银行窗口自动取号机排队优化模型

银行窗口自动取号机排队优化模型

在我国金融开放日益深化的背景下，银行的服务质量和效率决定了其市场竞争力。近年来，随着商业银行零售业务的快速发展，银行排起的现象非常严重，引起了许多客户的抱怨和不满。队列的本质是由于终端生产能力不足而产生的外部“库存”。银行将库存转嫁给生产过程中的“库存”成本。然而，这一简单而广泛的改进之处在于，如果设备投资过大，生产能力的固定性以及客户对服务需求的适应性，这可能会增加设备静脉空闲的可能性，增加银行的成本。因此，我们需要确定客户的等待成本与银行分散成本之间的合理平衡。寻找持续有效解决银行排队问题的办法,需用排队理论从柜台整体布局的角度进行科学研究.目前用随机理论研究排队过程的理论成果比较多,但是专门针对银行柜台排队特点的随机过程还缺乏实证性研究.本文从广州某银行采集了2006年1～4月银行窗口自动取号机排队数据,运用随机过程理论,建立了银行柜台优化模型,提出了改善整个柜台服务系统的设想,即最佳柜台规模和最佳工作窗口数,为银行排队管理决策提供科学依据.1顾客到达分析根据2006年1～4月银行窗口自动取号机排队数据,拟合顾客到达时间间隔的分布F(t)=1-e-0.0111t,见图1,即顾客到达服从参数为0.0111的概率分布.拟合银行窗口对顾客服务时间的分布函数:F(t)=1-e-0.0039t,见图2,即服务时间服从参数为0.0039的负指数函数分布.2为客户到达和服务时间分布的验证2.1fi1-e1/μ=∑xifin(μ,xi为频数,fi为频率),Pi=P(xi<ξ<xi+1)=e-μxi+1-e-μxi,¯fi=nΡi‚χ2=4∑i=1(fi-¯fi)2¯fi(i=0,1‚⋯‚3),其中,χ2为χ2检验统计量.采用皮尔逊χ2检验,若检验χ2>χ20.05拒绝原假设,认为不严格服从泊松分布,若检验χ2<χ20.05接受原假设,认为服从负指数分布.2.2顾客距离间隔分布对数据进行分析,在不同的时间段,对服务时间间隔和到达时间间隔进行服从负指数分布的χ2拟合检验,结果如表1所示.结果分析:在1.0～2.0h的时间段内顾客的到达间隔分布基本上服从负指数分布,但各时段的参数λ值不同,所以一天顾客时间间隔的分布并不服从负指数分布,但可以理解成由不同小时段服从不同参数λ的负指数分布共同组成.服务时间分析结果也相同.2.3值和服务时间统计工作日各时段顾客的到达人数和各日到达总人数(见图3、4),计算得到每天不同时段顾客到达间隔负指数分布的λ值和不同工作日顾客到达间隔负指数分布的λ值,结果如表2、3所示.各工作日不同时段顾客到达的时间间隔可用不同λ值的负指数分布来表述,λ值的计算公式如下:λ(t)=η1(t)×η2(t)×ˉλ,η1为不同时段修正系数,η2为不同工作日修正系数,ˉλ为总体平均λ值,此取0.008人/s(例如:星期一8点对应的λ值为0.218×1.244×0.008=0.0022).对于服务时间,可以认为是不同时段服从相同的μ值的负指数分布,μ值为0.00287,即服务0.00287人/s.3模型的构建3.1稳定状态转移方程①顾客到达概率服从参数λ值不变的泊松分布,即顾客到达率不变.②服务时间概率服从参数为μ的泊松分布,即服务强度不变.③工作时间足够长,能使服务系统达到稳定状态.根据状态转移方程得到稳定状态转移方程:{μΡ1=λΡ0‚(n+1)μΡn+1+λΡn-1=(λ+nμ)Ρn(1≤n≤c)‚cμΡn+1+λΡn-1=(λ+nμ)Ρn(n>c)‚其中,∞∑n=0Ρn=1,且ρ=λcμ≤1时,由递推关系可以求得服务系统稳定时状态概率Ρn={1n!(λμ)nΡ0,n<c‚1c!1cn-c(λμ)nΡ0,n≥c.运行指标队列长Lq=∞∑n=c+1(n-c)Ρn=(cρ)cρc!(1-ρ)2Ρ0,等待时间wq=Lqλ=(cρ)cρc!