2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试题含解析

2022年河南省洛阳市艺术中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（

）A．95，94

B．92，86

C．99，86

D．95，91参考答案：B由茎叶图可知，中位数为92，众数为86.故选B.2.已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于，两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.函数(为自然对数的底数)的图象可能是

A

B

C

D参考答案：A4.设集合，，则（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C略5.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A． B． C． D．1参考答案：A【考点】向量的共线定理．

【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．6.设集合，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.记数列的前项和为，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.下列说法中，不正确的是(

)A．已知，命题：“若，则”为真命题B．命题：“”的否定是：“”C．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C试题分析：A．正确；B．正确；D，正确；C不正确，若命题“或”为真命题，则命题和命题由一个为真命题即可考点：命题的真假判定9.若直线没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是 （

）A．0 B．1 C．2 D．1或2参考答案：C10.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（

）(A)关于直线对称 (B)关于点()对称(C)关于直线对称 (D)关于点()对称参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，则C的焦距为，C的离心率为．参考答案：8，2【考点】双曲线的简单性质．【分析】结合双曲线的性质=，0=c﹣4，求出a，c即可．【解答】解：过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，因为过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，所以=，0=c﹣4，又因为a2+b2=c2，解得c=3，a=，所以2c=8，e==2，故答案为：8，212.(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，与相交于点，则的长为

．

参考答案：略13.与圆：关于直线：对称的圆的方程是

．参考答案：略14.设向量，，，则______.参考答案：5【分析】由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之，代入计算所求即可.【详解】由已知（x，1），（1，2），?，得到﹣x+2＝0，解得x；∴（，-3），∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算，属于基础题．15.若实数、满足，则的最小值为______________.参考答案：4

16.已知,则___________.参考答案：17.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BMC的体积V．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先，连接AC交BD于O点，得到OG为△AFC的中位线，从而得到OG∥AF，命题得证；（Ⅱ）先连接FM，证明BG⊥CF，然后，证明△FCM为正三角形，从而得到CF⊥面BGM，从而命题得证；（Ⅲ）转化成三棱锥F﹣BMG和三棱锥C﹣BMG的体积之和，它们的体积之和就是以FC为高，以BMG为底的三棱锥的体积，从而得到结果．【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG∵点G为CF中点，∴OG为△AFC的中位线∴OG∥AF，∵AF?面BDG，OG?面BDG，∴AF∥面BDG，（Ⅱ）连接FM，∵BF=CF=BC=2，G为CF的中点，∴BG⊥CF∵CM=2，∴DM=4∵EF∥AB，ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF=4，∴EFMD为平行四边形∴FM=ED=2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF，∵MG∩BG=G，∴CF⊥面BGM，∵CF?面BFC，∴面BGM⊥面BFC．（Ⅲ）∵，∴∴，∴三棱锥F﹣BMC的体积V=．19.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（sinA,b+c），=（a－c,sinC－sinB）,满足=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设=（sin（C+）,）,=（2k,cos2A）（k>1）,

有最大值为3，求k的值.参考答案：解：（Ⅰ）由条件|p+q|=|p－q|，两边平方得p·q＝0，又p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即，又由余弦定理＝2acosB,所以cosB＝，B＝.（Ⅱ）m=（sin（C+）,）,n=（2k,cos2A）（k>1）,m·n=2ksin（C+）+cos2A=2ksi（C+B）+cos2A=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+

（k>1）.而0<A<,sinA∈（0,1],故当sin＝1时，m·n取最大值为2k-=3,得k＝.20.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，且asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c+bcosA=a（4cosA+cosB），求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理；三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB，再利用余弦定理求出cosC，即可求出C的值；（Ⅱ）利用正弦定理化简c+bcosA=a（4cosA+cosB），再利用三角恒等变换得出sinBcosA=2sinAcosA；讨论A=和A≠时，求出a、b的值，计算△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB，∴a2﹣c2=（a﹣b）b，∴a2+b2﹣c2=ab，cosC===；又C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）△ABC中，c+bcosA=a（4cosA+cosB），∴sinC+sinBcosA=sinA（4cosA+cosB），∴sin（A+B）+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB，∴2sinBcosA=4sinAcosA；又A∈（0，π），∴A=时，cosA=0，∵c=2，∴b=2，∴S△ABC=bc=2；A≠时，cosA≠0，∴sinB=2sinA，∴b=2a；∵c=2，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2?a?2a?=3a2=12，解得a=2，∴b=2a=4；∴S△ABC=absinC=×2×4×=2；综上，△ABC的面积为2．【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换以及三角形的面积计算问题，是综合题．21.已知曲线(t为参数)，(为参数)．(I)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