多服务窗混合制排队模型在高校食堂的应用

多服务窗混合制排队模型在高校食堂的应用

0开放的时段随着高中的增加，学生人数急剧增加，物流服务尤其是食堂工作，这也越来越重要。作为学生吃饭的主要场所，食堂以相对独立的窗口提供食物和其他食物。完整的晚餐过程主要包括团队准备和晚餐的过程。在学校餐厅开放的高峰时段，学生们有很多食物，如餐饮。如果服务窗口较小，学生将抱怨队列等待时间太长，或者队长太长，直接离开系统寻找其他服务。如果服务窗口太多，吃得越来越少，那就是食堂垃圾、劳动力和财力不足，这不利于食堂的快速发展。考虑到这一点，我们尝试了一种更实用、更合理的食堂优化管理模型。湖北师范学院现有在校人数近20000人,共有琼林苑、问山居、集贤阁3个食堂,食堂总占地面积为13500m2,人均占地面积0.675m2,而国家规定的食堂人均占地面积为1.1m2.比较二者,反映我校食堂面临着巨大的压力,以往的管理体制再也无法满足现今的顾客需求,寻求新的食堂管理模式成了急需解决的问题.现以集贤阁为例,该食堂总占地面积为2200m2,座位数约为400个,窗口数10个.考虑学生就餐时的就近原则,离该食堂最近的教学楼平均每天(周一至周五)上课的人数达4000人次,并且,学校食堂客源较稳定以及学生就餐的时间较固定.1顾客方面的指标首先,我们仅考虑排队等待服务这一过程.我们侧重顾客与服务窗之间的一种服务关系,排队模型框图如图1所示.假设顾客(这里指学生)到达系统(食堂)的方式是相互独立的,顾客进入系统,即使发现服务窗均忙着,只要排队人不多,或排队时间不长,仍愿意排队等候.于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候接受服务,这里只考虑先到先服务.虽然顾客源有限,但由于系统空间有限,高校食堂服务的特殊性(只在规定时间开放),顾客源在考虑时间段内可以视为无限,系统仅允许有限个顾客排队等待,其余顾客只好离开另寻其他系统服务.根据以上理解与约定,我们建立多服务混合制排队模型M/M/n/m.在多服务混合制排队模型M/M/n/m中,第1个M表示顾客相继到达系统的间隔时间服从参数为λ的负指数分布;第2个M表示服务时间也服从参数为μ的负指数分布;n为服务系统中服务窗口的个数;m为系统内(最大)排队容量或顾客在系统中排队所允许的(最大)长度,包括正在接受服务和处于排队等待服务的顾客,在仅考虑排队等待服务这一过程时,将m理解为顾客的最大容忍排队等待的平均队长×窗口数.设ρ1=λμ‚ρ2=ρ1n,易得系统的各项运行指标:1)系统的损失概率:p损=pm=nnρmn!p0;2)平均无空闲服务窗口个数:L服=ˉk=n-1∑k=0kpk+nm∑k=0pk=λeμ;3)平均排队等待队长:当ρ≠1时,Lq=nnρn+1Ρ0n!(1-ρ)2[1-(m-n+1)ρm-n+(m-n)ρm-n+1];当ρ=1时,Lq=m-n∑l=0nnlp0n!=nn2n!(m-n)(m-n+1)p0;4)平均顾客数:Ls=Lq+L服=Lq+λeμ=Lq+n-n-1∑k=0(n-k)pΚ;5)顾客在系统内平均逗留时间:Ws=Lsλe=Wq+1μ;6)顾客在系统内平均排队等待时间:Wq=Lqλe={nnρn+1Ρ0n!(1-ρ)2λ(1-pm)[1-(m-n+1)ρm-n+(m-n)ρm-n+1]‚ρ≠1nnp02n!λ(1-pm)(m-n)(m-n+1)‚ρ=1.2顾客则排的平均人数通过对集贤阁实地调查与统计,得到周一至周五11∶30～12∶00就餐高峰期内每分钟食堂顾客输入与输出量以及食堂滞留量,见表1.根据表1可知,在高峰期内,食堂输入与输出的总量分别为1120人与885人,同时可计算出单位时间(1s)内到达食堂的顾客人数为λ=0.62222,结合调查,每个顾客的平均服务时间为ˉt=9.1025s,从而得知各窗口的平均服务率μ=1t=0.10986.