化学计量学 第二章

第二章化学试验设计与优化目录2.1试验设计基本概念2.2析因设计（FD）2.3正交试验设计2.4单纯形试验设计与优化2.1试验设计基本概念要从化学量测数据中提取最大限度的有用信息，必须进行试验设计与优化。化学中涉及的试验设计问题甚为广泛。比如：分析化学中分析方法的选择、反应条件的优化、光谱分析中波长的选择、色谱分析中固定相的选择以及各种仪器方法中操作参数的选择等等都需要进行优化试验设计；一个化工合成反应，从厚材料选取，实验条件确定，到获得产品，也都必须进行精心的试验设计，才可能达到节约能源、人力、物力、时间、降低成本等优化目的。什么是试验设计？所谓试验设计，归根结底是如何在试验域上最有效地选择试验点，通过试验得到指标的观测值，然后进行数据分析求得指标取得最优值的条件。顾名思义，试验设计研究的是如何设计试验条件使指标取得最优值。常用概念试验指标试验设计中用来衡量试验效果的物理量称为试验指标（简称指标）。指标可以是单一指标（包括综合评价指标），也可以是多个指标。试验设计按指标个数多少可分为单指标试验设计和多指标试验设计。试验指标也可按性质不同区分为定性指标与定量指标两类。定性指标是指不能直接用数值精确表达的指标，比如水质的恶臭程度、油漆的亮度等；定量指标是指能用确定的数值来表示的指标，如吸光度、峰高、谱线强度、产率等。常用概念试验设计的目的是要使试验指标取得最优，要求指标具有可比性，因此，在试验设计中通常总是将那些定性指标进行定量化处理后的数值表示。应当指出，在最优化领域中，指标也常称为目标或目标函数。常用概念因素及水平影响试验指标取值的物理量称为因素，有时亦称为因子。因素在试验中所处的状态，称为水平。在试验中有几种状态就称有几个水平。如考察温度的影响，温度即是因素，如要试验80oC和100oC两个温度的影响，则这80和100即是该温度因素的两个水平。所选因素的水平发生变化时，一般应引起试验指标的变化，否则就认为该因素对指标没有影响，应从试验中删去。常用概念因素及水平如果所考察的两个因素在试验中相互影响，即一因素水平的高低对另一因素水平对指标的贡献有影响，这时称这两因素之间存在交互效应。根据影响指标的因素多少，试验设计可分为单因素试验（设计）和多因素试验设计。化学试验设计一般都是多因素试验设计。同时试验所谓同时试验，就是通过试验设计对有关因素的水平进行规划后，同时进行诸因素各水平的试验，然后综合分析得到的试验结果，获得最优条件。此处“同时”的意义是指在多次试验中，先做或后做哪一次试验不会影响试验效果与试验进程目前，应用广泛的正交试验设计、析因设计和均匀设计方法都属于同时试验序贯试验序贯试验设计方法则是每进行一次试验或少数几次试验后，先分析已取得的试验结果，再根据这些结果规划下一次试验，其试验次序是不能改变的，即按设定的顺序依次地进行，逐步向最优条件靠近。序贯试验的典型代表是单纯形优化法。常用概念那么如何进行试验设计以获得关于指标取最优值的各因素水平取值？如果指标和因素之间存在确定的函数关系（解析式），则可用解析法进行优化。但在绝大多数化学量测试验中，很难直接构造指标关于诸因素的函数表达式，不能用解析法。通常可采用两种方法达到优化的目的。一是通过大量试验数据构造一个函数来逼近（无限地接近）这些解析式，然后再用解析法求这个逼近函数的最优解，同时进行试验验证。另一种方法是不研究试验指标与因素之间确定性的函数关系，只寻求试验指标最优的因素取值，此法称“黑箱”方法。2.2析因设计（FD）2.2.1析因设计表FDn（2m）多因素试验不仅要研究各因素水平对指标的影响，还要着重分析诸因素对指标的作用。因此，多因素试验设计亦称析因试验设计或析因设计（factorialdesign,简称FD）。应当注意的是，FD不是一般意义下的多因素试验设计，它是将各因素的全部水平按一定规则相互组合进行试验，以考察各因素的主效应（某因素对指标的影响程度）以及因素之间的交互效应（因素之间不同组合时对指标的影响程度）的优化试验设计方法。