数学文化教程

数学文化教程（高等教材）目录\h第一章认识数学：我们周围的数学世界\h第一节什么是数学\h第二节我们周围的“数学世界”\h第三节数字电视和数字地球\h第四节数学英雄：从陈景润到王选\h第二章数学是人类文明的火车头\h第一节数学是人类文明的火车头——简述四个数学高峰\h第二节古希腊为代表的地中海数学文明\h第三节古希腊数学与古代中国数学的比较\h第四节黄金时代：从牛顿到高斯\h第五节信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁\h第六节国际数学联盟与国际数学家大会\h第七节考据训诂导致逻辑推断——乾嘉学派对数学的影响\h第八节20世纪的中国现代数学\h第三章纯粹数学的一些基本概念\h第一节集合和基数\h第二节关系和函数\h第三节群：代数结构\h第四节橡皮几何：拓扑结构\h第五节三种基本数学结构\h第四章数学欣赏：数学意境与人文意境的沟通\h第一节《道德经》与自然数公理\h第二节杜甫《登高》与数学无限\h第三节中国古诗中的数学意境\h第四节欣赏数学的特定内涵：等价类\h第五节欣赏数学的美观——以对称与对仗为例\h第六节欣赏数学的和谐美：美好、美妙、完美\h第七节从算术到代数的考察：过河取宝还是拴线拉宝？\h第八节宏观的变量与微观的对应：初高中两种函数定义的比较\h第九节四维时空和n维空间——从陈子昂的《登幽州台赋》说起\h第十节识以领之，方能中鹄——兼谈麻将为什么不能产生概率论\h第五章学一点微积分：局部和整体的矛盾统一\h第一节“一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限\h第二节用“有限”符号装点的“极限”女神——数列极限严格定义的欣赏\h第三节抽刀断水水更流的数学描述——函数的极限和连续\h第四节“无穷小量的鬼魂”——早期微积分学有效但不严谨\h第五节微分之比，“局部”为本\h第六节局部思考超越“飞矢不动”——考察瞬时速度\h第七节局部与整体沟通的桥梁——导函数与微分中值定理\h第八节累积微分，溯源整体\h第九节更上一层楼：寻找原函数\h第十节一桥飞架南北，天堑变通途——牛顿—莱布尼茨公式\h第十一节微分搭台，方程唱戏\h附微积分之歌\h第六章数据人生\h第一节数据的统计处理——从去掉最高分和最低分谈起\h第二节数据的运用：“公说公有理，婆说婆有理”\h第三节系统聚类\h第四节《红楼梦》的作者是谁？数据分析的应用\h第五节数据与历史：计量历史学\h第六节媒体信息中的数据欺诈和滥用\h第七节苏联李森科的“伪科学”数据\h第七章线性数学与非线性数学\h第一节线性空间、向量空间、欧氏空间\h第二节线性空间上的矩阵\h第三节超市里的向量和矩阵\h第四节非线性数学蝴蝶效应\h第五节分形几何\h第八章数学应用例谈\h第一节数学与民主投票\h第二节数学最优化例谈\h第三节田忌赛马和对策论\h第四节算法复杂性：计算机的速度还太慢！\h第五节金融数学“华尔街革命”\h第六节微分几何与规范场：陈省身和杨振宁的科学会师\h第九章现代数学重大事件综述\h第一节从勾股定理到费马大定理\h第二节破解拓扑学世纪之谜：庞加莱猜想的证明历程\h第三节第二次世界大战中的数学密码学\h第四节开创数字时代：仙农创立信息论\h第五节维纳与他的控制论\h第六节数学证明的机械化之路\h第七节重建人体内部的三维图像—计算机X射线断层成像（CT）的数学理论\h第八节攻克斯坦纳三元系大集的百年难题第一章认识数学：我们周围的数学世界什么是数学我们周围的“数学世界”数字电视和数字地球数学英雄：从陈景润到王选数学属于每一个人。这一章将为您提供一些数学发展的文化背景，分析数学文化的现状，展望数学的明天。第一节什么是数学什么是数学？每个人都有自己的看法。几十年前，有关部门曾经把大学数学系的毕业生分配到财务科去当会计，潜台词是把数学看作一种计算技能。一部分教师则说，数学是一把筛子，通过数学考试发现好学生，为上大学选拔人才服务。苏联的教育家加里宁认为，“数学是思想的体操”，可以锻炼人的思维。现代教育家的看法是，数学是基础教育的主课，公民素质的核心部分。至于数学家自己，则把数学定义为“关于现实世界数量关系和空间形式的科学”。以上的种种看法，尽管角度不同，提法相异，但都反映出数学的某种价值，有其特定的道理。