安徽省黄山市八校联盟2024届数学高一上期末联考试题含解析

安徽省黄山市八校联盟2024届数学高一上期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知为锐角，为钝角，，则（）A. B.C. D.2．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为A. B.C. D.3．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A. B.C. D.4．已知函数是定义域为奇函数，当时，，则不等式的解集为A. B.C. D.5．函数的定义域为A B.C. D.6．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.三种形状都有可能7．已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.，8．用样本估计总体，下列说法正确的是A.样本的结果就是总体的结果B.样本容量越大，估计就越精确C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D.数据的方差越大，说明数据越稳定9．函数与的图象交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A. B.C. D.10．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数的图像恒过定点，若点也在函数的图像上，则__________12．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点13．设平面向量，，则__________.若与的夹角为钝角，则的取值范围是__________14．若，且α为第一象限角，则___________.15．函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______16．已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知正方体，分别为和上的点，且，.（1）求证：；（2）求证：三条直线交于一点.18．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、19．已知函数求：的最小正周期；的单调增区间；在上的值域20．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值21．已知函数为奇函数.（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案.【题目详解】因为为锐角，为钝角，，所以，，则.故选：C.2、C【解题分析】当时，单调递增，单调递减故选3、A【解题分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【题目详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A考点：三角函数的性质.4、A【解题分析】根据题意，由函数的解析式分析可得在为增函数且，结合函数的奇偶性分析可得在上为增函数，又由，则有，解可得的取值范围，即可得答案.【题目详解】根据题意，当时，，则在为增函数且，又由是定义在上的奇函数，则在上也为增函数，则在上为增函数，由，则有，解得：，即不等式的解集为；故选：A【题目点拨】本题考查函数奇偶性与单调性结合，解抽象函数不等式，有一定难度.5、C【解题分析】要使得有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.【题目详解】要使得有意义，则要满足，解得.答案为C.【题目点拨】常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母0；（2）偶次根式：被开方数0；（3）0次幂：底数0；（4）对数式：真数，底数且；（5）：；6、C【解题分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状【题目详解】解：，，为三角形内角，，为钝角，即三角形为钝角三角形故选C【题目点拨】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用7、D【解题分析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可.【题目详解】当时，令，即可得，；故在时，一定有一个零点；要满足题意，显然，令，解得只需，解得.故选：D【题目点拨】本题考查由函数的零点个数求参数范围，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.8、B【解题分析】解：因为用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，成立选项A显然不成立，选项C中，样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态，、数据的方差越大，说明数据越不稳定，故选B9、A【解题分析】令，解方程可求得，由此可求得两点坐标，得到关于点对称，由可求得结果.【题目详解】令，，解得：或（舍），，或，则或，不妨令，，则关于点对称，.故选：A.10、D【解题分析】根据任意角的三角函数的定义即可求出的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出的值【题目详解】由题意，角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，所以，，所以故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】首先确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.【题目详解】令可得，此时，据此可知点A的坐标为，点在函数的图像上，故，解得：，函数的解析式为，则.【题目点拨】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.12、3【解题分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【题目详解】因为，所以函数在R上单调递减，又，，，，且当时，，当时，令，则，综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点故答案为：3.13、①.②.【解题分析】（1）由题意得（2）∵与的夹角为钝角，∴，解得又当时，向量，共线反向，满足，但此时向量的夹角不是钝角，故不合题意综上的取值范围是答案：；14、【解题分析】先求得，进而可得结果.【题目详解】因为，又为第一象限角，所以，，故.故答案为：.15、【解题分析】首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.【题目详解】函数，所以真数位置上的在上恒成立，由一次函数保号性可知，，当时，外层函数为减函数，要使为减函数，则为增函数，所以，即，所以，当时，外层函数为增函数，要使为减函数，则为减函数，所以，即，所以，综上可得的范围为.故答案为.【题目点拨】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.16、【解题分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.【题目详解】由已知可得，则，解得，故，由得，因为，则，可得，令，，则函数在上单调递减，所以，，.因此，正整数的最大值为.故答案：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析【解题分析】（1）连结和，由条件可证得和，从而得到∥.（2）结合题意可得直线和必相交，根据线面关系再证明该交点直线上即可得到结论【题目详解】证明：(1)如图，连结和，在正方体中，，∵，∴，又，，∴又在正方体中，，,∴，又，∴同理可得，又，∴∴∥.（2）由题意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直线和必相交，不妨设，则，又，所以，同理因为，所以，所以、、三条直线交于一点【题目点拨】（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上．解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解18、【解题分析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.详解：由题意，如图，，连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，∴点在上，∴，故答案为；；∴点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）19、（1）；（2），；（3）.【解题分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论;利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间;利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域【题目详解】函数，故函数的最小正周期为．令，求得，可得函数的增区间为，在上，，，，即的值域为【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于中档题．单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.20、（1）＋1（2）【解题分析】求出，的坐标，然后求解，以及平行四边形的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可；利用三角函数的定义，求出，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值解析：（1）由已知得，的坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以，又因为平行四边形的面积为，所以又因为，所以当时，的最大值为（2）由题意知，，因为，所以，因为，所以由，，得，，所以，，所以21、（1），证明见解析；（2）.【解题分