华理材料力学Chapter08

第八章应力和应变分析强度理论应力状态概述应力的定义（第一章）正应力

的定义剪应力

的定义

p

Cmm应力的基本特性应力是位置的函数对于确定点的应力，过该点不同方向截面上其应力的表示一般也是不同的应力状态

一点的应力状态是指过该点所有不同方向截面上其应力大小和方向组成的集合。应力状态的描述

对于一点的应力状态的具体描述，通常的方法是过该点选择相互垂直的三个方向，研究以这三个方向为法线方向其截面上的应力（包括正应力和剪应力）。在直角坐标系（笛卡尔直角坐标系）的具体做法如下：取坐标轴的方向为上述三个方向在所考虑的位置取一单元体（微元体，正六面体），其表面垂直相应的坐标轴，如图所示zxyO单元体的表面看作为过该点的一个截面，其中三个的法线方向与坐标轴的方向一致，另三个则相反。由于是微元体，假设表面上的应力是均匀的且等于该截面上的应力。单元体内平行面之间上的应力或相同或相反。单元体表面上的应力分解为正应力和剪应力，剪应力在相应的表面内再分解成两个剪应力（其方向与坐标轴的方向一致或相反），如图所示zxy正应力的符号规定：拉为正，压为负。剪应力的符号规定：顺时针为正，逆时针为负。注：图中

ij（i,j=x,y,z）表示为法向与i轴一致或相反所对应截面上的剪应力在j轴方向或相反方向上的投影，该图中

ij的方向均为正向。注：图中

i（i=x,y,z）表示为法向与i轴一致或相反所对应截面上的正应力，该图中

i的方向均为正向。由剪应力互等定理可知

ij=-

ji，因此在单元体上仅有六个独立量，即

x

,

y

,

z

,

xy(

yx),

xz(

zx),

yz(

zy)，—应力分量由力的平衡方程（三个），过该点的任何方向的截面上的应力均可由应力分量

x

,

y

,

z

,

xy(

yx),

xz(

zx),

yz(

zy)

表示出来。因此，由

x

,

y

,

z

,

xy(

yx),

xz(

zx),

yz(

zy)

可以确定一点的应力状态主平面、主应力、主应力方向

在研究一点的应力状态时，若过该点的某一截面上的剪应力为零，则该截面称为该点的一个主平面；该截面上的正应力称为该点的一个主应力；该截面的法向称为该点的一个主应力方向。对于一点的应力状态，主平面（主应力，主应力方向）总是存在的；且总是存在有相互垂直的三个主应力方向。一般情况下，三个主应力方向是唯一的。应力状态的分类

对于一点的应力状态，根据该点的三个主应力的数值大小情况作如下分类：单向应力状态：三个主应力中仅有一个不等于零。例如：杆的简单拉压问题；梁的纯弯曲问题平面（二向）应力状态：三个主应力中仅有两个不等于零。例如：圆柱的扭转问题；梁的剪切弯曲问题tts=ts=-t空间（三向）应力状态：三个主应力皆不等于零。另外，单向应力状态也称为简单应力状态；平面和空间应力状态也称为复杂应力状态。在研究一点的应力状态时，通常用

1、

2、

3代表该点的三个主应力，并以

1代表代数值最大的主应力，以

3代表代数值最小的主应力，即

1>

2>

3。平面应力状态！？应力状态分析本节主要讨论在给定的坐标系(笛卡尔直角坐标系)下，已知一点的应力分量

x,

y,

z,

xy(

yx),

xz(

zx),

yz(

zy)时，如何求解与表示出过该点任意截面上的应力（正应力和剪应力）问题。简单应力状态（回顾）以直杆的简单拉伸情况为例xyzdxdydz

现研究法向n与x轴夹角为a（逆时针为正）的斜截面上的应力

记斜截面的面积为dA=l

dz，则

dAx=dA

cos

，dAy=dA

sin

现由力的平衡方程（注：不是应力的平衡!）求斜截面上的正应力和剪应力利用平衡方程：更方便些！平面（二向）应力状态（解析法）在第三章圆直杆的扭转问题中，我们已讨论了在纯剪切状态下斜截面上的应力计算，现在讨论平面（二向）应力状态在一般情况下斜截面上的应力计算问题，即在给定的坐标系(笛卡尔直角坐标系Oxyz)下，已知一点的应力分量