数学是一门科学，但所研究的对象并不直接存在于现实世界。这是数学区别于其他科学的一个非常重要的特点。鲁迅说过：地上本没有路，走的人多了，也便成了路。同样，世上本来没有龙，人们只见过蛇、狮、虎、豹，因为先人的图腾想象，大家认同了，就有了约定俗成的“龙”。那么看看数学，世上原来也没有数学这个事物，没有人见过1，2，3，4。只有一个苹果、两条鱼、三只羊、四条腿。由于人们的创造，经过人的想象，才有了数字，并发展成数学。世上原本就有太阳、地球、原子、电子、化合物、动植物、细胞和基因。人们发现了物体运动、声光电热、化合与分解、生长与遗传等现象。当人们掌握了物质运动规律，并运用它为人类造福，这就有了物理学、化学、生物学学科。至于数学，却不直接面对某个特定的物质运动形式。世上并没有“质数”“合数”“方程式”这样的东西。哥德巴赫猜想，是人类思维的创造。数学和龙一样，具有巨大的威力。“龙”象征着“君权”，体现出至高无上的权威。数学则因其覆盖一切科学领域，也是君临天下，成为“科学的女王”。另一方面，威严会使人难以亲近。正如普通百姓穿不得象征皇权的龙袍一样，一般学生往往害怕抽象的数学。但是，时代在前进。如果说“龙”文化现在已经渗入到寻常百姓家，那么今日的数学文化则应伸展到学校的每一个角落。现在的问题是，进入21世纪之后，我们在数学观上面应该有怎样的改变呢？社会在进步，数学在发展，数学观也必然会发生变化。一个显著的事实是，数学正从幕后走到台前。数学不仅是其他学科的工具，而且是可以直接产生经济效益的技术。数学的应用已经渗入到社会的各个层面，体现在日常生活之中，甚至有可能决定国家的命运。翻开《中国大百科全书·数学》，吴文俊先生开宗明义地写道：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。这是一个权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。关于这个定义，人们有各种不同的理解、补充、修改。例如，钱学森在《关于思维科学》一书中，把数学和哲学并列，认为数学是在社会科学和自然科学之上的一门学问。有人对数学来源于现实世界有不同的看法。比如，“哥德巴赫猜想”来源于现实世界的哪一部分？很难说得清楚。记得1958年，武汉大学的齐民友先生写过《竹子的哲学》一文，文中认为数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年之后，竹子开花，枯萎而死（陈旧的数学被淘汰），却留下种子，重回大地，并另生春笋破土而出（新数学的萌芽）。这一比喻，非常形象。但在当时，它是作为反对数学来源于实践的“反面教材”发表的。更多的数学家认为，现代数学的发展，已经超出“数”和“形”的范围，应当包括结构、范畴、模型等更广的对象。不过，只要把数和形作广义的理解，大概也就可以了。无论如何，《中国大百科全书·数学》上的这一定义，还是目前普遍接受的关于“什么是数学”的答案。关于数学的特点，一般都沿用苏联亚历山大洛夫（A.D.Aleksandrov）的“三性”提法：抽象性、严谨性、广泛应用性。这一提法有合理的成分，但产生的实际效果却在很大程度上被异化了。一提数学，首先就是抽象，使数学远离人们的实际经验和日常生活，吓人一跳。其实，数学的抽象在于它的对象：形式化的思想材料。而这些材料仍然可以溯源于经验世界，不必过于强调其抽象之难。至于严谨性，和逻辑联系在一起，使数学成为一门相对精确的科学。但是，过分地强调严谨性，把数学等同于逻辑，把生动活泼的数学思想淹没在形式演绎的海洋里，实在是歪曲了数学的本质。至于“广泛应用性”，乃是抽象性的推论，几乎没有新的论述。因为数学的抽象，虽然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是到处都可以用数学，数学的广泛应用性也就成立了。这样的论述引申到中学数学教育上，便是绝口不提数学的应用。数学高考，相当长时间不涉及应用题，学生视应用题为畏途，连教师也觉得头痛。到了这一步，数学除了“思维的体操”之外，再也没有什么可谈的了。于是，数学教育变成解考题教育，数学教学的目的是通过考试，数学教师成了解题机器，解数学难题成了数学杂技。