2.2析因设计（FD）2.2.1析因设计表FDn（2m）换句话说，析因试验设计是按析因设计表设计试验方案，通过分析试验指标的变化决定各因素主效应和因素间交互效应的试验方法。本节只讨论两水平析因试验设计2.2析因设计（FD）m个试验因素，安排n次试验的两水平析因设计表写成通式为：FDn（2m）。其中2表示因素的两个水平，n=2m。如果以“一”表示因素的低水平，而“+”表示因素的高水平，则二因素二水平析因设计表FD4（22）如下表所示：NoIABAB1+--+2++--3+-+-4++++FD4（22）析因设计表表中第1列式试验序号，第2列是为了分析各因素对指标的平均影响而设计的，都以“+”号（高水平）表示，记为I；第3列是第1个因素（A），从“-”即低水平开始，以“-”与“+”相间的方式排列（其他二水平析因设计表也一样）；第4列是第2个因素（B），试验安排按“--”与“++”相间的方式排列，实际上是在前一个因素（A）的水平上“加倍”后再以相间的方式排列。纵观所有二水平析因表，这个基本规律都存在，也即如果还有第三个因素存在，则再“加倍”以“----”与“++++”相间的方式排列成第3个因素的试验顺序。FD4（22）析因设计表表中第5列是两因素（AB）的交互效应列，其水平的排列遵守“乘法规则”。即交互效应列的水平是两因素在同一试验中水平的乘积，且有同号相乘得正，异号相乘得负。在运算中，把因素的2个水平“+”与“-”看成是“正”与“负”。比如第一个试验A水平值为负（A的“-”）与负（B的“-”）相乘得正。即“+”。有了上述“相间加倍规律”和“乘法规则”，就可导出其他两水平析因表的试验设计方案。例如FD8（23）析因设计表如下（由学生自己设计）FD8（23）析因设计表NoIABCABACBCABC1+---+++-2++----++3+-+--+-+4+++-+---5+--++--+6++-+-+--7+-++--+-8++++++++2.2析因设计（FD）2.2.2析因设计试验一般步骤首先根据化学经验或初步试验，挑选影响因素，确定大致范围，决定因素的两个水平（高水平“+”或“+1”和低水平“-”或“-1”），构造因素水平表；然后选择合适的析因设计表，根据因素安排试验并获得试验结果（指标）；最后对指标进行分析，得出各因素主效应和交互效应。实例1有下列烯胺还原反应：现考察甲酸（HCO2H，因素A）及加热温度（因素B）对生成物产率的影响，请以析因设计方法分析各因素的主效应和交互效应。No加热HCO2H=0No+解：先根据初步试验和化学经验确定因素的二个水平，所得因素水平见下表（a）。选择FD4（22）析因设计表安排试验方案，并进行试验获得生成物的产率y（即指标），结果见下表（b）。因素-1+1A(mol/L)1.01.5B(oC)25100表(a)因素水平表NoIABABy(%)1+1-1-1+180.42+1+1-1-172.43+1-1+1-194.44+1+1+1+190.6表(b)烯胺还原反应试验方案与结果要分析各因素主效应和交互效应，必须建立因素与指标之间的关系模型（此过程称建模）。设这个模型可以下列方程表示：y=a0+a1x1+a2x2+a3x1x2+e式中y表示4次试验中生成物产率构成的矢量；xj表示第j个因素在4次试验中的水平矢量；e为误差矢量，以4次试验误差为元素。可写成矩阵的形式如下：y1y2=X+y3y41111x11x21x31x41x12x22x32x42x11x12x21x22

x31x32

