2022年广东省梅州市郭田中学高三数学文月考试卷含解析

2022年广东省梅州市郭田中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=cosx，x∈R}则A∪B=（）A．[﹣1.1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，1]参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={y|y=cosx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∪B={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞）．故选：C．2.如果函数y=2x2+（2a﹣b）x+b，当y＜0时，有1＜x＜2，则a、b的值为(

)A．a=﹣1，b=﹣4 B．a=﹣，b=2 C．a=﹣1，b=4 D．a=1，b=﹣4参考答案：C【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得答案．【解答】解：∵当y＜0时，有1＜x＜2，∴1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得：a=﹣1，b=4，故选：C．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．3.阅读右面的程序框图，则输出的等于

(

)

A．40

B．38

C．32

D．20参考答案：B4.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不

低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.从1,2,3,。。。，10，这10个号码中任取3个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是A

B

C

D

参考答案：B6.已知，向量与垂直，则实数的值为（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：A7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若，则a，b，c的大小关系为（A）a＜b＜c（B）b＜a＜c（C）c＜b＜a

（D）c＜a＜b参考答案：C由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.8.函数满足，且，设，的大小关系是（

）A.M≥N B.M≤N C.M=N D.与x有关，不确定参考答案：A【分析】确定函数关于对称，故，，得到函数的单调性，讨论，，三种情况，分别计算得到大小关系.【详解】，故函数关于对称，故，.故，函数在上单调递减，在上单调递增.，，当时，，故；当时，，故；当时，，故；综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查了函数的对称性，根据函数单调性比较大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用.9.设全集，则图中阴影部分表示的集合为(

)A.

B.C.

D.

参考答案：B略10.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：A【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=（）﹣2=4，从而f（f（﹣2））=f（4），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（）﹣2=4，f（f（﹣2））=f（4）=log24=2．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.参考答案：由已知得，所以，所以。12.已知a∈(，)，tanα=2，则cos2α=

.参考答案：13.实数x，y满足，若2x﹣y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，由2x﹣y≥m恒成立，即求2x﹣y的最小值，设z=2x﹣y，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，当经过图中的A时z最小，由，得A（）．所以z的最小值为2×﹣=﹣所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．14.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.参考答案：答案：215.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，记其前n项和为(t为常数)，则___________(用t表示)．参考答案：.16.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为

.参考答案：60017.对于各数互不相等的整数数组(是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，4，3，1）中的逆序数等于4，若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的二次函数.(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数在区间上是增函数的概率；(II)设点(a，b)是区域内的一点，求函数在区间上是增函数的概率．参考答案：(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为＝.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由得交点坐标为，(10分)∴所求事件的概率为P＝＝.(12分)19.已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：第1次从数列{an}中取a1，第2次从数列{bn}中取b1，b2，第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{an}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn，求满足Sn＜22014的最大正整数n．参考答案：【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{an}与{bn}的通项公式；（2）分析数列{cn}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2+n项选取于数列{bn}，它们的总和Pn=+﹣2；求出符合不等式Sn＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故an=n，bn=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2+n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有Pn=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当Sn=+（2+22+…+22012）时，Sn﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当Sn=+（2+22+…+22013）时，Sn﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合Sn＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．20.已知函数．（Ⅰ）当时，试判断f(x)零点的个数；（Ⅱ）若时，，求m的取值范围．参考答案：（Ⅰ）f(x)有且只有一个零点；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及即可确定函数的零点；（Ⅱ）分和两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值，由求解即可．【详解】（Ⅰ）当时，，．所以，在上单调递减，又，∴有且只有一个零点．（Ⅱ）∵，．（1）当时，在上恒成立，∴在上单调递增，∴，不符合题意．（2）当时，设，当即时，恒成立，所以在上恒成立，∴在上单调递减，∴，符合题意，∴．当即时，有两不等实根，设为因为，可知，所以时，时即在区间上单调递增，单调递减所以，不符合题意．综上，的取值范围为．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x+1经过椭圆C的左焦点． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0），即椭圆的左焦点，可得c=1．又=，b2=a2﹣c2．即可得出． （Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设直线ABd的方程：y=k（k﹣2），与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．利用△＞0，解得k2．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．利用根与系数的关系及+=t，可得P坐标，代入椭圆方程即可得出．【解答】解：（I）直线y=x+1与x轴交点为（﹣1，0），即椭圆的左焦点，∴c=1． 又=，∴a=，b2=a2﹣c2=1． 故椭圆C的方程为=1． （Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在． 设直线ABd的方程：y=k（k﹣2）， 联立，化为：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． △=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2． 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 则x1+x2=，x1x2=，