只要躲在抽象性、严谨性的口号下，什么联系实际、数学为国家建设服务、培养用数学分析和解决实际问题的能力，便统统不必过问了。问题出在“数学观”已经跟不上时代要求。长期以来，数学的含义只包括“纯粹数学”。《中国大百科全书·数学》中的数学定义，亚历山大洛夫的“三性”都是从纯粹数学的意义上来说的。不过，今天的数学，已经不再仅限于纯粹数学，而是渗透到社会生活的每个角落，成为能够立即转化为生产力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支持。电视卫星的姿态和定点控制必须用数学计算得分毫不差。数字电视主要依靠信息压缩的数学技术。头顶呼啸而过的飞机的制造和飞行，是用数学方法加以计算和控制的。与人的健康紧密相关的CT扫描，其基本原理竟是一条数学定理——拉东逆变换公式。信息时代的国家机密正是通过数论才得以在通信过程中保持安全。庞大的世界经济正在由成千上万个未知数的微分方程组进行模拟和计算。北京大学数学系毕业的王选院士用数学技术推动了“印刷革命”。当我们在尽情享受数学文明的时候，如何认识当今的数学呢？要说明这一点，可以在理论上展开，从社会、哲学、科学的角度详加分析。但是，这也许太复杂了。还是让我们看几段讲话吧。钱学森讲话1989年8月18日，钱学森（图1.1.1）在中国数学会“数学教育与科研”座谈会上发言，提到了“数学技术”，全文发表于《中国数学会通讯》1989年第4期。现将有关的段落摘引于此（为使语气连贯，有一些文字上的改动）：◀图1.1.1钱学森“在理科、工科的实际工作中，现在不是用手算，而是用电子计算机去算，去求解。数学的基础理论有了，工程技术的具体问题在这儿，中间怎么过去？不是靠手算了，是靠电子计算机。也就是说，从自然科学的理论出发，用电子计算机能得到具体工程技术问题的解答。那么谁来做这些中间的工作呢？在美国成立了一些新学术组织，如工业数学与应用数学协会（SocietyoflndustrialandAppliedMathematics（SIAM）），国际工业数学和应用数学大会（InternationalCongressofIndustrialandAppliedMathematics（ICIAM））。他们都离开了老的领域，而利用计算机来工作。谢定裕教授把这称为‘数学科技’，我想不叫‘数学科技’，而叫‘数学技术’。它要求数学给一个方法，能用科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题。这包括两个方面：第一是要会用计算机，会指挥它去算；第二是对电子计算机给出的解答，通过荧光屏的显示，能够理解它，别让它给唬住了。上百年的这套老东西脱离实际太远了。今天的实际要求学生学会两条：一要会用电子计算机，二要能理解计算机给出的答案。”国际数学联盟主席芒福特（D.Mumford）答记者问1995年5月，国际数学联盟（IMU）在巴黎举行执委会会议。有记者问：“您个人认为21世纪数学将面临怎样的挑战？”芒福特（图1.1.2）的回答是：“啊！这可真是一个重大问题，人们需要坐下来，长时间地思考这个问题。我个人感觉到，一个十分重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。在19世纪，您可以看到大多数数学家都是身兼二职，例如傅里叶（Fourier）发现和研究级数，就是受了应用的刺激。但以后产生了分隔，尤其是在美国。我想其他国家在某种程度上也是如此。我希望当前对科学用处的普遍强调（这有利于公众对科学的投资），将不至于简单地花很多钱去搞纯粹数学研究，而是相反，应当引向一个共同目标，使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发，运用他们的理论思想更有效地解决实际应用问题……我坚信数学教育应当很认真地努力，从思想上重视实际应用。”◀图1.1.2芒福特值得注意的是：芒福特本人是一位纯粹数学家，1937年出生，美国哈佛大学教授。其研究方向是代数曲面，1974年获得世界数学家最高奖——菲尔兹奖章，2008年又荣获代表数学家终身成就的另一个世界大奖——沃尔夫奖。一位研究纯粹数学的名家发表上述谈话，更是意味深长。姜伯驹院士在教育部数学与力学教学指导委员会上的讲话姜伯驹院士（图1.1.3）是北京大学教授，专长拓扑学，在不动点类理论上有独特贡献，获第三世界科学院颁发的数学奖。