2022年江苏省常州市金坛金沙中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2022年江苏省常州市金坛金沙中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．2.函数的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】作图题．【分析】根据选项提供的信息利用函数值的符号对选项进行筛选．【解答】解：当0＜x＜1时，因为lnx＜0，所以，排除选项B、C；当x＞1时，，排除D．故选A．【点评】本题考查了函数的图象，筛选法是做选择题常用的办法．3.已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍C．不变 D．缩小到原来的参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r，原来的高为h，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V现=π（）2×2h=πr2h=V原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．5.平行四边形ABCD中，?=0，且|+|=2，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．4π B．16π C．2π D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知中?=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，?=0，且|+|=2，∴平方得2||2+2?+||2=4，即2||2+||2=4，∵?=0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，∴平面ABD⊥平面BDC∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2，∵2||2+||2=4，∴AC2=4∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：A．6.已知点P（）在第三象限，则角在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B解：因为点在第三象限，因此，选B7.已知满足，且，，那么等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B和平面A1B1CD所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，0，﹣1），设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，sinθ===，∴θ=，∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为．故选：B．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.已知偶函数f(x)在区间[0,＋∞)上单调增加,则满足<的x取值范围是()A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是()A．32

B．27

C．24

D．33参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________参考答案：-16

略12.如图2，在△ABC中，已知=2，=3，过M作直线交AB、AC于P、Q两点，则+=

。参考答案：413.已知平面向量，，若，则实数等于

参考答案：14.已知幂函数的图象过，则_______

__

.参考答案：略15.设x、y∈R＋，且＝1,则x＋y的最小值为________.参考答案：16略16.已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+|．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据单位向量的定义和向量数量积运算公式，算出||=||=1且?=，由此结合向量模的运算公式即可得到向量+的模的大小．【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴||=||=1，且?=1×1×cos60°=因此，|+|2=2+2?+2=12+2×+12=3∴向量+的模|+|=故答案为：【点评】本题给出单位向量夹角为60°，求向量+的模，着重考查了单位向量的定义和向量数量积运算公式等知识，属于基础题．17.已知，，则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．（2）由条件求得sin（α﹣β）的值，利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值，从而求得β的值．【解答】解：（1）由cosα=，0＜β＜α＜，可得sinα==，tanα==4，∴tan2α===﹣．（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，可得sin（α﹣β）==，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，∴β=．19.已知直线l：x﹣y+a=0（a＜0）和圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=19相交于两点A、B，且|AB|=2．（1）求实数a的值；（2）设O为坐标原点，求证：OA⊥OB．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意，圆心到直线的距离d===，结合a＜0，即可求实数a的值；（2）证明x1x2+y1y2=0，即可证明：OA⊥OB．【解答】（1）解：由题意，圆心到直线的距离d===，∵a＜0，∴a=﹣3；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=x﹣3代入圆方程得：2x216x+15=0，∴x1+x2=8，x1x2=，∵y1=x1﹣3，y2=x2﹣3，[来源:Z#xx#k.Com]∴y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）=x1x2﹣3（x1+x2）+9=﹣，∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基础知识的综合运用和灵活能力．20.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？参考答案：【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即＜t+＜，解得t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即

＜t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．21.（12分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别为AB，AA′的中点．求证：CE，D′F，DA三条直线交于一点．参考答案：考点： 平面的基本性质及推论．专题： 空间位置关系与距离．分析： 先证四边形EFD'C为梯形，再证M∈平面AA'D'D，M∈平面ABCD，又平面AA'D'D∩平面ABCD=AD，根据公理2可证M∈AD．解答： 证明：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连A′B，∵BC∥A′D′，BC=A′D′，∴四边形A'D'CB为平行四边形，∴A′B∥D′C，A′B=D′C，又EF为△AA'B的中位线，∴EF∥A′B，EF=A′B，∴EF∥D′C，EF=D′C，∴四边形EFD'C为梯形．设D'F∩CE=M，则M∈D'F，M∈EC．∴M∈平面AA'D