2022年广东省汕头市溪南中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省汕头市溪南中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：C2.复数=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简为a+bi的形式即可．【解答】解：复数===．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，是基础题．3.若向量、满足、，，则与的夹角为A． B． C． D．参考答案：C4.（多选题）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，F1、F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（

）A.等比数列B.C.轴，且D.四边形的内切圆过焦点F1、F2参考答案：BD【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．【详解】解：，对于：为等比数列则不满足条件，故错误；对于：即解得或（舍去）满足条件故正确；对于：轴，且即解得不满足题意，故错误；对于：四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为，解得（舍去）或故正确故选：【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.5.设实数x、y满足的取值范围是A． B． C． D．参考答案：A6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2

（B）

（C）

（D）参考答案：C时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，，成立，第三次进入循环，否，输出，故选C.

7.若表示直线，表示平面，且，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D8.设P=，则（

）A、PQ

B、QP

C、CRPQ

D、QCRP参考答案：C略9.若全集U={0，1，2，3}且?UA={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个 B．5个 C．7个 D．8个参考答案：C【考点】16：子集与真子集．【分析】利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．【解答】解：∵U={0，1，2，3}且CUA={2}，∴A={0，1，3}∴集合A的真子集共有23﹣1=7故选C10.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为（

）A.

B．

C.

D.参考答案：【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】B

设A（x1，y1），C（x2，y2），

由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，

∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，

∴B（-x1，-y1），k1=，k2=，

∴k1k2==，

∵点A，C都在双曲线上，

∴，，两式相减，得：=0，

∴k1k2=＞0，∴+ln|k1|+ln|k2|=+ln(k1k2)，

对于函数y=+lnx，(x＞0)，由y′=-+=0，得x=0（舍）或x=2，

x＞2时，y′=-+＞0，

0＜x＜2时，y′=-+＜0，

∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，

∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时，k1k2==2，

∴e==．故选：B．【思路点拨】设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（-x1，-y1），从而得到k1k2==，利用点差法能推导出+ln|k1|+ln|k2|=+ln(k1k2)，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值为

．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，当过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即B（8，5），代入目标函数得z=8﹣2×5=﹣2即z=x﹣2y的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12.已知x,y满足约束条件，则的最大值为

▲▲

．参考答案：713.在△ABC中，，则的最大值为

。参考答案：14.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为

.参考答案：；15.若，则,,,按由小到大的顺序排列为

参考答案：

解析：由糖水浓度不等式知，且，得，即16.设等差数列的前项和为，若，则公差为

．参考答案：317.函数,,则任取一点,使得≥的概率为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．参考答案：【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】直线与圆．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…【点评】本题考查四点共圆的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．19.在长方体中，，是棱上的一点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．参考答案：略20.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率和通径长及a2﹣b2=c2联立求出a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长．【解答】解：（1）由，又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得，且a2﹣b2=c2，解得a2=2，b2=1．所以椭圆方程为；（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组，消去y得关于x的方程（1+2k2）x2+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，即64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，得由根与系数的关系得故==又因为原点O到直线l的距离，故△OAB的面积令，则2k2=t2+3所以，当且仅当t=2时等号成立，即时，．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合题，解答的关键是利用根与系数关系得到弦长，代入面积公式后借助于基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．21.已知，对于函数.（1）判断函数f(x)的单调性，并简要说明；（2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，求出a的值.参考答案：（1）f(x)在上是减函数；（2）.【分析】（1）根据单调递增可得单调递减，又，可知为减函数；（2）利用奇函数的定义构造方程可求得.【详解】（1）函数在上是减函数，理由如下：在上单调递增，且在上单调递减，又，且为常数故函数在上是减函数（2）若函数为奇函数，则即：，化简得：，即：，解得：存在使得为奇函数【点睛】本题考查函数单调性的判断、奇偶性的应用，属于基础题.22.（16分）

已知函数（1）试求b,c所满足的关系式；（2）若b=0，方程有唯一解，求a的取值范围；（3）若b=1，集合，试求集合A.参考答案：解析：（1）由，得∴b、c所满足的关系式为．………2分（2）由，，可得．