他曾是教育部的数学与力学教学指导委员会主任。1996年5月，他发表讲话，作为一个纯粹数学家，同样呼吁数学应用（原文见《中国数学会通讯》1996年第9期，这里摘引其中的一段，做了少量删节）。▶图1.1.3姜伯驹我做学生的时候，老师讲数学的重要性，就是两句话：数学是思想的体操，数学是科学的语言。数学要通过其他科学发挥作用。但是，现在数学已不必通过别的学科，而直接发挥作用了。很多高精尖的东西根本上取决于数学模型。数学已经走到前列了。我们常常听到出国留学人员的一种反映，说工科学生到国外听课，一个拦路虎就是数学。近几年听到文科学生，不仅是学经济的，甚至学政治学、社会学这样的学科，在国外都在数学上碰到很大的困难。因此，‘数学是生活的需要’，而不只是前面所说的两句话了。我觉得，许多事情，特别是有竞争的地方，数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你就赢了。20世纪下半叶数学有很大的发展，其中最大的一个发展是应用。这三段讲话，表明我们的数学观应该有所更新了。纯粹数学的定义仍然有效，不过要有更宽泛的理解；如果加上应用数学的内涵，就会对21世纪的数学有新的认识。让我们再看看中国数学界的实际行动。1997年3月，中国数学界提出了面向21世纪的数学研究计划——“973计划”。其计划要点涉及以下四方面：●核心数学。它是纯粹数学的核心，应用数学的基础。●非线性问题的数学理论和方法。各门自然科学中的非线性现象和纯粹数学各分支交叉形成许多新的生长点。●金融和高科技中的数学建模、计算和运筹决策。这是国民经济可持续发展、高科技的重大突破和科学管理所面临的重大挑战性课题。●复杂系统的建模、分析、控制和优化。现代科学技术中出现大量急需解决的复杂系统控制与优化问题，需要发挥现代数学、计算机科学和工程科学多学科的综合优势。以上各点，除了“数论”和“经典分析”的一部分曾是我们的强项之外，其他项目多半是我们以前所不熟悉的弱项。一个不争的事实是：今天的数学，已经不是我们从前熟悉的模样了。现代数学常识，正作为一种普通公民应该具有的素质，展现在我们面前。第二节我们周围的“数学世界”数学在改变世界，也在改造我们的生活。从1996年开始，电视屏幕上出现了“降水概率”的字样。“概率”这一词走进了寻常百姓家。也是在电视上，跳水比赛，7个评委们亮分之后，要去掉一个最高分，一个最低分。有时还要去掉两个最高分，两个最低分。这是为什么？追根寻底，原来涉及“数理统计”的数据处理了。20世纪的最后几年，国家和地方先后发行福利彩票、体育彩票，各大商场的抽奖活动花样翻新。“中奖”成了人们的日常话题。那么“中奖率”是多少？这又涉及“概率”计算。市场经济是一个大课堂。我国实行社会主义计划经济，又给人们提出了一系列的数学问题。利息、纳税、成本、折扣、销售、赢利、亏损、债券、股票、期货等经济问题一股脑地呈现在人们面前。没有数学头脑，没有算计，你将寸步难行。我国从1995年起，高考数学题目中出现了“应用”大题，内容涉及“养鱼补贴”、“人口增长”、“土地减少速度”，乃至“分期付款”等。总之，数学已经悄悄地进入日常生活，正像春雨来到大地，“润物细无声”。被称为“美国经济掌舵人”的前美国联邦储备局主席格林斯潘，在2001年4月6日的一个会议上呼吁加强金融基础教育。他说：“提高小学生和中学生的金融基础教育，将可达成金融扫盲，帮助年轻人避免作出盲目的财务决策。这种盲目决策导致的恶果往往需要多年才能弥补。”“对复利计算的数学公式的基本理解，可以让人认识到长年定期储蓄带来的累积效果。”格林斯潘还说，增强大众的财经知识，可望帮助消费者避免接受一些可能造成灾难性后果的信贷计划，建立储蓄计划，以及为退休或儿童教育做长期投资决策时获得必要的知识。近年来，美国出现一些“滥权放贷”，对金融知识匮乏的消费者发放高利率贷款，致使一些低收入者因此类贷款背负重大债务。（以上内容见美国《世界日报》2001年4月6日报道。）“复利”，就是计算利息时的“利滚利”，俗称“驴打滚”的债务关系。在旧社会，高利贷加上“利滚利”，被认为是超经济剥削、杀人不见血的刀子。于是，不少人以为“驴打滚”是地主老财剥削农民的非法的借贷关系，今天不能使用了。