2022年广东省茂名市化州长岐中学高三数学理模拟试题含解析

2022年广东省茂名市化州长岐中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．24参考答案：D【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．2.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是(

) A．（﹣1，0） B．（0，） C．（0，1） D．（﹣，0）参考答案：A考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出解答： 解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线向量定理、共面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．3.若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=(

)A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．4.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略5.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（

）A.70 B.75 C.80 D.85参考答案：D【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这5次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.6.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D7.一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：由三视图求几何体的体积8.命题“所有能被2整除的整数是偶数”的否定是（

）A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数都是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D略9.已知的面积为，则的周长等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则实数a的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意求出f（x）﹣4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a的值．【解答】解：由题意得，f（x）=，则f（x）﹣4=，若x≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a﹣4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f（x）﹣4有3个零点，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球O的体积为，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的

距离为

.参考答案：略12.已知函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=，此时函数y=f（x）在[0，1]最小值为．参考答案：，

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，利用函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，求出a的值，确定函数的单调性，即可求出函数y=f（x）在[0，1]最小值．【解答】解：由f（x）=x3+2ax2+1，得到f′（x）=3x2+4ax，因为函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=．f′（x）=3x2﹣2x，x∈（0，），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（，1），f′（x）＞0，函数单调递增，∴函数y=f（x）在[0，1]最小值为f（）=．故答案为，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义，考查函数的最小值，是个基础题．13.如右图，在△OAB中，∠AOB=120°，OA=2，OB=1，C、D分别是线段OB和AB的中点，那么=_________参考答案：－略14.已知函数f（x）在定义域[0，+∞）单调递增，则满足f（x﹣1）＜f（）的x取值范围是．参考答案：[1，）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数定义域为[0，+∞），得x﹣1≥0，又f（x）单调递增，所以f（x﹣1）＜f（）?x﹣1＜，从而可得x的取值范围．解答：解：由题意得，，解得1≤x＜．即满足f（x﹣1）＜f（）的x取值范围是[1，）．故答案为：[1，）．点评：本题考查函数单调性的应用，用单调性解不等式，解决本题时要注意函数定义域．15.已知命题P:关于x的不等式恒成立;命题Q:关于x的函数在[0,1]上是减函数.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,则实数a的取值范围是 参考答案：答案：

16.

已知定义在上的函数满足：，若，则

.参考答案：17.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；

②；③；

④．其中是“垂直对点集”的序号是

．参考答案：③④考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）设函数

（1）求的最小正周期；

（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。参考答案：解：（I）故的最小正周期为

（II）依题意当为增函数，所以上的最大值为19.为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别求出课外阅读时间落在[0，2），[2，4）的人数，并用列举法求出所有的基本事件，根据概率公式计算即可；（Ⅱ）分别求出课外阅读时间落在[0，2），[2，4），[4，6），[6，8）的频率，根据t0的要求，求得故t0∈[6，8），继而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A，B，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C，D，E，从5人中选取2人，得到基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10个基本事件，记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M，其中事件M包含AC，AD，AE，BD，BC，BE，共有6个基本事件，所以P（M）==，即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P1=0.02，课外阅读时间落在[2，4）的频率为P2=0.03，课外阅读时间落在[4，6）的频率为P3=0.05，课外阅读时间落在[6，8）的频率为P1=0.2，因为P1+P2+P3＜0.2，且P1+P2+P3+P4＞0.2，故t0∈[6，8），所以P1+P2+P3+0.1×（t0﹣6）=0.2，解得t0=7，所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知△ABC中，是AC边上的中线．（1）求；（2）若，求BD的长．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1）利用△ABD的面积与△CBD的面积相等，即，即可求；（2）利用余弦定理，AB2+AC2﹣2?AB?AC?cos∠A=BC2，解得AC=1，又因为D是AC的中点，所以，即可求出BD的长．【解答】解：（1）因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的面积与△CBD的面积相等，即，所以．

…（2）在△ABC中，因为AB=1，，利用余弦定理，AB2+AC2﹣2?AB?AC?cos∠A=BC2，解得AC=﹣2（舍）或AC=1，又因为D是AC的中点，所以，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2?AB?AD?cos∠A，所以．

…21.(13分)如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.(Ⅰ）求证：PB⊥AC;(Ⅱ)当PD=2AB,E在何位置时，PB平面EAC;(Ⅲ)在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值.参考答案：以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系设

则，(Ⅰ）∵=,=∴==0∴AC⊥PＣ………………4分(Ⅱ）当ＰＤ＝２ＡＢ时，，由（Ⅰ）知⊥