x41x42a0a1a2a3e1e2e3e4式中xij表示第j个因素在第i次试验中的水平取值（“+1”或“-1”）；yi与ei分别表示第i次试验产物产率和量测误差。以矩阵符号简记为：Y4x1=X4x4*A4x1+E4x1利用析因设计方案中X矩阵和试验结果Y矩阵，对上式两边同时左乘X的逆矩阵X-1即可求得系数矩阵A的估计值：A=X-1Y矩阵A中的第1个元素a0是一个常量（平均贡献），a1、a2、a3分别是因素x1和x2的主效应以及两者之间x1x2的交互效应大小的量度。在析因试验设计中，X矩阵的形式很简单，仅由“+1”和“-1”为元素构成的矩阵，其逆存在、且其值是原矩阵X的转置矩阵的1/n倍。其中n为析因设计的试验次数（本例n=4）由表(b)析因设计方案，可得X阵：X=通过求解该矩阵的逆矩阵X-1可得：X-1=1/4=1/4XT式中矩阵符号右上角“-1”表示该矩阵的逆矩阵，而右上角“T”表示矩阵的转置矩阵。+1+1+1+1-1+1-1+1-1-1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1+1-1-1+1-1+1-1+1+1+1+1根据矩阵乘法规则，由上式可以求得两因素的主效应及两者之间的交互效应（即各系数的大小），计算如下：a0=1/4(+y1+y2+y3+y4)=1/4(80.4+72.4+94.4+90.6)=84.45a1=1/4(-y1+y2-y3+y4)=1/4(-80.4+72.4-94.4+90.6)=-2.95a2=1/4(-y1-y2+y3+y4)=1/4(-80.4-72.4+94.4+90.6)=8.05a3=1/4(+y1-y2-y3+y4)=1/4(80.4-72.4-94.4+90.6)=1.05A=+1-1-1+1+1+1-1-1+1-1+1-1+1+1+1+1a0a1a2a3=1/4Xy1y2y3y4代入可得：由上可知，平均贡献a0(平均值)为84.45；第1个因素甲酸的主效应a1为-2.95，是负效应，且值不大，对指标的影响相对较小；第2个因素温度的主效应a2为8.05，影响最大且为正效应，因此可以预期提高加热温度对还原反应有好处；两因素之间的交互效应a3较小，仅为1.05，可以认为基本不存在交互效应。应当指出，析因设计在构造X矩阵计算效应和交互效应时，对所有考察因素的水平都用“+1”和“-1”代替，并没有代入具体的实际数据，而是将每一个因素的水平约化成等方差量测，实际上这是数据标准化的一种形式，因而可直接以各系数大小作为效率大小的量度。这种处理的另一大优点，正如在上述逆矩阵与原矩阵的关系中所看到的，可将求逆运算简化为转置运算，大大简化了计算过程。同时可以证明，在其他析因设计表FDn(2m)中，关系式X-1=XT/n也存在。那么三因素析因分析是怎么样的呢？实例2.设有Lewis催化烷烃重排的反应。现考察催化剂与反应物浓度比值(因素A)、反应温度(B)和反应时间(C)对该合成反应的影响，以找出更好的条件提高重排产率，请以析因设计试验计算各因素住效应和交互效应。解:(1)选择各因素的两个水平，列于下表(a)因素高(+)低(-)催化剂/反应物(mol/mol)0.050.01反应温度(0C)6040反应时间（h）1.00.5(2)选择FD8(23)安排8次试验，获得试验结果如下表(b)(由学生自己制表)NoIABCABACBCABC产率(%)1+---+++-742++----++693+-+--+-+784+++-+---815+--++--+766++-+-+--877+-++--+-848++++++++91(3)各因素的主效应仿例1，析因设计分析各因素主效应的方法是建立指标与因素间的关系模型，设这个模型可以下列方程表示：y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a12x1x2+a1a3x1x3+a23x2x2+a123x1x2x3+e该八元一次方程组中待求的8个参数aj(j=1,2,3,…,8)对应于表（b）中从I，A，…，一直到ABC各项的效应系数，其大小说明相应因素对指标的贡献大小。