2022-2023学年湖北省荆州市横沟市中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆州市横沟市中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有

（

）A．4条

B．3条

C．2条

D．1条参考答案：B略2.已知椭圆的左、右焦点为F1,F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若，且是曲线C2上不同的点，满足，则的取值范围为A.(－∞,－6]∪[10,+∞)

B.[10,+∞)C.(－∞,－10]∪[6,+∞)

D.[6,+∞)参考答案：A3.已知数列,如果()是首项为1公比为的等比数列，那么等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(

)．

A.

B．－

C.

D．－或

参考答案：B5.“”是“直线与直线互相垂直”的（

）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A略6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角为A．B．C．D．参考答案：A略7.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，若，则ac的值为A.12 B.11 C.10 D.9参考答案：A【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【详解】在中，由正弦定理可得化为：即在中，，故,可得，即故选【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。8.若，则复数在复平面上对应的点在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限参考答案：D9.已知长方体，，，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略10.在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则角C等于（）A．30° B．60°或120° C．60° D．120°参考答案：D考点： 正弦定理．

专题： 解三角形．分析： 由条件利用余弦定理求得a=3=b，可得A=B=30°，从而求得C的值．解答： 解：△ABC中，∵已知b=3，c=3，A=30°，则由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA=9+27﹣18?=9，故a=3，故有a=b，∴A=B=30°，∴C=120°，故选：D．点评： 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2015=

．参考答案：﹣6【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】由a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an可判断数列{an}的周期为6，从而求得．【解答】解：∵a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3，a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6，a6=a5﹣a4=﹣6﹣（﹣3）=﹣3，a7=a6﹣a5=﹣3﹣（﹣6）=3，a8=a7﹣a6=3﹣（﹣3）=6，∴数列{an}的周期为6，且2015=335×6+5，∴a2015=a5=﹣6；故答案为：﹣6．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用，属于中档题．12.已知函数的定义域为，部分对应值如下表,的导函数的图②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是

参考答案：①②⑤13.若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项

；参考答案：14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，.若，则

_________.参考答案：_6_略15.已知集合N={1，2，3，4，…，n}，A为非空集合，且A?N，定义A的“交替和”如下：将集合A中的元素按由大到小排列，然后从最大的数开始，交替地减、加后续的数，直到最后一个数，并规定单元素集合的交替和为该元素．例如集合{1，2，5，7，8}的交替和为8﹣7+5﹣2+1=5，集合{4}的交替和为4，当n=2时，集合N={1，2}的非空子集为{1}，{2}，{1，2}，记三个集合的交替和的总和为S2=1+2+（2﹣1）=4，则n=3时，集合N={1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和S3=

；集合N={1，2，3，4，…，n}的所有非空子集的交替和的总和Sn=

．参考答案：12;n?2n﹣1.【考点】进行简单的合情推理；元素与集合关系的判断．【分析】根据“交替和”的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和S3，再根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn即可．【解答】解：法（1）：由题意，S1=1=1×20，S2=4=2×21，当n=3时，S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12=3×22，当n=4时，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3+2）+（3﹣2+1）+（4﹣3+2+1）=32=4×23，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n?2n﹣1法（2）：同法（1）可得S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，对于集合N={1，2，3，4，…，n}，分析可得其共有2n个子集，将其子集分为两类：第一类包含元素n，第二类不包含元素n，其余的元素相同；这两类子集可建立一一对应关系，如{1，n}和{1}，{n}和空集，…共有2（n﹣1）对这样的子集，对于每一对这样的子集，如A和B，∵n大于B中任意元素，∴如果子集B的交替和为b，则子集A的交替和为n﹣b这样，A与B的交替和之和为n，则Sn=n?2n﹣1故答案为：12，n?2n﹣116.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，A=60°，则B的度数为____．参考答案：45°

17.若直线与曲线相切,则=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

在如图所示的几何体中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，四边形BCDE为矩形，DC⊥平面ABC，AC=CD=1，BC=2．(I)求证：平面ACD⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角D—AB—C的余弦值．参考答案：19.（本小题满分14分）已知椭圆

的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为.

（i）若，求直线的倾斜角；

（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.参考答案：（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1.所以椭圆的方程为.………4分(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.………………8分（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。…………10分（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，，，整理得。故。所以。综上，或

…………14分略20.（10分）已知函数

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)求函数的极值。

参考答案：解:函数的定义域为,.(1)当时,,,,在点处的切线方程为,即.

……5分(2)由可知:①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;②当时,由,解得;时,,时,在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值,无极大值.

……10分略21.（本小题12分）已知圆和直线(1)求证:不论取什么值,直线和圆总相交;(2)求取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

参考答案：解:(1)证明:由直线的方程可得,,则直线恒通过点,把代入圆C的方程,得,所以点

在圆的内部,又因为直线恒过点,所以直线与圆C总相交.(2)设圆心到直线的距离为,则

又设弦长为,则,即.∴当时,所以圆被直线截得最短的弦长为4.22.已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解答】解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f