江苏省无锡市2023-2024学年上学期第一次月考模拟检测八年级数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市八年级数学上第一次月考模拟检测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m3．如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC其中正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．54．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD5．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．角不是轴对称图形 C．全等的两个三角形一定成轴对称 D．等腰三角形的底角必小于90°6．（2019春•应城市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝56°，则∠BEG等于（）A．112° B．88° C．68° D．56°7．（2022秋•西城区校级期中）如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（）A．50 B．60 C．66 D．808．（2020•新华区校级模拟）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（）A． B． C． D．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．（2022春•东源县校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°．若AB＝5，则BE+BF的长度为（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9评卷人得分二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•镇江期中）一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．（2021秋•简阳市月考）如图，△AOC≌△BOD，则∠A＝，OA＝．13．（2021秋•中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B＝．14．（2022秋•武汉期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝°．15．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝∠A，如果△BCD的面积是16，那么CD的长为．16．（2023春•魏都区校级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动秒时，△ACP是直角三角形．17．（2023春•薛城区期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△A′B′C′的顶点都在格点上，且△A′B′C′是由△ABC先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则m﹣n的值为．18．（2022秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．评卷人得分三.解答题（本大题共9小题，共76分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（6分）（2021秋•徐闻县期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．20．（8分）（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．21．（8分）（2023春•砀山县校级期末）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．​22．（8分）（2021秋•高邮市期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有个；（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．23．（8分）（2021•上城区二模）如图，已知△ABC．（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．24．（8分）（2021春•开州区校级期中）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD．（1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝AD，求DE的长；（2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF．25．（8分）（2019秋•北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．26．（10分）（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．27．（12分）（2020秋•开福区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动，设运动时间为t秒．（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①请用含t的式子表示CM＝，BM＝；②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少？（直接写出答案）2023-2024学年江苏省无锡市八年级数学上第一次月考模拟检测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，∴点P到OB的距离等于m，∵点Q是OB边上的一个动点，∴PQ≥m．故选：D．3．如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC其中正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD，∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；②∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，BE＝CE，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵△ADB≌△EDB，∴∠A＝∠BED＝90°，∴AB⊥AD，∵A、D、C可能不在同一直线上∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，∵∠A＝90°若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正确；④∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE，∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．故选：A．4．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD解：A、当∠B＝∠C时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；B、当AE＝AD时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；C、当BD＝CE时，得到AD＝AE，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；D、当BE＝CD时，不能判定△ABE≌△ACD；故选：D．5．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．角不是轴对称图形 C．全等的两个三角形一定成轴对称 D．等腰三角形的底角必小于90°解：A．形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；B．角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；C．全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；D．等腰三角形的底角必小于90°，说法正确，故本选项符合题意．故选：D．6．（2019春•应城市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝56°，则∠BEG等于（）A．112° B．88° C．68° D．56°解：∵AD∥BC，∠EFG＝56°，∴∠EFG＝∠EFC＝56°，由折叠的性质可知，∠EFC＝∠FEG，∴∠GEC＝∠EFC+∠FEG＝112°，∴∠BEG＝68°，故选：C．7．（2022秋•西城区校级期中）如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（）A．50 B．60 C．66 D．80解：∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠EAO+∠BAH＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAH＝∠AEO，∵BH⊥ON，∴∠BHA＝90°，在△AEO和△BAH中，，∴△AEO≌△BAH（AAS），∴AO＝BH＝3，AH＝EO＝6，同理△BCH≌△CDF（AAS），∴CH＝DF＝4，BH＝CF＝3，∴OF＝OA+AH+CH+CF＝3+6+4+3＝16，∵梯形DEOF的面积＝（OE+DF）•OF＝×（6+4）×16＝80，S△AEO＝S△ABH＝AO•OE＝×3×6＝9，S△BCH＝S△CDF＝CH•BH＝×4×3＝6，∴图中阴影部分的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，故选：A．8．（2020•新华区校级模拟）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（）A． B． C． D．解：A、由题意PC＝BC﹣PB＝BC﹣（AB﹣AC）＝8﹣（10﹣6）＝4．B、连接PA，由题意PA＝PB，设，PA＝PB＝x．∵AC＝6、BC＝8，AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴PA2＝AC2+PC2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∴PC＝BC﹣PB＝8﹣＝．C、作PH⊥AB于H．由题意，PA平分∠BAC，∵PH⊥AB，PC⊥AC，∴PH＝PC，设PH＝PC＝x，∵S△ABC＝S△ABP+S△APC，∴•AC•BC＝•AB•PH+•AC•PC，∴6×8＝10x+6x，∴x＝3，∴PC＝3，故A，B，C中，PC能确定，故选：D．