显然，在该析因设计中，8次试验要估计8个参数，这就是要求每一次试验都必须是准确可靠的。将上式写成矩阵的形式：x11x21…x81x12x22…x82…………x11x12x13x21x22x23……x81x82x83y1y2…y8=Xa0a1…a12311…1+e1e2…e8简记为YnX1=XnxnAnx1同例1，方程两边同时左乘X的逆矩阵X-1可得A：A=X-1Y由析因设计表的特殊性，同样可以证明：X-1=1/nXT(n=8)代入前式可得：A=X-1Y=1/8XTY即：a0a1a2a3a4a5a6a7=Xy1y2y3y4y5y6y7y8+1-1-1-1+1+1+1-1+1+1-1-1-1-1+1+1+1-1+1-1-1+1-1+1+1+1+1-1+1-1-1-1+1-1-1+1+1-1-1+1+1+1-1+1-1+1-1-1+1-1+1+1-1-1+1-1+1+1+1+1+1+1+1+1由此可得因素A的主效率为A=a1=1/8(-y1+y2-y3+y4–y5+y6–y7+y8)=1/8(-74+69-78+81-76+87-84+91)=2.0容易看出，A因素的主效应对应于表(b)中A因素所在列在各次试验中的水平与相应产率乘积的代数和（考虑正负号）的平均值。同理，B因素的主效应对应B所在列的水平和产率（指标）乘积代数和的平均值；C因素的主效应对应C所在列的水平与产率乘积代数和的平均值。则有：B=a2=1/8(-y1-y2+y3+y4–y5-y6+y7+y8)=3.5C=a3=1/8(-y1-y2-y3-y4+y5+y6+y7+y8)=4.5由A、B、C值可知，在这个催化重排反应中，反应时间对产率的影响最大，其次是反应温度和浓度配比。因素交互效应即因素交互因素所在列水平与指标乘积代数和的平均值，有：AB=a4=1/8(y1-y2-y3+y4+y5-y6-y7+y8)=0.5AC=a5=1/8(y1-y2+y3-y4-y5+y6-y7+y8)=2.5BC=a6=1/8(y1+y2-y3-y4-y5-y6+y7+y8)=-0.5ABC=a7=1/8(-y1+y2+y3-y4+y5-y6-y7+y8)=-1.5显然，A和C之间有较明显的交互效应，其他交互效应较小。同理，也可计算第八个因素对指标的平均贡献，即：I=a0=1/8(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)=70.25由以上两例可知，析因试验计算各因素主效应及各因素间的交互效应大小的方法非常简单，只需将析因表中各因素相应列的水平与相应实验结果（指标）相乘求代数和即可。因素间的交互效应值得注意的是，析因试验设计方法只适合于因素与水平数较少的试验。因素水平增多，试验次数明显增多。化学试验常涉及很多因素，例如达到5-10个因素，即使全部因素是2水平的，对n=10时210=1024，对于5因素试验，需要32次试验。因此析因设计会遇到试验次数过多的困难。用正交表安排试验，能以最优方式解决这一问题。2.3正交试验设计2.3.1正交表用正交表安排试验并对试验结果进行数据分析而获得最优条件的方法称为正交试验设计方法。那么什么是“正交表”呢？先介绍“完全对”和“搭配均衡”的概念。假设有(a1,a2,a3,…,an)和(b1,b2,b3,…,bn)两组元素，分别是两因素A和B的各个水平，如果在多次试验中，因素A组中每一个元素都与因素B中每一个元素有配对试验，同时因素B中每一个元素也与A中每一个元素都有配对，则称这些试验或元素对(a1b1),(a1b2),(a1b3),……，(a1bm),(a2b1),(a2b2),(a2b3),……，(a2bm),(a3b1),(a3b2),(a3b3),……，(a3bm),……(anb1),(anb2),(anb3),……，(anbm),构成两组元素（因素）的完全对。