但现今的国际上通行的借贷，多数按复利计算利息：有的以年为单位计算复利，有的以“月”、“日”为单位计算复利，甚至有每时每刻计复利的借贷关系。近几年来，我国的金融市场正在不断发展，从房屋按揭、大件商品分期付款开始，各种各样的借贷关系正在发生。因此，开展金融扫盲，熟悉金融市场中的数学关系，已成为国民素质教育和城乡经济发展的一项重要课题。近十几年来，与数学有关的新闻时常见报。这里我们摘引几段。（1）1998年9月2日《新民晚报》报道：抗洪指挥部运用“有限元素法”计算荆江大堤的强度，证明几天内尚可抵御洪水。因此，在决定荆江大堤命运的时刻，数学起过应有的作用。事实证明，荆江大堤没有炸堤分洪，保住了江汉平原的万顷良田，数学计算是正确的。（2）1998年底，中央电视台、香港凤凰卫视先后播放王选院士的访问记。方正集团作为中国高科技产业的大企业，成为改革开放时代的成功代表。但是，这项告别“铅与火”的印刷业革命，其核心技术是数字信息的压缩：一个汉字包含许多笔画，形状各异，如何使用较少的信息加以刻画。这其实是一个数学问题。（3）1996年8月，英国的格拉斯哥地区法庭审理一桩工业诉讼案。原告是一家剧院，起诉某建筑设计院的设计不好，影响票房收入。而证据是一台电脑。法庭诉讼中，将剧院设计的各种设计参数输入电脑，并用直观的动画模拟剧院内空气流动的情况。结果是剧院业主胜诉。电脑中存储的空气动力学软件其实是一组数学方程式。此举开创了电脑模拟作为法庭证据的先例。（4）美国对冲基金1998年损失了100亿美元，原因是运用的金融数学技术出现了失误，一个小概率事件导致了错误的决策，损失惨重。此外，还有密码编制和破译、CT扫描技术、海湾战争模拟技术、喷气式飞机和航天器的控制技术，等等。这些技术的核心都包含有一些特殊的数学技术。第三节数字电视和数字地球我们先说数字电视的故事。电视是20世纪最重要的发明，它对社会发展的影响怎样估计都不会过高。大家知道，传统的电视原理是基于一种高频模拟电磁信号的调制-解调技术：先用摄像机逐行、逐帧地捕捉画面的光信号并将其转变为电信号（光电效应）；然后把这些电信号连同画面的行、帧同步信号和声音信号，调制成高频电磁波，通过电视塔发射到天空；各地的电视机天线接收到这些电磁信号后，用解调技术把它们还原成电信号，并控制显像管中的电子枪一边移动一边把电信号射向荧屏，从而重现画面。由于画面各点的亮度信息与电磁信号的振荡幅度成正比，所以称这种技术为模拟（调幅）技术。中国以前的标准是每秒传送25幅画面，每个画面上有400条水平线，每条线上有400个点，屏幕宽高比是4∶3。显然，每幅画面分解的行数和点数越多，图像就会越清晰。用通俗的语言来说，“电视屏幕上的点子越细越好。”计算机屏幕上有1150条线，当然就比电视画面要清晰得多。由于光信号转变为电信号的方法多种多样，于是有美国的NTSC制，法国的SECAM制，德国和亚洲的PAL制，互不统一。日本曾是世界电视工业的领头羊。索尼、松下等公司一向领导电视技术的新潮流。早在1972年，几位具有前瞻性的日本人开始探讨这样的问题：未来的电视如何发展？答案是：“用高分辨率提高清晰度。”他们于是设想，未来的电视机应该有更多的帧频（每秒60幅），更高的行数（每帧1125条或1250条），每行有800个点，以及更合理的屏幕宽高比16∶9。但是，他们认为仍然必须采用模拟技术，因为这种技术已经很成熟，改造起来更有把握。他们花了12年的时间来完善方案，希望能够得到国际的公认，而且最好是全世界统一的制式。然后按新制式生产各种电视摄像机、发射机、接收机，从而能让日本掌握未来电视机产业的主动权。但是，数字化电视技术的出现，把日本的“高清晰度”模拟技术方案彻底打垮了。20世纪80年代的美国，几乎没有电视工业，所有的电视设备全由国外进口，特别是从日本。1991年，美国通用仪器公司（GeneralInstrumentCorporation）和麻省理工学院（MassachusettsInstituteofTechnology，MIT）联合提出了电视的全数字化技术方案。几乎在一夜之间，美国所有研究电视技术的计划全部改弦易辙，抛弃陈旧的模拟电视技术，站到“数字化”的大旗之下。日本的模拟电视方案不得不于1993年退出在美国的竞争。1992年，《数字化生存》的作者尼葛洛庞帝向日本首相宫泽喜一说明“模拟高清晰度电视没有前途”，这使宫泽喜一大吃一惊。