x,

y,

xy(

yx)且z=

xz(

zx)=

yz(

zy)=0时，如何求解与表示出过该点斜截面上的应力（正应力和剪应力）问题，如图所示注：图中

ij（i,j=x,y）的方向是按照剪应力互等定理来画的，这时有

ij＝

ji（i,j=x,y）。按照剪应力的正负号规定，则

xy为正，而

yx为负。现研究法向n与x轴夹角为a（逆时针为正）的斜截面上的应力记斜截面的面积为dA=l

dz，则

dAx=dA

cos

，dAy=dA

sin

现由力的平衡方程求斜截面上的正应力

和剪应力

，考虑在n和t两个方向力的平衡同理，由从上面所推导出的公式可以看出：斜截面上的正应力

和剪应力

是角度a的光滑函数。现在讨论和分析它们的一些性质：正应力

的极值点、最大值和最小值由于正应力

是角度a(02)的光滑函数，因此，正应力

必存在有最大值和最小值，而极值点（相对自变量a而言）必须满足：设a0为正应力

的极值点，则有由于tgx是周期函数，因此，若a0是

的极值点，则a0

也是

的极值点，a0和a0

是相互正交的两个方向；另外，由

的一般表达式可以看出：，这表明极值点所确定的方向a0为主应力方向。进一步的分析和判断可得出以下结论：在极值点a0处正应力

(02)取最大值或最小值，其最大主应力和最小主应力为若

x=

y且

xy(

yx)=0，则最大主应力和最小主应力相等，在Oxy平面上任意一对相互垂直的方向均为主应力方向（对应的截面为主平面），这时两个主应力方向不能唯一确定。在约定

x

y后，则在极值点a0（两个）中，绝对值较小的一个确定

max所在的平面。剪应力

的极值点a１由确定，a１

也是

的极值点，a１和a１

是相互正交的两个方向剪应力

的极值点、最大值和最小值具体分析与正应力

的情况类似，有以下主要结论在极值点a１处剪应力

(02)取最大值或最小值，其面内最大剪应力和最小剪应力为面内最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为450，即a１=

a0

4例题例1.圆直杆扭转时在杆表面上点K的应力状态xy解：首先建立坐标系，在圆直杆扭转时横截面上仅存在剪应力，其杆表面上点K的剪应力为

=Me/Wt，如图。这时，

x=

y=0,

xy=

。则最大正应力和最小正应力为由ttsmax=tsmin=-txy450450例2.图示为一横力弯曲下的梁，已知横截面m-n上一点A的弯曲正应力和剪应力分别为：

=-70MPa,

=50MPa（如右图所示)。试确定A点的主应力及主平面的方向。解：把从A点处截取的单元体放大并且建立适当的坐标系，如图所示（注意坐标系的选择！？）在给定的坐标系中，由图示得：

x

=0,

y=-70MPa,

xy

=-50MPaA点的最大主应力和最小主应力为：MPaA点的主应力的方向，由按照关于主应力的记号规定：

１=

max=26MPa

2

=0

3=

min=-96MPa讨论题已知某点的应力状态为两种应力状态的叠加（如下图所示），试求叠加后该点应力状态的主应力、面内最大剪应力。

=80MPa

=70MPa

=50MPa

22=30MPa450

22+平面（二向）应力状态（图解法）对于平面应力状态，由解析法已得到了法线倾角为

的斜截面上的正应力

和剪应力

（见上面的公式）。这两个公式可以看作是以

为参数的参数方程。消去参数

后，可得到：由于

x,

y,

xy均为已知量，则（a）式是以

和

为变量的圆周方程。若以

表示横坐标，

表示纵坐标，则圆心的坐标为，圆周的半径为。该圆周称给应力圆。应力圆应力圆的作法已知平面应力状态的应力分量

x、

y和

xy（如下图所示），现在来解释如何作应力圆以及通过应力圆如何确定斜截面上的正应力和剪应力等有关量。步骤如下：首先建立坐标系O

，画出A、D、B和D′四个点，其坐标分别为(

x,0)、(

x,

xy)、(

y,

0)和(

y,

yx

)。以DD′与

轴的交点C为圆心，DD′为直径画出应力圆对于斜截面上的正应力

和剪应力

，以D点为起点在应力圆上逆时针旋转2

角度得到应力圆上E

点，E

点的坐标为(OF，EF)，则

=OF,

=

EF。最大主应力

max和最小主应力

min分别为应力圆与

轴的交点A1和B1（横坐标的值），最大主应力

max的方向与x

轴的夹角a0取决于D到A1的夹角2a0和走向（是逆时针还是顺时针）面内最大剪应力

max和最小剪应力

min分别为过C点平行于

轴的直线与应力圆的交点G1和G2（纵坐标的值），面内最大剪应力

max的方向与x

轴的夹角a1取决于D到G1的夹角2a1和走向（是逆时针还是顺时针）例题例1.已知一点的应力分量和

（如图所示），求主应力和主平面的方位角。解析法：已知该点的应力分量

x=

,

y=0,

xy=

。则主应力为：按约定有：

1

=

max

,

2

=0,

3

=

min

。主平面的方位角为：图解法：空间（三向）应力状态（解析法）对于三向应力状态，这里只讨论当三个主应力已知时（如图所示），任意斜截面上的应力计算。首先将任意斜截面ABC从单元体中取出四面体令斜截面的法线为，其方向余弦为l,m,n（l2+m2+n2=1）。假设斜截面上的总应力，正应力和剪应力分别为p,

