信号与系统ch8离散时间变换域分析

1离散时间系统的变换域分析第八章第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统2引言求系统的响应

求解系统方程连续系统：微分方程用拉普拉斯变换将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。离散系统：差分方程用Z变换将求解差分方程的问题转化为求解代数方程的问题。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统3主要内容Z变换及其性质12离散时间系统的系统函数和稳定性3离散时间系统的Z变换分析4Z变换与拉普拉斯变换的关系第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统4

Z变换及其性质1、Z变换的定义及其收敛区1第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统5Z变换及其性质2、常用序列的Z变换单位函数δ(k)单位阶跃序列ε(k)单边指数序列vkε(k)收敛区为整个Z平面∞≥|z|≥0。

第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统6Z变换及其性质2、常用序列的Z变换单边正弦和余弦序列第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统7Z变换及其性质3、Z变换的性质线性移序第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统8Z变换及其性质3、Z变换的性质移序证明第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统9Z变换及其性质3、Z变换的性质移序证明延伸第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统10Z变换及其性质3、Z变换的性质尺度变换证明延伸第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统11Z变换及其性质3、Z变换的性质时域线性加权和Z域的微分第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统12Z变换及其性质3、Z变换的性质时域线性加权和Z域的微分延伸第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统13Z变换及其性质3、Z变换的性质卷积证明第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统14Z变换及其性质3、Z变换的性质初值定理终值定理若F(z)的所有极点位于单位圆内或在z=1处有一个一阶极点第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统15Z变换及其性质3、Z变换的性质初值/终值定理证明第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统16Z变换及其性质3、Z变换的性质例1、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统17Z变换及其性质3、Z变换的性质例2、求F(z)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统18Z变换及其性质3、Z变换的性质例3、设N=3则可画出f(k)的图形为三角形序列。*三角形序列为两个矩形序列卷积的结果f(k)=y(k-1)，而Y(z)=F1(z)F2(z)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统19Z变换及其性质3、Z变换的性质例3、|z|>0

第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统20Z变换及其性质4、反Z变换1、长除法根据Z变换的定义F(z)为z的幂级数，因此我们只要设法将F(z)展开为z的幂级数，则其系数即为f(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统21Z变换及其性质4、反Z变换例1、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统22Z变换及其性质4、反Z变换例2、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统23Z变换及其性质4、反Z变换2、围线积分法其中c为围绕原点的反时针方向的围线第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统24Z变换及其性质4、反Z变换2、围线积分法闭合围线c应包含被积函数F(z)zk-1的所有极点。zr为被积函数的第r个极点留数的求法1、2、zr为N阶极点第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统25Z变换及其性质4、反Z变换例3、k≥0时

k<0时

被积函数在围线内只有一个一阶极点a被积函数在围线内有一个一阶极点a，还有一个-k阶的极点0第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统26Z变换及其性质4、反Z变换例3、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统27Z变换及其性质4、反Z变换3、部分分式展开法v1，v2，...，vn。也称F(z)的n个极点。

设D(z)=0有n个单根则：

展开为部分分式：

有n+1个极点0，v1，v2，...，vn。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统28Z变换及其性质4、反Z变换3、部分分式展开法单根n阶重根v，v*为一对共轭复根时第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统29Z变换及其性质4、反Z变换例4:求右边序列f(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统30Z变换及其性质4、反Z变换例6:求右边序列f(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统31Z变换及其性质4、反Z变换例7:求序列f(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统32Z变换及其性质4、反Z变换注意对于一对共轭复根也可将它保持整体处理，这时我们可以使用正弦序列和余弦序列的变换对例7第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统33Z变换及其性质4、反Z变换例8、求序列f(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统34离散时间系统的Z变换分析数学工具拉普拉斯变换一样，Z变换

求解差分方程工具Z变换分析方法1、直接求解2、从信号分析的角度分析系统2第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统35Z变换分析方法1、直接求解1、对差分方程两边Z变换。方程左边计入全响应的初值；右边也计入激励的初值。2、将全响应的初值换算成零输入的初始条件，对差分方程两边Z变换左边计入零输入的初始条件右边不计入激励的初值。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统361、直接求解例1：已知系统差分方程系统的激励和初始条件求全响应解代入初始条件第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统371、直接求解例1、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统381、直接求解注意将k=0,1