1994年，日本“邮政声放送行政局”局长讲山晃正提议日本跨入“数字世界”时，遭到日本产业领袖的围攻。日本人在“模拟高清晰度”电视上投入的钱实在太多了，不肯轻言放弃是可以理解的。但是，当美国和欧洲相继放弃模拟技术之后，世界市场的大部分已经在“数字化”方案的控制之下，日本在“高清晰度”电视模拟技术上的近20年努力，终于宣告失败。简单地讲，数字电视就是把电视画面上每点的亮度用一个二进制数来表示，彩色电视画面上的每个点就用三个二进制数（分别代表红、绿、蓝三种色彩的亮度）表示。然后可以使用计算机对这些数字信号进行各种处理。本来，人们早已知道数字电视技术有许多优越性：比如说，电视信号在被数字化后可以很方便地储存、剪辑、复制，实现回放和点播，远距离传送而不失真，等等。而这些都是模拟电视技术很难甚至无法做到的。但是，数字电视有一个当时看来不能解决的困难——数据量太大。如上所说，一个清晰的电视画面上有1150条线，每条线上有近1000个点，每个点要表明亮度和颜色，每秒要传60幅画面，此外还有声音伴送。这样，传送数字电视时，每秒至少要传一亿个字节的数据才行：这怎么可能做到呢？但是，根据仙农创立的信息论，电视画面实际所包含的信息量并没有那么多：因为同一幅画面上的色彩和亮度大部分是呈均匀分布和有规则的，而两幅连续画面之间的差别也很小。于是，可以采用数学方法，把庞大的数字电视信号大大压缩，一般能压缩到只有原来的几十分之一，使之能在通信线路上方便地传输。数字电视之所以能够打破模拟电视的垄断而成为当今电视的主流，其关键就在于有了基于各种数学原理的数据压缩技术。我们再来谈数字地球。1998年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的概念。1998年6月1日，江泽民总书记在谈到科技发展趋势时，提到了“数字地球”对中国的挑战，随之而来的研究课题便是“数字中国”。什么是“数字地球”？就是把与地球有关的各种信息加以数字化，输入计算机，从而可以更方便地分析和认识我们居住的星球。确切一些说，数字地球是对真实地球及其相关现象进行统一的数字化重现和认识，其核心思想是用数字化的手段来整体地描述和处理与地球有关的自然现象问题。目前，“数字地球”工程正在世界各地进行。“数字澳大利亚”在2000年已经基本完成。美国的比尔·盖茨宣布，微软和宝马汽车公司联合开发汽车的导航系统，把汽车卫星导航和移动办公室结合在一起，在汽车上可以直接上因特网。这当然需要“数字地球”的支持。“数字地球”中有一条是1米分辨率。这样，房子、汽车都可以看清楚，无人驾驶汽车的梦想就不远了（现在卫星传送下来并达到商业化应用的图像是10米分辨率）。数字地球把地球装进了计算机，但是要用它解决问题，还需要做一系列的工作。数字化—建立数学模型—系统仿真—虚拟现实，这条工作链中，建立数学模型是一个关键。否则，一大堆原始数据放在那里，不能利用数据，岂不白搭？所以，数据要加以整理。一个人通常记不住7条数据，但能却能记住一张脸，认出一个人，理解一个星系。所以“数字地球”和“数字中国”的实现，必然要用大量的数学。让我们重复一句：“数字化”来了，数学还会远吗？第四节数学英雄：从陈景润到王选20世纪70年代末期，徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》风靡全国，陈景润（1933—1996，图1.4.1）的名字一夜之间传遍大江南北，成为中国科学复兴的英雄。“哥德巴赫猜想”由德国数学家哥德巴赫（C.Goldbach，1690—1764）在1742年提出，他问：“任意一个大于2的偶数是否都可写成两个素数之和？”这是一个著名的数学猜想，几百年来，许多最杰出的数学家为证明它而花费了大量的精力，但进展甚缓。◀图1.4.1陈景润陈景润在1973年发表的论文中，证明了“一个充分大的偶数总可以表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”。这一结果是数学家攻克“哥德巴赫猜想”艰苦战斗中的一个重要突破，至今仍在世界上领先。陈景润所从事的是“堆垒数论”研究，属于纯粹数学。其成就主要反映人类的智力活动，体现在对数学精神的追求，成为不畏艰险攀登科学高峰的榜样。