n,n；总应力p在坐标轴方向的投影分别记为px,py,pz。由力的平衡方程得：

px=l

1,py=m

2,pz=n

3考虑到px

,py

,pz在法线上的投影，得：

n=

pxl+

py

m+

pzn=

1

l2+

2

m2+

3

n2由p2=

n2+

n2,

得：

n2=

12

l2+

22

m2+

32

n2

-

n2空间（三向）应力状态（图解法）由斜截面上的正应力

n，剪应力

n和法线方向余弦（l,m,n）与主应力

１,

2

,

3

的关系（见上面三个方程），在给定法线方向余弦（l,m,n）后，可得斜截面上的正应力

n和剪应力

n同时满足下面三个圆方程：如约定

１>

2>

3，类似于平面应力状态的情况，任意斜截面上的正应力

n和剪应力

n组成的点坐标（

n,

n）位于上述三个圆的交集之中，如图所示最大和最小剪应力分别为：

在平行于

2轴的斜截面内，不同于平面应力状态的情况！三向应力状态应力圆的具体做法：平行于

3轴的斜截面，应力圆为：平行于

2轴的斜截面，应力圆为：平行于

1轴的斜截面，应力圆为：三向应力状态应力圆为：位移与应变分量关于应变（线应变和剪应变）和位移的概念已在第一章中给大家介绍过了。在给定的直角坐标系Oxyz下，已知一点M的位移分量为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)

；应变分量为

x

,

y

,

z

,

xy(

yx),

yz(

zy),

zx(

xz)，它们之间的关系为：在上面关系中，线应变的正负号规定为：伸长为正，缩短为负；剪应变的正负号规定为：角度增大为正，角度减少为负。上述规定与相应的应力正负号规定是协调一致的。可以证明：一点的应变状态可以由应变分量

x

,

y

,

z

,

xy(

yx),

yz(

zy),

zx(

xz)确定，即该点任意方向的线应变以及任意两个垂直方向所确定的剪应变均可以由这六个应变分量表示出来。平面应变状态分析这里所讲的平面应变状态是指由平面应力状态所对应的应变状态，即位移分量的形式为：u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y)这里主要讨论在直角坐标系Oxy下，已知一点的应变分量

x,

y,

xy(

yx)，如何描述和确定其它方向（在Oxy平面内）的应变量（线应变和剪应变）。下面仅给分析步骤和主要结论（详细推倒过程省略）。新旧坐标系之间的关系以及新旧坐标系下位移之间的关系新旧坐标系之间的变换关系：新旧坐标系下位移之间的关系：新旧坐标系下应变分量之间的关系记，则上面式子可写成：上面的公式与平面应力状态的情况是相似的，因此，对平面应变状态也有类似的结论：在平面应变状态中，一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变取极值（最大值和最小值）而剪应变等于零。此时的线应变称为主应变，该方向称为主应变方向在平面应变状态中，一点的线应变极值方向以及线应变的最大值和最小值分别为：广义胡克定律在第二章讨论轴向拉伸和压缩时，根据实验结果，曾得到在线弹性范围内应力与应变之间的关系（胡克定律）为或此外，轴向拉伸或压缩变形的同时还将引起横向尺寸的变化，即存在有横向应变

，它与应力的关系为轴向拉压时应力与应变之间的关系在第三章讨论圆直杆的扭转时，对于纯剪切的情况，实验结果表明，当剪应力不超过剪切比例极限时（即在线弹性范围内），剪应力与剪应变之间的关系（剪切胡克定律）为或纯剪切时剪应力与剪应变之间的关系在上述两种情况中应力与应变之间的关系（亦称本构关系）是比较简单的，也是基本的，同时在实验上也是容易实现的。广义胡克定律对于一般的复杂应力状态，应力与应变之间关系（本构关系）的精确描述是非常困难的（包括理论分析和实验两个方面）。注：图中

ij（i,j=x,y,z）的方向是按照剪应力互等定理来画的，这时有

ij＝

ji（i,j=x,y,z）。按照剪应力的正负号规定，则

xy,

yz,

zx为正，而

yx,

zy,

xz为负。对于各向同性材料，在小变形且线弹性范围内时，可以证明：线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关。利用叠加原理，可以得到在复杂应力状态下应力与应变之间的关系（广义胡克定律）为在广义胡克定律中，E

