第八章统计综合评价

统计学

（多媒体教学课件）第八章统计综合评价

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本章相关内容

本章教学内容

本章思考与练习题

本章学习目的

本章重点、难点

本章参考资料

本章教学内容

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第一节综合评价概述

第二节评价指标选择与数据处理方法

第三节综合评价的基本方法

第四节层次分析法

第五节模糊综合评价法

第六节综合评价方法的应用

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第一节综合评价概述

一、统计综合评价的基本概念

二、统计综合评价的作用

三、统计综合评价的基本步骤

四、统计综合评价的特点

五、统计综合评价发展简史

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一、统计综合评价的基本概念（第191页）

所谓统计综合评价，通常就是指多指标综合评价技术，它是利用一定的统计指标体系，采用特定的评价模型和方法，对被评价对象多个方面的数量特征进行高度的抽象和综合，转化为综合评价值，进而确定现象的优劣、类型或对现象进行排序的一种统计方法。综合评价是人们采用一定的标准对客观现象的价值或优劣进行评判的一种认知过程，统计评价则强调对总体及其组成部分的数量方面进行的判断，属于定量评价。随着统计分析活动的广泛开展，评价对象越来越复杂，简单评价方法的局限性也越来越明显。企业统计评价技术已经从单项评价走到了综合评价时代。二、统计综合评价的作用（第191～192页）

1.对所分析的现象总体数量特征提供了一个综合的认识。

2.对不同单位或不同地区的综合评价结果进行比较和排序，有助于反映各个单位或地区在同类现象总体中的层次位置。3.对同一单位或地区的综合评价值进行动态分析，有助于了解自身整体实力的发展变化情况，是进步还是退步，并进一步寻找出进退的主要方面与主要原因，以便改进工作。.

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4.综合评价的结果通常以“排序”或“分值”的形式出现，无论是哪一种形式，都使评价结果直观明了。.

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三、统计综合评价的基本步骤

（第192～193页）

（一）明确评价的目标

（二）建立评价指标体系

（三）评价指标的量化处理

（四）确定各评价指标的权数

（五）进行综合评价

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进行统计综合评价，必须先明确其评价的目标。即搞清楚为什么要进行综合评价，确定所要评价的对象、评价的精确度以及评价所要说明的问题等等。（一）明确评价的目标(第192页）

见后面相关关系的概念

根据研究的目的，选择合适的统计指标，建立一个能够从不同角度，不同侧面反映评价对象的评价指标体系：评价指标体系可以是单一层次的，也可以是多层次的。

（二）建立评价指标体系(第192页）

例如，我国评价规模以上工业企业的经济效益，是利用工业增加值率、总资产贡献率、资产负债率、流动资产周转次数、工业成本费用利润率、全员劳动生产率、产品销售率等项指标进行评价，该评价项目体系是单一层次的。对于因素更多的复杂现象，则可用二层次或多层次综合评判法进行评价。.

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综合评价需要运用由多个指标组成的指标体系。而这些指标性质不同，计量单位往往也不一样，因而必须先确定各单项指标的评价标准，进行同度量处理，使之具有可比性，在此基础上才能综合汇总。（三）评价指标的量化处理(第192页）

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根据前面建立的评价指标体系和相应的权数体系，在单项评价的基础上，汇总计算与分析所要研究的事物，得出综合的判断。（四）确定各评价指标的权数(第192页）

如果评价项目体系是单一层次的，要求所有指标的权数总和等于100%。如果评价项目体系是多层次的，则要求每一层次中，同一层次各项目的权数总和都等于100%。综合评价涉及许多因素，而每一因素又有各种不同的评价值。例如，一种产品是否受欢迎受到多种因素的影响，这些因素包括了产品的质量、性能、价格、式样、包装及售后服务等等，对上述这六个因素做出综合评价，而这六个因素对我们评价的目标——产品受欢迎程度所起的作用强度是不同的。因此，在综合评价中，权衡不同项目重要性的数值被称为权重，或称权数，在评价中，须根据评价的目的和各个项目的内在涵义对各个目标值赋予相应的权数。（五）进行综合评价(第193页）

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四、统计综合评价的特点（第193页）

即评价过程不是一个指标一个指标顺次完成的，而是通过一些特殊的方法将多个指标的评价同时完成的。

统计综合评价的特征是定量与定性分析相结合，它是在定性分析的前提下、通过现象的数量表现，对研究对象进行更深刻、更全面的认识。与传统的简单比较方法相比，综合评价具有以下主要特点：

1.综合性：它不同于对每一个评价指标一律平等看待的传统评价过程，而是在综合评价过程中根据指标在其评价体系的重要性赋予不同的权数，然后进行加权处理。2.科学性：最终的评价结果不再是具有具体经济含义的统计指标，而是以指数或分值的形式表示参评单位综合状况的排序。3.明晰性：见后面统计综合评价的局限性

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综合分析与评价尽管采用了一定的数学模式，其结果用数值表示，但它只有相对的意义，一般情况下，它仅适用于在性质相同的对象之间进行比较和排序。此外，采用不同的评价方法，有可能得出不同的结果。目前统计综合评价的理论与方法还不是十分成熟，它也存在一定的局限性。主要表现在以下两点：1.综合评价结果具有相对性在综合评价中，各指标的评价标准以及权数的确定，常依靠有关专家来确定，不同专家给出的标准和权重会有所差异，故综合评价的结果，往往带有一定的主观性。在开展统计综合评价时，必须注意各种方法的特点，采用多种方法进行比较与分析，尽可能地减少主观因素的干扰，提高评价结果的客观性和稳定性。2.综合评价结果常带有主观性见前面统计综合评价的特点

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五、统计综合评价发展史（第193～194页）

20世纪70—80年代，是现代科学评价蓬勃兴起的年价。在此期间，产生了多种应用广泛的评价方法，诸如ELECTRE法(1971)、多维偏好分析的线性规划法(简记LINMAP，1973)、层次分析法(简记AHP，1977)、数据包络分析法(简记DEA，1978)、逼近于理想解的排序方法(简记TOPSIS，1981)等。

开现代科学评价之先河者，当推艾奇沃斯(Edgeworth)。早在1888年，他在英国皇家统计学会的杂志上发表的论文“考试中的统计学”中，就已经提出了对考试中的不同部分应如何加权。1913年，斯皮尔曼(Spearman)发表了“和与差的相关性”一文，讨论了不同加权的作用，此文实际上已用了多元回归和典型分析。在20世纪30年代，瑟斯通(Thurstone)和利克特(Likert)又对定性记分方法的工作给予了新的推动。见后面几种评价方法的历史及其内涵略加以简单介绍

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20世纪80—90年代，是现代科学评价在我国向纵深发展的年代，人们对评价理论、方法和应用开展了多方面的、卓有成效的研究，主要表现为：常规评价方法在国民经济各部门中的应用；数种常规评价方法的组合应用；新评价方法的研究；评价属性集的设计及其标准化变换。下面对几种评价方法的历史及其内涵略加以简单介绍：1.层次分析法

2.模糊评价法

3.数据包络分析法

见前面统计综合评价发展史

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1.层次分析法

1977年，美国运筹学家、匹兹堡大学教授萨迪(T.L.Saaty)在第一届国际数学建模会议上宣读了“无结构决策问题的建模——层次分析法”一文，宣告一种新的决策方法问世。1988年，在中国天津召开了第一届国际层次分析法研讨会，以后每两至三年举办一次。1996年，萨迪在层次分析法的基础上，又提出了网络分析法。层次分析法的基本特征，其—是要有一个属性集的层次结构模型，它是层次分析法赖以建立的基础；其二是针对上一层某个准则，把下一层与之相关的各个不可度量的因素，通过对比，按重要性等级赋值，从而完成从定性分析到定量分析的过渡。见前面几种评价方法的历史及其内涵的简单介绍

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2.模糊评价法

模糊评价法奠基于模糊数学。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国自动控制专家L.A.Zadeh。这一理论提出之后，开始在西方学术界为某些偏见所左右，并未引起足够的重视。20世纪80年代后期，日本将模糊技术应用于机器人、过程控制、地铁机车、交通管理、故障诊断、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等众多领域。模糊理论在日本的成功应用和巨大的市场前景，给西方企业界以巨大的震动，在学术界也得到了普遍的认同。1992年，召开了第—届模糊系统国际会议(FUZZ—IEEE)，并决定以后每年举办一次。1993年，创办了专刊IEEETransactiononFuzzySystems。当前，模糊理论和应用正向深度和广度飞速发展，研究成果大量涌现，成为世界各国高科技竞争的重要领域之一。见前面几种评价方法的历史及其内涵的简单介绍

见后面模糊评价法

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模糊数学是描述、研究、处理具有模糊特征(即模糊概念)事物的数学。Zadeh提出用隶属函数(MembershipFunction)来描述模糊概念，创立了模糊集论，为模糊数学奠定了基础。他还提出了著名的复杂性与精确性的“不相容原理”。“随着系统复杂性的增加，我们对其特性做出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直至达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会互相排斥。”这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻地阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。模糊评价法不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级。

见前面模糊评价法

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3.数据包络分析法

1978年，美国著名运筹学家查恩斯(A.Charnes)等人，以相对效率概念为基础，以凸分析和数学规划为工具，创建了一个以他们的名字命名的DEA模型——C2R模型。20世纪80—90年代，又相继提出了诸如C2GS2模型、FG模型、ST模型、C2WH模型和带AHP约束锥模型等多个DEA模型。

DEA法不仅可对同一类型各决策单元的相对有效性作出评价与排序，而且还可进一步分析各决策单元非DEA有效的原因及其改进方向，从而为决策者提供重要的管理决策信息。由于DEA方法需要专门的软件进行计算，本章就不再详细介绍。另外，还有其他的综合评价方法如：人工神经网络法、灰色综合评价法也要进行复杂计算，本章不做介绍。见前面几种评价方法的历史及其内涵的简单介绍

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第二节评价指标选择与数据处理方法

一、选择评价指标的原则

二、综合评价的基本过程

三、评价指标的选择方法

四、评价项目的量化处理方法

五、指标重要性权数的确定

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一、选择评价指标的原则（第194页）

对客观现象进行统计综合评价，关键是要建立—个合适的评价指标体系。选择评价指标应遵循如下原则：

指标的选择应与研究目的相吻合。

1.目的性：评价指标体系能够准确地把握所要研究问题的本质和内涵，能够客观地反映事物的特征。

2.客观性：各评价指标能从不同的角度综合反映分析对象的全貌。

3.全面性：所选择的指标能比较敏感地反映分析对象的变化。

4.敏感性：尽可能选择相关程度低的指标，这是因为如果指标之间相关程度过高，用一项指标就能说明问题，采用多项指标，事实上加大了这类指标的权重。

5.相互独立性：评价指标涵义明确，计算口径一致，达到动、静态可比。

6.可比性：评价指标体系要考虑资料收集的可能性。7.可操作性：.

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二、综合评价的基本过程（第194～195页）

确定评价目的确立评价指标体系（目标分解、指标初选与精选、结构优化、量化）对评价结果进行评估和检验分析与报告、储存与开发利用确立评价方法与模型（方法选择、权数构造、参照标准值、评价规则）搜集评价数据，实施综合评价（数据搜集、校验、必要的推算、模型参数求解）.

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三、评价指标的选择方法

（第195～196页）

（一）定性方法

（二）定量方法

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（一）定性方法（第195页）

定性方法2.分析法1.综合法分析法：是将评价的对象划分为若干个组成部分或不同的侧面，明确各个侧面所要评价问题的内涵与外延，在此基础上，对每一侧面分别选用一个或若干个指标以反映评价对象的特征。

综合法：一般是通过研讨会或征询意见的方式，集中专家们的意见，以确定评价指标。该方法是借着专家的智力优势和经验以选择指标的。

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（二）定量方法（第195～196页）

定性方法2.系统聚类法

1.试算法

系统聚类法：是通过判断指标之间相似程度来筛选指标的一种方法。

试算法：是通过历史资料的试算来判断指标的有效性。假设有N个指标，将每个指标看作一类，根据指标间的相似程度，通过比较类间距离进行并类。把距离最小的两类加以合并，此时，余下N—1类；再选择类间距离最小的加以合并。这样，每合并一次，就减少—类，反复继续这一过程，最终形成由小到大的分类系统。整个分类过程可以绘制成一张聚类图，用以反映所有指标的亲疏关系，我们可依据这种关系确定指标体系中所包含的指标个(类)数。具体内容见第五章第三节。

例如，要评价各地区2005年可持续发展战略的实施绩效，可以用2003和2004年的资料试算，通过试算判断所选择的指标是否合适。.

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四、评价项目的量化处理方法

（第196页）

（一）函数化处理方法

（二）相对化处理方法

（三）标准化处理方法

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在综合评价中，有些评价项目本来属于定性评价，对这些项目应进行量化处理。例如，评价工程项目质量是以优、良、合格、不合格作为评价标准的；顾客对某项服务的评价是以满意、一般、不满意来反映的。量化处理常用的方法是：先对评价的各等级赋予不同的分值，再聘请足够数量的评议者，请评议者对评价对象进行评议，在所列的评语等级中选择一个他认为最恰当的等级，而后计算各等级得票数，再用得票数对比总票数，计算出得票频率。常用的处理方法有函数化、相对化和标准化三种。.

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（一）函数化处理方法（第196页）

其主要特点是以60分为基本分，利用特定的公式将每一个指标的实际值转化为采用百分制表示的数值。函数化处理方法，也称功效系数法，

其步骤如下：

第一步：确定每一个评价指标的阈值，即上限值(完全满意值)xhi

和下限值（不允许值）xsi，上限值和下限值可根据实际情况来确定。

第二步：用函数化计算公式计算评价指标的得分。公式为：

例8.1，2005年全国各地区旅游业情况，我们选择两个指标进行分析，一是国际旅游外汇收入，二是接待入境人数。进行函数化处理后的结果见表9-1。见后面表9-1

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表8-1

原始数据及函数化处理结果

国际旅游外汇收入接待入境人数指标1处理结果指标2处理结果北京3619

362.9282.4167.64天津

509

74.0163.1461.54河北

209

62.6561.2861.30山西

116

42.1560.7160.87内蒙古

352

100.1662.1762.10辽宁

738

130.2064.5662.73吉林

120

37.3260.7360.77黑龙江

340

82.1562.0961.72上海3556

444.5482.0269.36江苏2260

378.3073.9967.96浙江1716

348.0570.6267.32安徽

186

63.2961.1461.32福建1305197.3968.0764.15江西山东10478037.25155.1160.6364.8260.7763.25见后面相对化处理方法案例

见后面标准化处理方法案例

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国际旅游外汇收入接待入境人数指标1处理结果指标2处理结果河南216

60.0561.3361.25湖北276

82.5761.7061.72湖南390

71.9862.4061.50广东64571896.99100.00100.00广西359

147.7162.2163.10海南128

43.1960.7860.89重庆264

52.3961.6261.09四川316

106.2861.9562.22贵州101

27.6260.6160.57云南528

150.2863.2663.15西藏44

12.1360.2660.24陕西446

92.8462.7561.94甘肃59

28.8560.3560.59青海11

3.5260.0660.06宁夏2

0.8260.0060.00新疆100

33.1160.6160.68资料来源：《中国统计年鉴》(2006)，中国统计出版社.

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（二）相对化处理方法（第196页)

相对化是一种更为简单而实用的方法。其主要特点是给评价指标确定一个比较标准值，并以标准值为1个标准单位，然后用各评价指标的实际值xi与标准值xm对比，得出统一量纲。

相对化处理过程首先要选择标准值。标准值可以有多种选择，如果是考核计划完成情况，则可选择计划数作为标准值；如果考核发展速度，那就将要用上年同期或某一固定时期的数值为标准值；当然也可用先进平均数作为标准值。在计算时还要将“正指标”和“逆指标”区别对待。公式为：例8.2，用表8.1数据计算，由于选择的指标均为正指标，采用正指标公式，结果见表8-2。正指标：逆指标：见后面相对化处理方法案例

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表8-2

相对化与标准化处理结果指标1相对化指标2相对化指标1标准化指标2标准化北京4.38122.11241.99330.5612天津0.61620.4308-0.2263-0.2872河北0.25300.3647-0.4404-0.3205山西0.14040.2453-0.5067-0.3807内蒙古0.42610.5830-0.3383-0.2104辽宁0.89340.7579-0.0628-0.1222吉林0.14530.2172-0.5039-0.3949黑龙江0.41160.4782-0.3469-0.2633上海4.30492.58751.94830.8009江苏2.73602.20201.02340.6064浙江2.07742.02590.63520.5175安徽0.22520.3684-0.4568-0.3186福建1.57981.14890.34180.0751江西0.12590.2168-0.5153-0.3951山东0.94430.9028-0.0329-0.0490见后面标准化处理方法

见前面相对化处理方法

见前面原始数据

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河南0.26150.3495-0.4354-0.3282湖北0.33410.4806-0.3926-0.2620湖南0.47210.4190-0.3112-0.2931广东7.816911.04184.01875.0659广西0.43460.8598-0.3333-0.0707海南0.15500.2514-0.4982-0.3777重庆0.31960.3049-0.4011-0.3506四川0.38260.6186-0.3640-0.1924贵州0.12230.1608-0.5174-0.4234云南0.63920.8747-0.2127-0.0632西藏0.05330.0706-0.5581-0.4689陕西0.53990.5404-0.2712-0.2319甘肃0.07140.1679-0.5474-0.4198青海0.01330.0205-0.5817-0.4941宁夏0.00240.0048-0.5881-0.5021新疆0.12110.1927-0.5182-0.4073资料来源：《中国统计年鉴》(2006)，中国统计出版社.

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（三）标准化处理方法(第196页）

标准化是设定各评价指标服从正态分布前提下，将指标值转化为数学期望值为0，均方差为1的标准化数值。该方法处理的结果有正、负数之分。正数表明评价指标值高于平均值：负数表明评价指标值低于平均值。

其步骤如下：

第一步：求出每一评价指标的平均数和均方差。

第二步：进行标准化处理。其公式为：

例8-3

仍用表8-1数据计算，结果见表8-2

。正指标：

逆指标：见前面标准化处理方法案例

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五、指标重要性权数的确定

(第197页）

（一）判别指标的重要性应考虑的方面

（二）确定指标重要性权数的方法（一）判别指标的重要性应考虑的方面(第197页）

在综合评价中，各个指标所起的作用不同，对综合值贡献份额大小不同。为了评价的客观性，就要对不同的指标赋予不同的权数，以体现各指标重要性差异。

即该评价指标所包含的信息量。—个指标的综合性强，包含的信息量多，对综合评价所起的作用就大，应赋予较大的权数。如人均国内生产总值就是一个综合能力很强的指标。在综合评价中所起的作用较大。1.指标的综合性。

所谓敏感性是指该指标变动对其他指标变动的影响力，它表明该评价指标在指标体系中的地位，也包括对信息的传递进度。对敏感性较强的指标应给予较大的权数。

2.指标的敏感性。

多数指标在评价指标体系中都会反映出相互重复的信息。如某指标的作用可完全由其它指标取代，则该指标就失去了存在的价值。反之，某指标被其他指标取代的可能性越小，它的独立性就越强，在评价中的作用也就越重要，应赋予较大的权数。3.指标的独立性。

确定指标在评价中的重要性应注意：.

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（二）确定指标重要性权数的方法

(第197页）

确定指标重要性权数的方法2.环比比较法

1.主观的专家意见法

3.比率标度法4.客观的熵值法

5.因子分析法

在综合评价中，经常需要将各种方法结合起来运用。下面就比率标度法的应用进行介绍。.

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比率标度法也称两两比较法

。它是由专家对各指标的重要性程度进行比较后，两两打分得出判断矩阵，再进行归一化处理，最后取得各指标的权数。

即常用的有1～5标度、1～9标度等几种。一般可取5种判别程度：标度1(同等重要)、标度3(稍微重要)、标度5(明显重要)、标度7(强烈重要)、标度9(极为重要)，当需要更高的精度时，还可以在相临判别之间做出比较，而形成9种判别。若指标i与j比较，得出标度为bij，则指标i与j的比较标度应为1/bij

。第一步：确定指标重要性的量化标准。

常用的方法为德尔菲法。是一种向专家发函，在反复集中、反馈、修正专家意见的基础上，最终确定指标重要性的一种方法。有时，为了使判断更加准确，还可以采用带有信任度的德尔菲法。由于此种方法各学科介绍较多，在此就不再赘述。

第二步：专家对指标的重要性进行两两判别。

第三步：对权数进行归—化处理。其具体步骤为：

第三节综合评价的基本方法

一、计分法

二、平均数法

三、指数法

四、最优值距离法

五、综合评价方法应用时要注意的问题

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一、计分法(第198～199页)

（一）综合计分法

（二）排队计分法

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（一）综合计分法（第198页）

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综合计分法又称为百分计分法，是实际工作中运用较多的一种综合评价方法。

其步骤如下：

第一步，根据评价的目的要求及被评价对象的特点，确定选用的评价指标组成综合评价指标体系；第二步，按各个评价指标的经济重要性确定标准得分，且各个指标得分总和为100分；第三步，确定各指标的对比标准(对比标准可以是计划水平、上年同期水平、国内或国际同行业先进水平、现象总体的平均水平等)，据以评判评价指标的变化，并按改善得满分，持平得一半的分，下降得零分三档记分；第四步，加总各评价指标的实际得分，并按总得分的多少评价优劣，即得分多者为优，得分少者为劣。见后面综合计分法的优缺点

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综合计分法的优点是简便易行，故得到广泛应用；但其不足也是明显的。其缺点是：第一，对每个被选中的评价指标，如何确定一个科学的、合理的权数，即计分标准仍是有待探讨的问题。如果分值的确定不统一，纵向就无法比较；第二，三档计分过于粗糙，所得总分只能大体反映整体综合变动的趋势，而不能确切表明变动的幅度，更不能表明综合评价的实际水平。因而，不能据以直接比较各不同单位(部门、地区)之间的差距；第三，若以上年实际水平作为计算比较的基础看其增长快慢，则有“鞭打快牛”之误。见前面综合计分法

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（二）排队计分法（第198～199页）

排队计分法是欧洲货币基金组织于1985年对经济合作组织22个成员国及巴西、印度、韩国、马来西亚、墨西哥和沙特等28个国家的国际竞争能力进行综合评价时，首先采用的一种方法。它共选用302个反映经济竞争能力的指标组成评价指标体系。其步骤如下：

第一步，确定综合评价的各项指标，建立评价指标体系；第二步，将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队，并按如下公式计算各名次单位的具体得分：式中：f(xi，k)为第i个单项指标应得分数(决定于名次k)；k

为1,2,…,n表示排队名次(当单位数n一经确定，即为常数)；n为参加评比的单位数。见后面排队计分法第三步

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例如，我国有省、市、自治区31个(未包括台湾省)、即，某省某年的全员劳动生产率为23859元，排在第21位，则该省该年该项得分：见前面排队计分法

第三步，采用加权算术平均法将各单位参评的各单项评价指标得分综合为总分。其计算公式为：总分数的多少综合说明各单位整体状况的优劣高低，并可据以确定各单位在总体中所处的具体位置。排队计分法既可以用于综合评价各国、一个国家各地区的综合状况，也可以用于综合评价各部门、单位的综合整体状况。它具有简便易行，勿需再去另寻比较标难，省时省工等优点，易于在实践中推广使用。.

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二、平均数法(第199页)

（一）加权算术平均

（二）加权几何平均

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（一）加权算术平均（第199页）

这是最常见的方法，对每个指标给定权，然后用加权算术平均值来综合，也即评价值的表达式为（考察的指标为x1，…，xk

）若对x1，…，xk中的最大值、最小值都赋以数值为0的权，这就是“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的办法，对剩下的权都相等，实质上还是一种加权的算术平均。设x1，…，xk是k个被综合的指标，各自量纲的变化可以将xi

ci是量纲变化引出的比值常数，用算术平均来评价时，甲企业和乙企业的xi值分别用ui和vi

表示，.

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（二）加权几何平均（第199页）

如果所选评价指标是比例型的，如受教育人数占全民人数比例、贫困人口比例等，因为这个比值随单位的选择不同是不会改变的，它是无量纲的，因此相加，或加权相加再平均也可以。另一种的比例实际上是比值型的，它有量纲，如劳动生产率，用人均产值算，量纲是元/人·年，也可以为万元/人·年。随量纲的不同，这个数值就很不同，把这一类数据作算术平均、加权算术平均综合时，量纲的改变对综合值的影响是明显的。在这种情况下，用几何平均或加权几何平均就可消除这种影响，其理由从下面的论述中就可以看出。cixi，.

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能否还与上述不等式保持一致，这就难以保证．但是对于几何平均，这是一定能保证的，因为量纲变换引出的设ci＞0，i

=1，2，…，k，所以用几何平均来综合比算术平均好。对于加权的算术平均与加权的几何平均也是如此。对于指标

一般几何平均的加权形式是：

g设称为x1，…，xk的加权几何平均。wi

均相等为量纲的1/k时，就是常见的几何平均。.

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上述公式可以有各种变化。例如某一指标xi的值越大越不好，于是可以将xi-1作为综合的对象，于是上述公式就成为：

这表示x1，x2，…，xk均为正指标，xk+1，…，xk均为逆指标。几何平均在一定意义下就是各种性质都具有的程度，只有各种性质均衡增长时，几何平均值才会增大，与算术平均数相比，就明显看出差别，算术平均易受个别极端值(太大，太小)的影响非常敏感，几何平均就不是这样，因此在评奖中是否可以采用几何均值而不是算术均值呢，这是应该思考的。从上面的讨论就可以想到，对某些问题，最适宜的方法也许是一部分指标用加权算术平均，一部分指标用加权几何平均，然后再综合，这样就可以派生出许多方法，为我们综合评价提供了较宽的选择范围。.

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三、指数法(第200～201页)

指数法是加权算术平均数指数法的简称，是一般加权算术平均法指数的改进形式，即它在求单项评价指标指数时，不是以基期水平作比较的标准，而是用总体平均水平作为比较标准，以实现各项评价指标的无量纲化，然后再加权计算综合评价指数的一种方法。其步骤如下：

第一步，确定评价指标，建立评价指标体系；

第二步，分别计算各项评价指标值与总体该项评价指标平均水平值对比的指数，实现其单项评价指标的无量纲化；第三步，用依各指标经济重要程度确定的权数作加权平均计算，得综合评价总指数。综合评价总指数公式为：

其中：.

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为第i

个指标的平均值；为j

第期(或j第个地区、部门等)综合评价指数值；为i第个指标第j期数值；为第i

个指标的权数。依据综合评价总指数值，就可以进行整体评价，即指标值越大，总体的综合评价状况就越优。需要说明的是，评价指标体系可能既包括正指标，也包括逆指标，而指数法公式从形式上看，其评价指标体系的构成指标必须是同性质的，即要么都为正指标，或都为逆指标。当遇指标性质不同类时，要先用倒数的方法将某类指标换成另一类指标。若都用正指标计算，则效益综合指数大于100%为好；若都用逆指标计算，则效益综合指数小于l00%为好。.

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四、最优值距离法(第201～202页)

最优值距离法与指数法基本相同，其区别在于：第一，消除量纲等不可比因素时，不是采用指标平均值值，而是选用指标最优值；第二，每个评价指标的变化不是用指数，而是用相对距离表示。

其计算公式为：

其中：

为

i

第个指标的最优值；其余符号含义与指数法相同。例8.4，设有甲、乙两地区的国民经济效益指标资料，依最优值距离法计算的综合评价指数值如表9-3

。见后面最优值距离法举例

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见前面最优值距离法

表8-3国民经济综合指数指标名称计量单位最优值权数报告期指标值甲地区乙地区指标值指数分数指标值指数分数1.社会总成本增加值率2.社会总成本利税率3.社会劳动生产率4.商品流通费用率5.积累效益系数元/百元百元/元万元/人%%65423112692525151520512921163578.569.167.7133.350.75.397.744.845.009.86553222144484.676.271.0116.763.83.855.954.362.507.24国民经济效益综合分数分-100--31.96--23.90

该公式的计算结果表明的是各指标与其最优值的相对距离，所以，其计算结果的综合值越小，表明离最优值距离越近，综合评价值越优。即乙地区的综合评价指数值为22.801，小于甲地区的25.573，所以，综合起来考察，乙地区经济效益比甲地区好。.

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五、综合评价方法应用时要注意的问题

(第202～203页)

（一）要有一个科学的同度量方法

（二）要有统一的评价标准

（三）要采用重要程度权数

（四）简便易行

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（一）要有一个科学的同度量方法（第202页）

综合评价是依据众多选中指标来进行整体评价，而不同的指标有不同的量纲或数量级，为了满足综合汇总要求，实现众多指标的无量纲化是其前提条件。然而，实现无量纲化的同度量方法多种多样，各自的特点与适用范围有别，因此，我们必须根据研究目的、对象特点等，科学正确地选择合适的综合评价同度量方法，否则难以达到综合评价满意的目的。（二）要有统一的评价标准（第202页）

综合评价的目的是为了满足对现象整体的纵、横向比较研究的需要，因此，事先制定统一的评价标准，是获得满意评价结果的重要条件。因为标准不同，也就是参照系不同，很可能对同一现象得出完全不同的评价结果，这样就达不到正确区分优劣的目的。.

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（三）要采用重要程度权数（第202页）

整体现象受众多因素影响，使其有不同的特征及相应的数量表现。然而，这些因素对总体的影响作用程度是不一样的。为此，对总体的各个评价指标就决不能等量齐观，而一定要在准确考察其不同重要程度的条件下，赋予它们不向的权数，体现主次有别，只有这样，综合评价结果才符合现象总体的客观实际，才正确可行。（四）简便易行（第203页）

凡能实现无量纲化的有关数学方法，均可考虑选作综合评价的方法。但是，这些不同的方法其运用的前提条件、假设依据与繁简程度等各不相同，有的比较繁难、有的比较简便，且实践也证明并不是越难越好，因此，我们在实际运用中，应根据综合评价对象的特点及不同的具体目的要求，选用尽可能简便易行的方法，以减轻工作负担。.

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第四节层次分析法

一、层次分析法的基本原理与步骤

二、层次分析法的应用时遇到的困难

三、层次分析法的局限性

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一般情况下，系统的评价多为多目标、多判据的系统评价。如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价方案的优劣，显然是十分困难的。同时，社会经济评价项目十分难以作出精确的定量分析。如果能在评价中引入定量分析，并吸收人们在两两比较中所获得粗略的量化评价，那么，就有可能获得较为科学的评价结果。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T.L.Saaty教授于二十世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。.

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一、层次分析法的基本原理与步骤（一）建立递阶层次结构模型

（二）构造出各层次中的所有判断矩阵

（三）层次单排序及一致性检验

（四）层次总排序及一致性检验

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。.

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（一）建立递阶层次结构模型

应用层次分析法（AHP）分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。1.最高层。

这一层次中包含为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。

2.中间层。

这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。3.指标的独立性。

递阶层次结构中层次数与问题复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。因为支配元素过多会给两两比较判断带来困难。.

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下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。例1，假期旅游有P1、P2、P3三个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。目标层0

选择旅游地准则层C

景色

费用

居住

饮食

旅途实施层P

P1

P2P3.

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（二）构造出各层次中的所有判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成小块，你可以精确称出它们的重量，设w1，…

，wn为，现在，请人估计这小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。.

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定义1

若矩阵满足A=(aij

)n×n

满足aij＞0，aii

=1且aji

=1/aij

设现在要比较n个因子X

=|x1，…，xn|对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi

和xj，以aij表示xi

和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij

)n×n表示，称A为Z～X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi与xj对Z的影响之比为aij

，则xi与xj对的影响之比应为aji

=

1/aij。则称之为正互反矩阵(易见

aij=1,i,j=1,2，…，n）关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1～9及其倒数作为标度。下表(表9-4)列出了1～9标度的含义：.

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标度含

义135792，4，6，8倒数表示两个因素相比，具有相同重要性表示两个因素相比，前者比后者稍重要表示两个因素相比，前者比后者明显重要表示两个因素相比，前者比后者强烈重要表示两个因素相比，前者比后者极端重要表示上述相邻判断的中间值若因素i与j因素重要性之比aij为，那么因素j与因素i的重要性之比为aji

=1/aij

表8-41～9标度的含义：

从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1～9标度最为合适。.

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最后，应该指出，一般地作n(n-1)/2次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行n(n-1)/2次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。.

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（三）层次单排序及一致性检验

判断矩阵A对应于最大特征值λmax的特征向量w

，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：满足上述关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A。定理1，正互反矩阵的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于λmax

。.

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定理2,若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。

（4）A的最大特征根值λmax=

n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。

（5）

A的最大特征根值λmax对应的特征向量为

w=(w1，…

，wn),.

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定理3，n阶正互反矩阵A为一致矩阵，当且仅当其最大特征根λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax＞n。根据定理3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij

，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，λmax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=|x1，…

，xn

|在对因素的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下（三步）：（1）计算一致性指标CI。.

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（2）查找相应的平均随机一致性指标RI。对n

=1，…，9

)，Saaty给出了RI的值，如表8-5所示。表8-5n与对RI应表

n1

2

3

4

5

6

7

8

9

RI0

0

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1～9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ‘max，并定义为：（3）计算一致性比例当CR＜0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。.

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（四）层次总排序及一致性检验

上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。

设上一层次(A层）包含A1，…，Am共m个因素，它们的层次总排序权重分别为a1，…，am

。又设其后的下一层次（B层）包含n个因素B1

，…，Bm

，它们关于Aj的层次单排序权重分别为b1j，…，bnj（当Bi与Aj无关联时，bij

=0

）。现求B层中各因素关于总目标的权重，即求层各因素的层次总排序权重b1，…，bn

，计算按下表所示方式进行，.

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设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI（j），(

j=1,…，m

),相应的平均随机一致性指标为RI(

j)(CI(j)、RI（j)）已在层次单排序时求得），则B层总排序随机一致性比例为:对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。

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二、层次分析法的应用时遇到的困难应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：第一。如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；第二，如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。.

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三、层次分析法的局限性

层次分析法有其局限性，主要表现在：第一，它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。第二，比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。

AHP方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。具体例题见第六节。.

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第五节模糊综合评价法

一、模糊综合评价分析中常用的几个概念

二、模糊综合评价分析的数学模型.

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一、模糊综合评价分析中常用的几个概念

（一）论域

（二）模糊集合

世界上，有些现象界限分明，有些现象界限模糊，存在着中介过渡状态。前者可以普通集合描述，而后者则需要用模糊集合来描述。.

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（一）论域

对于论域U上的某普通集合A，论域中的任一元素X，作为对象被考虑的所有元素的全体称为论域，通常以大写字母U、V等表示。例如，要研究某地区居民户收支状况，论域U是该地区全部居民户。则称为普通集合的特征函数。经典集合(普通集合)的运算，完全可以通过其特征函数进行。由于经典集合只允许取｛0，1｝两个数值，故与二值逻辑相对应，从而可以按布尔代数的法则进行。二者必居其一。这一特征可用一个函数式来表示：.

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（二）模糊集合

例如，讨论“教室里的人”这个概念，显然，在“人”这个论域中，有的人在教室里，有的人在教室之外。除此之外，如果—个人跨立于教室门上，一只脚在教室里，一只脚却在教室外，你认为他是“教室里的人”还是“教室外的人”呢?显然，他不是“非此即彼”而是“亦此亦彼”的。

经典集合只讨论了是与不是两种情况。但是，现实生活中的绝大多数现象，存在着中介过渡状态，并非此即彼，表现出亦此亦彼。

为了描述这种“中介状态”需要将经典集合的二值逻辑｛0，1｝，推广到可取｛0，1｝闭区间的任意值的、无穷多个值的连续逻辑。当然特征函数也必须作适当推广，这就是隶属函数μA

(x)

(为区别经典集合，模糊集一般用大写字母加“～”来表示)，它满足0≤μA(x)

≤1，有时也记作μA

∈｛0，1｝

。又如“企业经济效益好”这个概念，一般不能简单的用“好”与“差”两个字来评判，事实上，更多企业的经济状况，经常是处于一种介于‘好”与“差’之间的情况，是比较好、一般、比较差、较差等等。

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二、模糊综合评价分析的数学模型

（一）一级模型

（二）多极模型

模糊综合评价方法的基本思想是应用模糊变换的原理，根据多个因素，对被评价对象本身存在的状态或类属上的亦此亦彼性，从数量上对其所属程度给与刻划和描述。模糊综合评价的数学模糊型可分为一级模型和多级模型。.

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（一）一级模型

1.确定评价因素(即评价中常称评价的指标)

根据模糊变换的原理，—级模型可按以下步骤进行：2.选择评语等级

3.进行单因素评判，建立模糊关系矩阵R

4.确定各评价因素的权重向量

5.作模糊变换，得出综合评价结果

6.对模糊综合评价结果Y进行分析

表示评语的第j个等级。表示对评价对象有影响的第i个因素。在确定评价因素时，要尽可能把彼此相关的因素剔除掉，以免可能产生信息重复的问题。.

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1.确定评价因素(即评价中常称评价的指标)(第224页）