由于它是客观数量规律的反映，说不定哪一天会在实际工作中获得重要的应用（就目前来说，有关哥德巴赫猜想的研究工作还没有发现有实用价值）。因此，我们不应该也不可能用实用价值来衡量陈景润的贡献。然而，由于徐迟《哥德巴赫猜想》的影响十分广泛和深远，以致许多人以为所有数学都是“哥德巴赫猜想”式的“纯粹数学”，数学的价值都只在理论层面，数学离开实际应用都十分遥远。这种错觉在很大程度上左右了我们的数学观。进入90年代，中国的数学成就很多。除了在纯粹数学方面继续取得进展以外，在应用数学上也出现了重大突破。其中一个突出的代表是以王选为总裁的方正集团开发了“汉字激光照排系统印刷技术”。王选（1937—2006，图1.4.2），江苏无锡人。曾就读于上海南洋模范中学，1962年毕业于北京大学数学力学系。他所领导的这项告别“铅与火”的印刷术革命，其原理基于一项数学技术——“数据压缩”。汉字字形信息量太大，数字化的困难是西方文字照排无法相比的。王选说“由于我是数学系毕业，所以很容易想到信息压缩，即用轮廓描述和参数描述相结合的方法描述字形，并于1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法。”到了20世纪80年代，轮廓描述西方文字的做法在国外大为流行，当时已发展为三次曲线轮廓。由于王选的研究起步早，很快吸收了国外的一些经验，发明了高分辨率字形的高倍率信息压缩和复原技术，用于印刷照排系统。以后又设计专用的超大规模集成电路实行复原算法，显著提高了性能价格比。这一技术已经领先于国际先进水平。他所领导研制的华光和方正系统开始在全国的报社和出版社使用。印刷业告别“铅与火”的历史，就此开始。1985年，方正系统列入全国十大科技发明成果；1986年，获日内瓦科技发明奖；1987年，获国家科技一等奖。1992年1月21日，《澳门日报》的彩色版用方正激光照排系统排版印刷，轰动海内外。台湾的印刷业同行在报纸上以“眼见为实”加以报导，原来用电子分色机三四个小时的工作，现在只要20分钟，乃至9分钟就可以完成。这样的技术是一种“挡不住的诱惑”。现在，方正集团及其伙伴的产品占有国内排版系统市场份额的99%，国外华文市场的70%以上。计算机技术是西方发达国家领先的领域，中国科学家要在某一方向上占据一个领先地位，非常不容易。王选的成功，具有很不平常的意义。其中，数学技术是关键的因素之一。▶图1.4.2王选总之，我们既要重视纯粹数学的发展，将核心数学搞上去；同时要将数学和国民经济、高科技发展、现代金融管理等一系列重大实际问题相联系。既要有“哥德巴赫猜想”那样的智力角逐，又要发展“激光照排”那样的数据压缩技术。应当看到，在积贫积弱的旧中国，没有工业基础，先辈们不得不首先从事纯粹数学的研究。经过半个世纪的发展，中国已经有了自己的工业、农业、科技与国防。我们不能把数学局限于纯粹数学，更不可把数学的作用仅仅看成是“思想体操”。数学已经从社会的幕后走向台前，直接为人类创造财富了。第二章数学是人类文明的火车头数学是人类文明的火车头——简述四个数学高峰古希腊为代表的地中海数学文明古希腊数学与古代中国数学的比较黄金时代：从牛顿到高斯信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁国际数学联盟与国际数学家大会考据训诂导致逻辑推断——乾嘉学派对数学的影响20世纪的中国现代数学数学的历史和人类的历史一样长。历史是一面镜子，它可以找到我们的根，看到我们的传统，折射出前进的方向。“春江水暖鸭先知。”重大人类文明的先兆，往往是数学。印度科学家拉奥（A.N.Rao）认为，一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来衡量。历史表明，世界的军事经济强国一定是数学强国。时至今日，美国数学一马当先。冷战时代社会主义阵营的领袖苏联，曾占据世界数学的半壁江山。西欧数学紧随其后，日本数学正在迎头赶上。中国数学，还是一个未知数。但是已经提出了目标：21世纪数学大国。这一章，我们将简述世界数学的历史。第一节数学是人类文明的火车头——简述四个数学高峰古希腊文明以倡导公理化的《几何原本》的理性精神作为人类文明的代表。在17世纪人类科学文明的黄金时代，牛顿创立微积分、发展力学，无疑是那个时代的科学巨人。