、

和G

统称为材料的弹性常数，即弹性模量、泊松比和剪切模量。对给定的材料可由拉伸和扭转实验测出，它们之间有如下关系：若坐标轴x,y,z的方向与主应力方向一致时（主应力为

1

,

2

,

3），广义胡克定律可写成：注：此式表明对各向同性材料且在小变形及线弹性范围内，主应力方向与主应变方向是一致的体积胡克定律现讨论物体发生变形时，体积变化与该点应力之间的关系。体积应变

：单位体积的相对变化量，即对于给定的一点，体积应变

的计算公式为K

称为体积弹性模量，

m称为平均应力

m

K称为体积胡克定律

1

2

3

x

y

z；1

2

3=x

y

z其中复杂应力状态的变形比能在第二章讨论轴向拉压变形时，在线弹性范围内曾计算得到变形比能为；在第三章讨论圆直杆的扭转时，在线弹性范围内类似计算得到变形比能为。对于一般的复杂应力状态，在给定的直角坐标系Oxyz下，已知一点的应力分量

x,

y,

z,

xy(

yx),

yz(

zy),

zx(

xz)时，若材料为各向同性且在小变形及线弹性范围内，通过叠加原理可得到复杂应力状态的变形比能为由广义胡克定律，应变比能可写为：若坐标轴x,y,z的方向与主应力方向一致时（主应力为

1

,

2

,

3），应变比能可简写为：体积改变比能uv

：因体积变化而储存的比能。形状改变比能uf

：体积不变，单元体（正方体）在变形后变为长方体而储存的比能。体积变化是指单元体（正方体）在变形后仍为正方体，只是体积发生了变化的情况。强度理论概述材料破坏（失效）的简单情况（回顾）如何描述复杂应力状态情形下材料破坏的机理和条件呢？直杆的轴向拉伸和压缩TT圆直杆的扭转在大量实验观察和研究的基础上，认为材料受外力而发生失效时，不论其表面现象如何复杂，其失效现象总不外乎几种类型，并且同一种类型的失效则可能是由某一个共同的因素所引起的。如果确定了某一种失效类型的共同因素，则可通过较简单的应力状态下的试验结果，确定该共同因素的极限值，从而确定复杂应力状态下材料失效的极限值。强度理论——材料某种类型的失效现象中起主要作用的某种因素的假说和判断。强度理论的建立根据部分实验结果，对材料的失效现象进行分析和推断。提出一些假说，从而推测材料在复杂应力状态下的失效原因。对所提出的强度理论，通过实验进一步验证，以证明该理论的正确性。材料的失效现象

铸铁拉伸时，沿拉应力最大的横截面断裂。扭转时，沿拉应力最大的450螺旋面断裂。低碳钢拉伸时，沿剪应力最大的450方向出现滑移线（屈服）。扭转时，沿剪应力最大的横截面断裂。由于材料的失效类型具有断裂和屈服两种不同的形式，所以强度理论也分为两类：断裂破坏强度理论；屈服破坏强度理论。强度理论认为不管材料处于单向还是复杂应力状态，只要某种因素达到极限值，材料就发生失效。这样，就可以根据单向受力的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。材料的失效形式不仅与材料本身的物理性质有关，而且与其应力状态（与材料的受力情况有关）。在某些受力情况下，塑性材料可能发生断裂破坏（脆性断裂），而脆性材料也可能发生屈服破坏（塑性破坏）。在应用强度理论进行设计时，不仅要考虑材料的物理性质，而且要分析材料的受力情况，才能确定材料的失效形式。具有尖锐环形深切口的圆柱形试件在轴向拉伸时的脆断塑性材料脆断的例子断裂后由于内部缺陷或裂纹导致的局部高应力和三向拉应力引起的脆断断裂后脆性材料塑性变形的例子脆性材料在轴向压缩和径向均匀压力作用下的塑性变形现象塑性屈服后因此，将材料分为塑性状态和脆性状态（考虑受力情况）比将材料分为塑性材料和脆性材料更为合理。强度理论这里主要介绍在常温和静载条件下，四个常用的强度理论。最大拉应力理论（第一强度理论）材料断裂的强度极限状态取决于它承受的最大拉应力。即无论应力状态如何，只要最大拉应力