2022-2023学年山东省青岛市第十六中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年山东省青岛市第十六中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量＝（1,1），＝（－1，m），若∥，则m等于（

）A．1

B.－1

C.0

D.±1参考答案：B略2.点A是抛物线C1：与双曲线C2：(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于A.

B.

C.

D.参考答案：C3.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.（5分）若复数（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（）A．1B．﹣1C．D．参考答案：B【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．解：∵复数==的实部与虚部相等，∴，解得a=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．5.已知数列,那么“对于任意的，点都在直线上”是“数列为等差数列”的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既非充分条件又非必要条件

参考答案：答案：A6.已知数列{}的前n项和为，且,

则等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

参考答案：A因为，所以，解得，所以，即，选A.7.△ABC中，点D在BC上，AD平分∠BAC，若，，||=2，||=3，则=(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】向量的模．【专题】数形结合；数学模型法；平面向量及应用．【分析】由角平分线的性质可得：，．再利用向量三角形法则=，，代入即可得出．【解答】解：由角平分线的性质可得：，∴==，∴．∴=，∴=+==．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）

A．130

B．140

C．134

D．137高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

参考答案：C略9.已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径，，设O到平面ABCD的距离为h，则，解得∴∴.10.下列命题中是假命题的是（）A．?a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgbB．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数C．?α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβD．?m∈R，使f（x）=（m﹣1）?是幂函数，且在（0，+∞）上递减参考答案：A考点： 命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．

专题： 简易逻辑．分析： 利用反例判断A的正误；通过特殊值判断B的正误；特殊值判断C的正误；利用幂函数的定义判断D的正误；解答： 解：?a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以A不正确．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，当φ=时，函数是偶函数，所以B正确．?α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ，例如α=，β=，等式成立，所以C正确；?m∈R，使f（x）=（m﹣1）?是幂函数，且在（0，+∞）上递减，m=2时函数是幂函数，f（x）=x﹣1．满足题意，正确．故选：A．点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四面体中，为的中点，为的中点，则

（用表示）．

参考答案：略12.在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．参考答案：略13.计算：=．参考答案：【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．14.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离,截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．参考答案：【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率。【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接，交于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在中，，∵△EO2C≌△FO1C解得即则椭圆的离心率【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦之比，即。15.等差数列中，公差，，则_____________.参考答案：16.设的二项展开式中含项的系数为，则_________.参考答案：17.设实数x，y满足则的取值范围是．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意将点P（1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P（1，），可得

①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，

④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×

⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意19.已知直线经过定点P（）与圆C:（为参数）相交于AB两点。（1）若，求直线的方程；（2）若点P（）为弦AB的中点，求直线AB的方程。参考答案：20.已知实数满足.(Ⅰ)若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；(Ⅱ)当时，求的最小值.

参考答案：解析：(Ⅰ)由知为的中点，……………………2分设,代入曲线方程:,因为的斜率为，从而,……………………5分，故曲线为焦点在轴上的椭圆，……7分(Ⅱ)记或……………………9分（1）若，此时………11分（2）若，此时…………13分

略21.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（1）求等差数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.参考答案：略22.（13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n2﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n﹣1a万元．（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn万元，求an，bn的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．参考答案：考点： 数列与函数的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），从而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．解答： 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，则n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2时，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，显然n=1也适合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a