代入y(k)

得y(0)=9,y(1)=13.9

显然与题目所给的不一致。因为：1、题目所给出的实际上是系统的初始储能，是不考虑输入激励下的初始条件yzi(0)=2,yzi(1)=42、差分方程两边进行Z变换时，方程的左边用移位性质时计入了初始条件，而方程的右边没有计入激励的初始值3、方程的左边计入的是系统的初始储能与激励无关。如果方程的左边计入的是系统全响应的初值,则右边也应计入激励的初值。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统391、直接求解例1、初值解第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统401、直接求解例2、已知系统的差分方程系统的激励和初值求全响应解1、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统411、直接求解解1、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统421、直接求解解2、将全响应的初值换算成零输入的初始条件，分别将k=-3,-2,-1代入差分方程由(1)式可以看出y(-1),y(-2),y(-3)

与激励无关，即y(-1)=yzi(-1),y(-2)=yzi(-2),y(-3)=yzi(-3)。所以(2)，(3)式可改写为yzi(-1)=0,yzi(-2)=0.5第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统431、直接求解解2、令e(k)=0

由差分方程推出yzi(0)和yzi(1)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统44Z变换分析方法1、直接求解方法1、对差分方程两边Z变换。方程左边计入全响应的初值；右边也计入激励的初值。方法2、将全响应的初值换算成零输入的初始条件，对差分方程两边Z变换左边计入零输入的初始条件右边不计入激励的初值。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统45离散时间系统的Z变换分析2、从信号分析的角度分析系统将全响应分为零输入响应和零状态响应来求解，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z变换的方法yzi(k)：输入为零，两边Z变换求解yzs(k)：初始为零，两边Z变换求解注意在求零输入响应时，应代入系统的初始条件

2、基于系统函数H(z)的方法第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统462、从信号分析的角度分析系统1、基于Z变换的方法例3：已知系统的差分方程系统的初始条件和激励求yzi(k)和yzs(k)解、

令输入为0，两边Z变换第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统472、从信号分析的角度分析系统1、基于Z变换的方法例3、解、

令初始条件为0，两边Z变换第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统482、从信号分析的角度分析系统2、基于系统函数H(z)的方法(1)零状态响应yzs(k)e(k)←→E(z)定义离散系统系统函数

Yzs(z)=E(z)•H(z)

yzs(k)=Z-1[Yzs(z)](2)系统函数H(z)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统492、从信号分析的角度分析系统2、基于系统函数H(z)的方法(2)系统函数H(z)零状态响应的求法为计算卷积

y(k)=e(k)*h(k)由卷积定理

Y(z)=E(z)•H(z)。h(k)←→H(z)①H(z)也可由转移算子H(S)求②由离散系统的方框图或信号流图求H(z)(3)零输入响应yzi(k)H(z)的极点就是系统的特征根，可以根据H(z)极点写出yzi(k)一般形式，然后由系统初始条件确定系数第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统502、从信号分析的角度分析系统2、基于系统函数H(z)的方法例4、已知系统的差分方程系统的初值和激励求零输入响应和零状态响应解：确定c1,c2时必须用零输入的初始条件第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统512、从信号分析的角度分析系统2、基于系统函数H(z)的方法例4、第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统52

