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内容回顾1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动目录上页下页返回结束一、二重积分的概念和性质方法：二重积分化为二次积分直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束二、二重积分的计算：巩固1.交换下列积分顺序解:

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束巩固2.求两个底圆半径为R的直圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束[讲解]：1、P2516（1），（2）提示：函数f(x,y)=12、P2517（1），（2）3、p25352问题提出：1、多元积分学关键是将区域细分。2、在细分过程中会碰到圆形的或是扇形等区域在直角坐标中细分比较麻烦，而运用极坐标表示比较方便.阅读：书本P244-245有关极坐标的内容平面两种坐标系：1、平面上的点的坐标和曲线的方程可用2、两者关系：或对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束设则特别,对机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束例1.计算围成的闭区域.解:

在极坐标系下故原式例2.计算解:

在极坐标系下故原式（运用分部积分法）例3.计算平面区域.解:

在极坐标系下故原式例4.计算其中D

为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束例5.计算解:

区域见P247图8.23

在极坐标系下:巩固练习P2514（1，2）

5（1，2，3，4）

3三、广义二重积分1、与一元函数类似，二重积分也可以推广至无界2、方法：先计算在有界区域上的二重积分，区域上，即广义二重积分；它在概率论和数理统计等领域有着广泛的应用.再令该有界区域趋向于原无界区域，如极限存在则称此广义二重积分收敛，否则发散。例6.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束计算其中[深化]：注:这是一个在概率论与数理统计及工程上非常有用

的反常积分公式例8.求解:

转化为极坐标系下：巩固练习P2518（1，2）作业：P2503（1，2）P2534(3，5）思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换机动目录上页下页返回

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