是．参考答案：①②【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．分别与①②③④中的直线联立方程组，根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”．【解答】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②．故答案为：①②．【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．13.若，则等于

▲

.参考答案：略14.设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为

.参考答案：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.

15.已知，①则②.参考答案：

1

；

24016.已知某一多面体内接于球构成一个简单的组合体，如果组合体的正视图、侧视图、俯视图均如下图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是

.参考答案：12π17.已知，则的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．参考答案：试题分析：由题意得，因为，所以，所以.考点：不等式的性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：，，不能为同一等差数列中的三项．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据分析法，将式子两边平方，进而一步步得到证明；（2）假设，，为同一等差数列的三项，则根据等差数列的通项得到，，将两个式子变形，得到进而推出矛盾.【详解】（1）要证明；只要证，只要证，只要证，只要证，即证．而显然成立，故原不等式成立.（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数，满足

①

②得：两边平方得：左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项【点睛】这个题目考查了反证法的应用以及分析法的应用，属于基础题，反证法主要用于要证的题目比较明显，直接证明反而不易证的题目.19.设正数数列{an}的前n项和Sn满足．（1）

求a1的值；（2）

证明：an＝2n－1；（3）

设，记数列{bn}的前n项为Tn，求Tn．参考答案：解：（1）由得

，则a1＝1．

（2）∵∴an＝Sn－Sn－1＝－（n≥2），

整理得

(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0∵an>0，

∴an＋an－1>0∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2（n≥2）．∴{an}是等差数列，∴an＝2n－1．

（3）∵＝＝∴Tn＝＝．20.（本小题满分12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.参考答案：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则,.……………2分所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为.………………5分（2）的可能取值为：0,10,20,30，则,,,.……………………9分X0102030p………………10分∴的数学期望为=.…………12分21.设，.（1）设，求的值；（2）求的值；（3），化简.参考答案：(1)32.（2）.（3）.【分析】（1）利用赋值法求解，令和，两式相加可得；（2）利用可求；（3）结合式子特点构造可求.【详解】（1）令，得

①令，得

②①+②得；（2）因所以；（3）.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力.22.已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（b为与x无关的常数），证明：.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立