离散时间系统的系统函数和稳定性系统函数H(z)表示极点：零点：3第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统53离散时间系统的系统函数系统函数H(z)表示零点、极点可以确定系统函数H(z)，比例因子H0其分子、分母的因子可以在Z平面中用矢量表示定义离散信号的傅里叶变换，系统函数也可以用它的幅频特性和相频特性来表示。也可用矢量作图的办法来估计离散系统的幅频特性和相频特性曲线第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统54离散时间系统的系统函数H(z)与离散时间系统的模拟直接型模拟方框图第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统55离散时间系统的系统函数H(z)与离散时间系统的模拟引入中间变量q(k)则差分方程可写成如下的等价形式将差分方程两边Z变换（不计初始条件）第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统56离散时间系统的系统函数H(z)与离散时间系统的模拟没有本质的区别将单位延时器D改成Z-1，相应的变量改成Z域的变量即可第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统57离散时间系统的系统函数H(z)与离散时间系统的模拟级联并联级联形式不是唯一的其分子分母可有不同的组合。若零点和极点中有共轭复根则分解为二次因式。两种形式中的H1(z)，H2(z)，...，Hr(z)是不同的。模拟方框图

信号流图

化简和梅森公式

结点之间的传输值或传输函数第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统58离散时间系统的稳定性离散系统稳定的充分必要条件单位函数响应h(k)绝对可和第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统59离散时间系统的稳定性H(z)的极点在Z平面中的位置判别H(z)的所有极点位于Z平面的单位园内则系统稳定；在单位园上仅有一阶极点则系统临界稳定；有极点位于Z平面的单位园外则系统不稳定。罗斯判据H(z)的极点不易求得也可以用罗斯判据来判别但罗斯判据只能判别是否有实部为正的根第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统60离散时间系统的稳定性罗斯判据作一个影射将Z平面的单位园内影射到λ平面的左半平面，单位园外影射到λ平面的右半平面，单位园影射到λ平面的虚轴，这种影射称双线性变换第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统61离散时间系统的稳定性罗斯判据例1、判别下列方程是否有单位园外的根双线性变换因系数不同号所以原方程就有单位圆外的根第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统62离散时间系统的稳定性罗斯判据例2、判别下列方程是否有单位园外的根双线性变换罗斯数列没有符号变化，因此λ没有实部为正的根，即原方程就没有单位园外的根第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统63离散时间系统的稳定性罗斯判据例3、离散系统的方框图如下，已知系统初值和激励为y(0)=1,y(1)=2,e(k)=ε(k)1、画出信号流图。2、求系统函数H(z)，并判别系统是否稳定。3、写出系统差分方程，并求出系统零输入初始条件yzi(0),yzi(1)4、分别求出系统的零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统64离散时间系统的稳定性罗斯判据例3-1、信号流图2、求H(z)

系统不稳定。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统65离散时间系统的稳定性罗斯判据例3-3求差分方程,系统零输入初始条件yzi(0),yzi(1)将k=-2,-1代入差分方程

y(0),y(-1),y(-2)与激励无关

y(0)=yzi(0),y(-1)=yzi(-1),y(-2)=yzi(-2)在差分方程中令激励为零可得yzi(1)=1。第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统66离散时间系统的稳定性罗斯判据例3-4零输入响应与零状态响应第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统67

Z变换与拉普拉斯变换的关系离散信号通常是连续信号经抽样得到4第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统68Z变换与拉普拉斯变换的关系离散信号通常是连续信号经抽样得到在f(k)的Z变换中将变量Z换成esT就变成抽样序列f(kT)的拉普拉斯变换关系：z=esT一个S平面到Z平面的映射关系Ω称为模拟频率，ω称数字频率第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统69Z变换与拉普拉斯变换的关系离散信号通常是连续信号经抽样得到σ=0(S平面中的虚轴)→r=1(Z平面中单位圆)σ<0(S平面中的左半平面)→r<1(Z平面中单位圆内)σ>0(S平面中的右半平面)→r>1(Z平面中单位圆外)Ω（-π/T→π/T）(S平面中宽度为2π/T区域)→ω（-π→π）(整个Z平面)第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统70Z变换与拉普拉斯变换的关系离散信号通常是连续信号经抽样得到σ=0σ<0σ>0第八章

离散时间系统的变换域分析信号与系统71Z变换与拉普拉斯变换的关系S平面的每个宽度为2π/T的区域重复地影射到整个Z平面S平面的某一个点S1(σ+jΩ)

Z平面就变成Z1(rejω=eS1T=eσTejΩT)S平面的极点