数学线代线性代数课件

2.3行列式的展开定理

2.3.1行列式按一行（列）展开2.3.2伴随矩阵与矩阵求逆在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，叫做元素aij的代数余子式．定义2.5

2.3.1行列式按一行（列）展开剩下的元素按原来的相对位置排列，叫做元素aij的余子式，记作Mij.行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式.形成的n-1阶行列式引理2.1:(2.8)证明当aij位于第一行第一列时,即有又从而引理2.2若A的第i行除aij外，其余元素都为零，则|A|=aijAij.把|A|的第i行依次与第i-1行，第i-2行…第1行对调，证明再把|A|的第j列依次与第j-1列，第j-2列…第1列对调，所以|A|=(-1)i+jaijMij设n阶矩阵A=(aij)，则A的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

证明定理2.4同理可以证明列的情况.设n阶矩阵A=(aij)，则A的行列式等于某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明把行列式|A|按第j行展开，有|A|推论当ajk=aik(k=1,…,n)时=0

同理可证明列的情况.当i≠j时=++jninjiAaAaL11ai1…ain例2.11计算行列式解=1080例2.12计算n阶行列式解按第一行展开，得,等号两端减Dn-1，得这是一个关于Dn-Dn-1的递推公式,反复使用递推公式,得：因为所以故例2.13范德蒙德(Vandermonde)行列式

n阶范德蒙德行列式的特点：(1)每列(行)为某个数的不同方幂.(2)幂次从0递增到n-1.(3)结果为后列元素减去前列元素的乘积.(2.9)

证明用数学归纳法.所以当n=2时等式成立.由于Vn假设等式对于n-1阶行列式成立,证n阶范德蒙行列式也成立。将Vn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍,则将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，n-1阶范德蒙德行列式例2.14计算n阶行列式b≠ai,i=1,…,n.解用加边法，构造n阶行列式，使得按第一行（列）展开后，等于原行列式计算行列式常用方法：(1)利用定义.(2)利用性质化为三角形行列式.(3)行列式按行（列）展开原则.(4)递推法.(5)数学归纳法.(6)每行和为常数，列相加，再提取公因子.(9)加边法.(7)相邻两行依次相减，化简行列式.(8)利用已有的结论.

定义2.62.3.2伴随矩阵与矩阵求逆

称为矩阵A的伴随矩阵.行列式的各个元素的代数余子式所构成的伴随矩阵的性质:证明如下矩阵则故同理可得=矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0,且

其中A*为矩阵A的伴随矩阵.证明若可逆，矩阵A可逆，则|A|≠0即有B使AB=E.所以|AB|=|E|=1，又|AB|=所以|A|≠0.必要性.若|A|≠0，则矩阵A可逆充分性.由于所以故定理2.5说明:1.矩阵A可逆的充要条件：2.A的逆矩阵的计算：注意：方阵A的伴随矩阵A*总是存在的，而A的逆阵却例2.15判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.不一定存在.解故A不可逆，B可逆。例