在此食堂内我们测得的窗口数和最大容量分别为n=10,m=165,对此我们通过模型求解得到ρ1=5.6638,Lq=0.0967,Wq=0.1553,从我们得到的数据来分析,系统中顾客排队的平均人数为0.0966418人,显然不太符合实际.2.1窗口开放系数经分析,考虑调整窗口数,考察食堂的管理体制是否科学,得到各项运行指标,如表2所示.观察发现,理论上食堂的有效窗口数为6个是较合理的.而事实上食堂开放的窗口数为10个,通过调查,发现其中有4个窗口由于各方面的原因而基本上不存在排队的情况,比如说顾客不满意该窗口菜的价格、口味等.从而,该食堂存在排队的有效窗口也只为6个,换言之,理论与实际还是相符合的,而另外4个窗口的开放是人力、物力及财力的浪费.因此我们取n=6,m=165,通过模型的求解得到ρ1=5.6638,Lq=14.3303,Wq=23.0311,此结果表明系统中顾客排队等待的平均人数为14.3303人,排队等待的时间为23.0311s.根据调查访问得到的顾客最大容忍排队等待的平均人数与等待时间分别为16.4776人与6.7222min,而我们得到的理论值都在以上范围内,所以,高峰期窗口开放数为6个较合理.2.2实验结果分析对于食堂中配套的座位数而言,设置太少会让食堂的学生滞留量增大,使学生的抱怨度增大,不利于食堂的管理和服务质量的提高;设置太多,无疑是给食堂增加了沉重的成本负担.为此有必要对食堂中座位数进行优化,尤其是应充分考虑座位数与食堂实际开设窗口数相匹配.现只考虑进餐过程,设系统有效服务窗口数为n,平均服务时间为ˉt,食堂现有座位数为N,顾客平均就餐时间为ˉΤ.为便于处理,把每个窗口和座位都看成2个独立的服务台,则每个窗口的服务流(速率)是1/ˉt,每个座位的服务流是1/ˉΤ.在文献中有:当系统处于稳定状态,应使2个服务流动速度相适应,即有:n×(1/ˉt)=Ν×(1/ˉΤ)(1)经调查知,集贤阁学生食堂实际服务窗口数为10个,有效服务窗口数是6个,平均服务时间9.1025s,顾客平均就餐时间12min,则可以计算得到该食堂理论上需要791个座位才能与10个窗口相适应,但考虑到只有6个有效服务窗口,故食堂只需要474个座位即可满足顾客需要.实际调查发现,学生食堂的座位数实际只有424个,即座位偏少.实际我们从滞留量图也可分析得出,滞留量最大值为553,但考虑到有部分学生此时正处于排队状态,即实际进入正在就餐的人数=滞留人数-排队总人数,即553-6×14=469,理论值与实际吻合得很好.由此在食堂的设计过程中,通过事先调查附近食堂ˉt、ˉΤ值,就可以通过式(1)得到将建设的食堂窗口数与座位数的配比关系.通过合理的建设,可以最大限度地节约资源,提高座位的实际上座率.2.3实验结果的描述,可产生“流”在实际有效窗口数n=6的情况下,考虑让λ变化,让Lq接近最大忍受队长Lq忍,利用Mathematica中Solve函数可求出λ的最大值.我们求得λ=0.67286,我校集贤阁食堂高峰期若设为11∶25～12∶05可容纳40×60×0.672855=1615人吃饭(大于实际测得的数据1120),即我校集贤阁食堂在高峰期还可以再容纳495人吃饭.若对学生流按照正态分布进行处理,可求得a=15,δ=13.按照δ原则,理论上,在开放时间段食堂总共可供30×60×0.6728550.6≈2019人吃饭.2.4实际成本及密度在保证食堂利润的情况下,我们充分考虑延长系统开放时间,以便更好地服务学生.为此我们调查取得了食堂的月成本,包括员工的工资、材料费、管理费、维修费.在只考虑食堂成本的情况下,通过调查访问了解到集贤阁某月实际成本为324984.5元,每月按30d计算,食堂一天开放3次,每次营业时间为140min。通过计算可知,食堂每分钟的营业成本为324984.5430×3×140=25.7924元/min.假设平均每人在食堂消费4元,则