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°解：∵在△DAE和△CAB中，∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．10．（2022春•东源县校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°．若AB＝5，则BE+BF的长度为（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9解：作DG∥BC交AB于点G，则∠AGD＝∠B，∠ADG＝∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∴∠AGD＝∠B＝∠ACG＝∠ADG＝∠A＝60°，∴△AGD是等边三角形，∠DGF＝∠DCE＝∠CDG＝180°﹣60°＝120°，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE＝120°﹣∠CDF，∵D是AC的中点，∴AG＝DG＝DA＝DC＝AC＝×5＝2.5，∴BG＝AB﹣AG＝5﹣2.5＝2.5，在△DGF和△DCE中，，∴△DGF≌△DCE（ASA），∴GF＝CE，∴BE+BF＝BC+CE+BF＝BC+GF+BF＝BC+BG＝5+2.5＝7.5，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•镇江期中）一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是17或19cm．解：分两种情况：当腰为5时，5+5＞7，所以能构成三角形，周长是：5+5+7＝17．当腰为7时，5+7＞7，所以能构成三角形，周长是：5+7+7＝19．故答案为：17或19．12．（2021秋•简阳市月考）如图，△AOC≌△BOD，则∠A＝∠B，OA＝OB．解：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B，OA＝OB．故答案为：∠B，OB．13．（2021秋•中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B＝66°或24°．解：当△ABC为锐角三角形时，如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，∵∠ADE＝40°，DE⊥AB，∴∠A＝90°﹣42°＝48°，∵AB＝AC，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝66°；当△ABC为钝角三角形时，如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，∵∠ADE＝42°，DE⊥AB，∴∠DAB＝48°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B+∠C＝∠DAB，∴∠B＝24°；综上可知∠B的度数为66°或24°，故答案为：66°或24°．14．（2022秋•武汉期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝135°．解：如图，在△ABC和△EGA中，，∴△ABC≌△EGA（SAS），∴∠3＝∠BAC，在Rt△ABC中，∠BAC+∠1＝90°，∴∠1+∠3＝90°，由图可知，△ABD是等腰直角三角形，∴∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故答案为：135．15．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝∠A，如果△BCD的面积是16，那么CD的长为8．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴∠CAE＝∠CAD，CE＝DE＝CD，∵∠BCD＝∠CAD，∴∠CAE＝∠BCD，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE＝BF＝CD，∵△BCD的面积是16，∴CD•BF＝16，∴CD•CD＝16，∴CD＝8或CD＝﹣8（舍去），故答案为：8．16．（2023春•魏都区校级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动1.75或4秒时，△ACP是直角三角形．解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5cm，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∴AD＝＝＝3（cm），分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，则PB＝t，PC＝8﹣t，∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，解得：t＝1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，∵AB＝AC，∴PB＝PC＝BC＝4（cm），∴t＝4s，综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，故答案为：1.75或4．17．（2023春•薛城区期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△A′B′C′的顶点都在格点上，且△A′B′C′是由△ABC先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则m﹣n的值为1．解：△A′B′C′是由△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到的，所以m＝3，n＝2，则m﹣n＝1，故答案为：1．18．（2022秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为7．解：如图，作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，∵AC＝BC，AB＝10，∴AD＝BD，∵∠MON＝90°，点A、B分别在边OM、ON上，∴∠AOB＝90°，∴OD＝AB＝5，∵S△ABC＝60，∴AB•CD＝60，∴×10CD＝60，∴CD＝12，∵OC+OD≥CD，∴OC+5≥12，∴OC≥7，∴OC的最小值为7，∴点C到点O的最小距离为7，故答案为：7．三.解答题（本大题共9小题，共76分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（6分）（2021秋•徐闻县期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．解：①若底边长为2cm，则腰长为×（12﹣2）＝5cm，即另外两边的长为5cm，5cm，能构成三角形；②腰长为2cm，则另外两边的长为：2cm，8cm，∵2+2＝4＜8，故不能构成三角形．综上所述，另外两边的长为5cm，5cm．20．（8分）（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动3秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．21．（8分）（2023春•砀山县校级期末）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．（1）求证：AB＝CD；（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．​（1）证明：如图，连接BD，∵BF⊥AC，F为线段AD的中点，∴BF垂直平分AD，∴AB＝BD．∵DE是边BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴AB＝CD；（2）解：∵BD＝CD，∠C＝30°，∴∠CBD＝∠C＝30°，∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝30°+30°＝60°，∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．22．（8分）（2021秋•高邮市期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有4个；（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，满足条件的点P有4个，故答案为4．（3）如图点Q即为所求．23．（8分）（2021•上城区二模）如图，已知△ABC．（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．解：（1）如图，点D为所作；（2）当D点为的中点时，D点到AB的距离最大．连接OD交AB于E，如图，∵＝，∴OD⊥AB，AD＝BD，∴AE＝BE＝，∵∠ADB＝∠ACB＝120°，∴∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝×＝．24．（8分）（2021春•开州区校级期中）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD．（1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝AD，求DE的长；（2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF．解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA），∴AE＝BD，∵BD＝AD，AD＝8，∴BD＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝．（2）证明：延长AC、BD，它们相交于点H，如图，∵CE＝BD，而CE＝CD，∴BD＝CD，∴∠DCB＝∠DBC，∵∠H+∠CBH＝90°，∠CHD+∠DCB＝90°，∴∠H＝∠HCD，∴CD＝HD，∴DH＝DB，而AD⊥BH，∴AB＝AH，∵∠ACF＝∠ADB＝90°，∠AFC＝∠BFD，∴∠CAF＝∠CBH，在△ACF和△BCH中，，∴△ACF≌△BCH（ASA），∴CF＝CH，∴AB＝AC+CH＝AC+CF，∵AC＝BC，∴BC＝AB﹣CF．25．（8分）（2019秋•北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．（1）证明：∵△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，∴∠BAP＝∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB＝QC；（2）解：∵△APQ是等边三角形，∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，∵∠APB＝150°，∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，∵PB＝QC，∴QC＝4，∴△PQC是直角三角形，∴PC＝＝＝5．26．（10分）（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠C