信号与系统第八章

第8章z变换、离散时间系统的z域分析本章主要讨论：z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；基本要求1、理解Z变换的定义，收敛域和基本

性质2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用

序列的Z变换3、理解Z变换与拉普拉斯变换的关系4、掌握Z变换的性质的应用条件5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数法求Z反变换使用z变换工具的好处

8.1引言一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，则其中T为抽样时间对上式两边取拉氏变换，得到：令8.2Z变换的定义（直接由离散时间序列X(n)定义）序列x(n)的单边Z变换为：式中Z为复变量对一切n值都有定义的序列x(n)，也可以定义双边Z变换如果x(n)是因果序列，则其双边Z变换与单边Z变换是等同的在实际的离散系统中所遇到的序列一般是因果性的，所以我们着重讨论单边Z变换8.3Z变换的收敛域1、定义

对任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有Z值的集合，称为Z变换X(Z)的收敛域。2、级数收敛的充分必要条件为例1、求单边序列的Z变换，其中a为正实数。解：按单边Z变换的定义，有利用等比级数定理其中Re[z]jIm[z]0例2、求序列的Z变换解：因为涉及到n取负的情况，按双边Z变换定义求解令m=-n，则再将m变为n利用等比定理求级数则其收敛域为Re[z]jIm[z]0一个序列的Z变换要包括Z变换的表达式和相应的收敛域，二者缺一不可，否则，Z变换的表达式不能与序列一一对应。表达式一样收敛域不同由于x(n)有界，所以要求所以收敛域为：Re[z]jIm[z]03、收敛域的形式有限长序列因为X(z)是有限项之和，所以只要级数的每一项有界，则级数收敛。即右边序列的Z变换为：右边序列右边序列是有始无终的序列。序列在nn1时，有非零的有限值，在n<n1时，序列值为零。n10-1n综合以上两项，则右边序列收敛域为Re[z]jIm[z]0上式右边：第一项为有限长序列的Z变换，收敛域为第二项为Z的负幂级数，按级数收敛的阿贝尔定理可知，存在一个收敛半径Rx1,级数在以原点为圆心、以Rx1为半径的圆外绝对收敛右边序列因果序列是一种特殊的右边序列，其Z变换收敛域左边序列左边序列是有终无始的序列。在nn2时，才有非零值，在n>n2时，序列值为零。其Z变换为：n20n1等号右边：第二项为有限长序列的Z变换，收敛域为第一项是Z的正幂级数，按阿贝尔定理可知，存在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、Rx2为半径的圆内绝对收敛综合此两项，左边序列的收敛域为Re[z]jIm[z]0左边序列如果则存在公共区域，即Re[z]jIm[z]0双边序列典型序列的Z变换1、单位函数序列的Z变换收敛域为整个Z平面2、单位阶跃序列的Z变换若则该级数收敛，等于3、斜变序列的Z变换解：已知单位阶跃序列的Z变换为4、指数序列的Z变换当，级数收敛5、单边正弦序列的Z变换单边余弦序列根据欧拉公式

8.4逆Z变换是一一对应关系在给出象函数及其收敛域的情况下，可以求出象原函数x(n)（一）幂级数展开法（长除法）由Z变换的定义只要把X(z)在给定的收敛域内按z-1的幂展开，则级数的系数就是序列x(n)的值。例1：已知求x(n)。解：因为收敛域是Z平面的圆外区域，所以x(n)是右边序列。级数是Z的负幂级数。将X(z)的分子、分母按Z的降幂排列所以原函数为例2已知求x(n)。解：由收敛域可知原函数为左边序列要展成Z的正幂级数，即将X(z)的分子、分母升幂排列用长除法得：所以，原函数为；将X(z)的分子、分母升幂排列总结：1、当X(z)的收敛域为x(n)必为因果序列（右边序列），X(z)应展开为Z的负幂级数。将X(z)的分子、分母按Z的降幂排列，再进行长除。2、当X(z)的收敛域为x(n)为左边序列，X(z)应展开为Z的正幂级数。将X(z)的分子、分母按Z的升幂排列，再进行长除。（二）、部分分式展开法因为常用的Z变换对为所以在对X(z)做部分分式展开时，力求得到形如的形式步骤：1.将X(z)除以z，得到2.将展成部分分式，方法同拉氏变换3.将展开的部分分式乘以z，即得到X(z)的表达式4.对各部分分式进行Z反变换5.写出原序列x(n)一、当X(z)只含单极点式中zi是单极点，Ai是待定系数（极点zi的留数）于是可得X(z)的反变换为二、当X(z)含有一r重极点式中Ai的确定同单极点系数的确定相同Bj的确定与拉氏变换类似：查表求Z反变换例：已知收敛域为试求Z的反变换解：所以其反变换为（三）、留数法（围线积分法）留数的定义设z0

为函数f(z)的孤立奇点，那么积分为与C无关的定值，以2i除这个积分值，所得的数叫做在z0的留数。记作罗伦级数定理其中C为圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。X(z)的反变换的围线积分表示式如下：其中c是包围所有极点的闭合积分路线则1、当z=zi

是一阶极点时2、当z=zi

是r阶极点时留数辅助定理如果围线积分的被积函数F(Z)在整个Z平面上除有限个极点外都是解析的，且当Z

时,F(Z)以不低于二阶无穷小的速度0,则当围线C的半径趋于无穷大时，则有求X(Z)的反变换x(n)留数法：收敛域是圆外区域，所以x(n)是右边序列1、当

时，在c内有两个极点2、当n<0时，在c内有三个极点（n重极点）而c外无极点。根据留数辅助定理因此：8.5Z变换的性质这些性质表示离散序列在时域和Z域间的关系（一）线性性质则若其中a,b为任意常数，（二）位移性质双边Z变换：x(n)是双边序列若则证明：根据双边Z变换的定义令k=n+m,则上式变为同理：1、若x(n)是因果序列，其单边Z变换为：单边Z变换的位移性质则右移后左移后2、若x(n)是双边序列，其单边Z变换为：左移右移（三）Z域微分（序列线性加权）x(n)是有始序列若则证明：对上式两边求导，得例：已知求n·u(n)的Z变换解：（四）Z域尺度变换（序列指数加权）若则证明：同理：在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交替跳跃（五）初值定理若x(n)是单边序列，且则（六）终值定理若x(n)是单边序列，且则终值定理使用的条件1、时域：只有在n

时x(n)收敛的情况，才能用它来确定x(n)的值。2、Z域：X(z)的收敛半径应小于或等于1（极点必须位于单位圆内，若在单位圆上只能位于z=1处，且是一阶的）（七）时域卷积定理若则其中8.6Z变换与拉普拉斯变换的关系一、Z平面与S平面的映射关系或将s用直角坐标表示，z用极坐标表示，将上两式代入Z平面与S平面的映射关系式，得所以：S平面与Z平面的映射关系二、Z变换与拉普拉斯变换的关系拉氏变换F(s)Z变换X(z)拉氏变换的原连续函数

f(t)离散信号

f(n)拉氏反变换抽样Z变换8.7

利用Z变换解差分方程前提：由于激励和响应都是有始序列，所以本章提到的Z变换均指单边Z变换。全响应=零输入响应+零状态响应设描述离散系统的n阶常系数差分方程的形式为零输入响应:激励x(n)=0，由初始条件引起的响应。零状态响应:初始条件为零，由激励引起的响应。f(k-m)u(k-m)z-mF(z)

f(k-m)u(k)z-m[F(z)+f(k+m)u(k)zm[F(z)-Z变换的移序性(一)零输入响应yzi(n)的求解步骤