(1-ρ)2λΡ0.3.2服务系统的稳定性模型输入率不同主要有两方面原因,一是各个时间段到达人数概率服从不同λ值的泊松分布,即各个时间段的到达概率不同,二是尽管顾客不断到达,但并非都进入排队系统接受服务,一些顾客看到前面等待人数太多而选择离开(排队机上显示“弃号”),造成有效到达率减少,也可以理解成λ值改变,所以根据实际情况,对服务系统做如下假设:①在不同时间段顾客到达数量的概率服从不同参数λ值的泊松分布,但各个小时内的到达率相同.②服务时间的概率服从参数为μ的泊松分布,即服务强度不变.③顾客看到前面队长为n时,进入系统的概率ak=cn(n>c).④服从相同λ值的泊松分布的时间段较短,服务系统很难达到稳定模型,根据状态转移方程得到稳定状态转移方程{μΡ1=λΡ0‚(n+1)μΡn+1+λΡn-1=(λ+nμ)Ρn(1≤n≤c)‚cμΡn+1+cn-1λΡn-1=(cnλ+cμ)Ρn(n>c).4平均等待时间取平均到达率为0.008,平均服务率为0.00287(根据06年1～4月银行窗口自动取号机排队数据算出),计算不同C下的平均等待时间,平均逗留时间wq和平均队长Lq.4.1稳态时平均序列及等待时间理论解法只能求得状态稳定时的概率分布,对于模型有可变输入率又没有达到稳定的服务系统,因为存在一定的随机性,所以不能求解.对于模型一的MMC模型,由公式可以推导出各个状态下的概率,并计算得到稳态时的平均队列长和平均等待时间.队列长Lq=∑n=c+1∞(n-c)Ρn=(cρ)cρc!(1-ρ)2Ρ0,等待时间wq=Lqλ=(cρ)cρc!(1-ρ)2λΡ0.4.2计算机模拟解决方案通过计算机来模拟顾客到达和窗口服务,可以对实际服务系统进行仿真,随着模拟次数增加,就能求得服务系统各个指标的期望和概率分布.5计算5.1在规定的时间内不同窗口数情况下达到稳态时的平均等待时间与平均队长结果比较见表4、5和图5.5.2顾客等待时间在该情况下认为λ值在1h内不变,将1个工作日按小时分成不同工作时段来求解,因为每个时段只有1h,时间较短,在窗口较少的情况下可能没有达到稳态,所以用公式求解的结果反而不真,用计算机模拟的结果更符合实际情况.由于顾客每天到达银行的时间间隔和服务时间都是随机数,因此在窗口一定的情况下,不同工作日各时段的平均等待时间、平均队长也是一个随机变量.以9∶00～10∶00为例,λ值为0.0102,用计算机模拟100d,可以得到等待时间的概率分布图(见图6、表6).不考虑弃号情况,开3个窗口和4个窗口5d各时段顾客等待时间见图7、8.6优化窗口数量6.1优化原则1在满足顾客容许等待时间的条件下,使窗口数量最少.6.1.1模型的构建min(c(t)),{Ρt(wq<5)>0.95‚c(t)Ls(t)>0.9‚c(t)Ls(t)是在时段t内进入服务系统的平均概率.6.1.2窗口数.百分点这是一个组合规划问题,用贪婪算法求解各时段最优设置的窗口数,步骤如下:Step1根据实际情况给各时段开设的窗口数赋初值,取相对较少的窗口数.Setp2在该窗口数下用计算机模拟100d,计算各个时段等待时间小于5min的概率与顾客进入服务系统的平均概率.Step3将等待时间小于5min的概率最小的时间段的窗口数增加1个,重复Step2.Step4重复Step3,直至各个阶段的等待时间小于5min的概率全部大于0.95,顾客进入服务系统的平均概率全部大于0.9时,退出循环.取各阶段窗口的初值为2个,计算得到的结果如表7所示.6.2单位时间内的费用单位时间平均总费用最小.模型为min(ce0+wq¯e1)‚C为窗口数量,e1表示顾客在服务系统逗留单位时间的费用,e0表示单位时间内一个窗口的平均费用,wq¯表示平均等待时间,因为C和wq¯都是一个离散值,令f(c)=ce0+wq¯e1,最佳C*只要满足f(c*)≤f(c*-1),f(c*)≤f(c*+1).根据实际的到达率和服务率,用计算机模拟计算出wq¯,然后就可以求出最佳的C*值.7窗口设置原则以现有顾客需求决定银行柜台规模,或柜台规模一定条件下实施窗口数量弹性管理的基本方法归纳如下:●统计不同工作日、不同时段的顾客到达率与窗口服务强度,验证是否服从泊松分布,并根据实际情况调整参数λ值.●根据到达分布和服务时间分布进行计算机模拟,计