概率论例题第三章

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例：炮弹发射试验炮弹在地面的命中点位置要由两个随机变量(X,Y)来确定。飞机在空中飞行的位置由三个随机变量(X,Y,Z)来确定。考察某地区儿童的身体发育情况一般由两个随机变量(X,Y)(身高、体重)来确定。

多维随机变量的引入在1,2,3,4中随机取出一数X,再随机地从1~X中取一数Y，求(X,Y)的联合分布律。解：X

的分布律为:4321X

P{X=x}i,j=1,2,3,4联合分布律11/167/4813/4825/481/41/161/161/161/1641/401/121/121/1231/4001/81/821/40001/414321

例：(两点分布)用一细绳将一小球悬挂于空中,现用一剪刀随机的去剪细绳一次.剪中的概率为p.设剪中的次数为X,小球下落的次数为Y,试写出(X,Y)的联合分布律.

YX010100p1-p称(X,Y)服从二维两点分布.

二维两点分布试写出(X,Y)的联合分布函数。XY011解：F(x,y)=02)当0≤x,y≤1时3)当0≤x≤1,y≥1时f(x,y)的非零区域

1)当x≤0,或y≤0时已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密为联合分布函数5)当x,y≥1时综上所叙得：4)当0≤y≤1,x≥1时XY011

X0Y求关于Y

的边缘概率密度fY

(y)xy=1x=1分析：

求Y的边缘概率密度，就是固定y对x求积分。实质上是求含参变量的积分。对于y取不同的值，fY(y)的积分上下限是不相同的。已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为y=x边缘概率密度X0Yy=xxy=1x=1解：

求：1)a2)边缘概率密度fY(y)3)P{X+Y>1}f(x,y)的非零区域

XYO12分析：1)利用2)3)已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为综合例题2)f(x,y)的非零区域

XYO123)f(x,y)的非零区域

XYO12

船的码头停泊。它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲的停泊时间为1小时，乙的停泊时间为二小时。求它们中的任意一艘都不须等待码头空出的概率。分析：设甲在一昼夜到达的时刻为X,乙在一昼夜到达的时刻为Y.所求的概率为：{}XYYXP

+21或XYO2424设()上服从均匀分布。在GYX,

{}yxy)(xG24,0,

=y+2=xx+1=y 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮约会问题XYO2424y+2=xx+1=y解：设甲在一昼夜到达的时刻为X,乙在一昼夜到达的时刻为Y.所求的概率为：

分析：1)可设第一段的长度为X,

第二段的长度为Y0lXY2)x+y=l3)能构成三角形的充要条件为：llol/2l/2 把长为l的木棒，任意折成3段，求它们能构成一个三角形的概率。折段成三角形解：设第一段的长度为X,

第二段的长度为Yx+y=l能构成三角形的充要条件为：llol/2l/2

设(X,Y)服从二维正态分布N(0,1;0,1;)求X,Y的边缘概率密度.解:(X,Y)的联合概率密度为:二维正态分布即X~N(0,1)同理Y~

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