析因设计表FD4(22)和FD8(23)中任两列元素都构成“完全对”。如果一个矩阵的某两列中，同行元素所构成的全部元素对是一个“完全对”，且每个元素队出现的次数相同，则称这两列元素“搭配均衡”，否则称“搭配不均衡”。例如：矩阵A和B的两列搭配都是均衡的，因为两列中的元素(1,3)、(1,4)、(2,3)和(2,4)构成完全对，且每一对均出现了两次或一次；而C矩阵的两列虽然也构成了完全对，但元素对(1,3)在矩阵中只出现了一次，元素对(2,3)、(2,4)出现了2次，而(1,4)却出现了3次，故搭配是不均衡的。FD4(22)和FD8(23)等析因表除第一列外，其余两列均是搭配均衡的矩阵A矩阵C1111222233443344112211223434444312123344矩阵B对于一个(nxm)阶矩阵A，它的第j列元素由数码(t1,t1,…,tm)所构成，如果矩阵中任意两列都是搭配均衡的，则称A是一个正交表，这里称矩阵为表，是因为可以将其写成表格的形式，记作：Ln(t1xt2x……xtn)L是正交表的代号，来源于拉丁文(LatinSquare)试验设计的第一个字母；n表示试验次数；而tj(j=1,2,…,m)代表第j列由因素j的tj个水平组成。如所有tj均相等，则可记作Ln(tm)，称为t水平正交表；如有两列水平数不相等，则称混合型正交表。常见的正交表有如L4(23),L8(27),L9(34)等等。很多正交表都已排列成册，供使用时参考查阅。2.3.2正交试验设计的一般步骤正交试验设计采用正交表安排试验，可以最少的试验次数最大限度地获取有关各因素的主效应（对指标取值的影响）及各因素之间的交互效应的许多信息。在正交试验中，各因素水平的安排因其正交表的搭配均衡性而具有均衡分散性和整齐可比性的特征，因而，正交试验属于最优试验设计。2.3.2正交试验设计的一般步骤用正交表安排试验的一般操作步骤大致如下：1、确定指标或目标函数，挑因素，选水平，绘制因素水平表；2、根据因素水平表，选择合适正交表（多数正交表都相应有一个表头设计和两列间交互效应表），并正确安排试验方案；3、按试验方案进行试验获得试验指标，并对结果进行分析，确定最优条件。若最优条件不在正交表中或属于因素范围的边界时，应补充试验加以证实。在因素水平较多时，可以做趋势图，分析是否还有更好的条件，如有，也应补充试验进行分析检验。实例1设有一化学反应，需考察4个试验条件（因素）的影响：反应物1（因素A）和反应物2（B）的投入量，反应温度C，反应时间D，并设各条件均为2个水平。请以正交试验设计安排试验进行结果分析。实例1解：(1)构造因素水平表指标或目标函数去化学反应中生成物的产率，且产率越高指标越优，根据初步化学试验，选定了因素和水平，构成因素水平表如下表(a)。NoABC(0C)D(h)水平10.212352.5水平20.722654.5实例1解：(2)选择正交表，设计试验方案并试验选择L8(27)正交表，将所考察的4个因素按表头设计分别配列在正交表的第1,2,4,7列上，第3,5,6列留作进一步考察因素间的交互效应。试验方案与所得试验结果列于如下表(b)中。L8(27)正交试验方案及结果

（相同为“1”，相异为“2”）因素ABAXBCAXCBXCD结果列号1234567产率1111111156.52111222278.93122112257.24122221161.85212121288.96212212193.57221122169.98221211292.3T1254.4317.8297.6272.5299.5299.5281.7T2344.6281.2301.4326.5299.5299.5317.3极差90.2-36.63.854.000-35.6实例1解：(3)对试验结果进行直观分析，确定最佳条件 先计算各个因素水平对指标的贡献。将各