19世纪末和20世纪初，爱因斯坦是那个时代的高峰，但是他的理论框架依赖数学。第二次世界大战之后，人类社会进入信息时代，其科学代表人物冯·诺依曼，则是一位基于纯粹数学的计算机科学家。这四个人类文明的时代，正是数学发展的四个高峰。因此可以说，数学是人类文明进步的火车头。第一个高峰：古希腊的演绎数学时期数学的起源可以追溯到上古时期，尼罗河文明、两河流域文明、印度文明和华夏文明都作出过杰出的贡献。但是作为科学形态的数学，还是以古希腊的演绎数学为高峰。它的意义也不仅在数学，而是人类“理性思维”的第一个重大胜利。欧几里得的《几何原本》成为影响人类文明进程的里程碑。几何公理化体系的思想，成为所有科学追求的一种境界。《几何原本》是仅次于圣经的印刷数量最多的作品。同样，《九章算术》确立了中国古代数学的算法体系，也是中国古代科学文明的代表作。第二个高峰：牛顿-莱布尼茨的微积分时期文艺复兴时期，虽然回到古希腊文明，欧几里得、阿基米德等大数学家的光辉驱走了中世纪的黑暗。但是，公理化思想推不出微积分。牛顿和莱布尼茨是在古希腊的“穷竭法”“求抛物线弓形面积”等思想的启发下，焕发了新的科学活力。17—18世纪，可以说是一个数学力量所向披靡的时代。尽管“无穷小”思想被贝克莱大主教斥责为“逝去了量的鬼魂”，很不严格。可是实践证明了微积分算法的巨大威力。在力学、光学、工程技术领域获得的成功确立了微积分的划时代的历史地位。以后的欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等大家的贡献，再次推动人类文明进入了一个新阶段。第三个高峰：希尔伯特为代表的形式主义公理化时期大约在19世纪中叶，非欧几何的出现、抽象群论的诞生，特别是微积分的严格化过程，使数学进入一个新的时期。理性思维、严密证明成为数学时尚。德国格丁根学派的代表人物希尔伯特（DavidHilbert，1862—1943），在1898年发表《几何基础》，把欧几里得的《几何原本》完全地严密化。此后便一发不可收，形式主义和逻辑主义的思潮占据了数学领域的主导地位。抽象和严密成为新的时尚。希尔伯特希望把数学建立在一个“相容的、独立的、完全的”公理体系之上，一劳永逸地树立数学的真理性。这一努力最后失败了，但也创立了一门叫做“数学基础”的学科。另一方面，数学大量地用于各个科学领域，例如影响人类文明进程的电磁学，其基本架构乃是一组微分方程。作为这一时期物理学思想革命的相对论，则建立在黎曼几何的框架上。第四个高峰：以计算机技术为标志的新数学时期自1946年第一台电子计算机（ENIAC）问世以来，以冯·诺依曼为代表的一批数学家参与计算机的研制，又一次为人类文明的进步做出最基础的贡献。与此同时，数学本身也受到计算机技术的推动，进入了崭新的时期。1948年，维纳的控制论、仙农的信息论相继问世，开创了新的局面。此后，数学大举“入侵”各个学科领域，包括社会科学领域。诺贝尔科学奖中有许多是数学工作，如线性规划工作获经济学奖，源于拉东变换原理的CT扫描获医学奖等。计算机的出现，使许多数学理论能成为实时控制的技术，数字模拟替代了昂贵的科学实验，运筹帷幄的数学进入企业管理。数字地球和信息高速公路把信息数据压缩的数学技术推到科学竞争的前台。说到底，一切高新技术的背后往往都有数学技术在支持。数学技术已成为知识经济时代的一个重要特征。四个数学高峰，催生或代表了人类的文明进步。第二节古希腊为代表的地中海数学文明地中海沿岸是人类文明的发源地之一。最早的数学记录可溯源于公元前两千多年的苏美尔文化。19世纪的考古发现，揭示了人类最早的数学文明出现在古巴比伦，今伊拉克、土耳其一带。实物证据是带有楔形文字的泥板，其中有300块有关数学。破译古巴比伦文字以后，知道那时已能解一元二次方程，泥板上有21/2的近似值。令人惊奇的是普林顿322号泥板上有15行数字（图2.2.1），用现代的阿拉伯数字写下其中的四行数字是1191694601664912709185416597◀图2.2.1古巴比伦泥板普林顿322号经过德国数学史家破译之后发现，以上各组数字如果分别补上120，4800，13500，72之后，每三个数恰好是某直角三角形的三条边之长，即这几组数都是勾股数：1192+1202=169246012+48002=66492127092+135002=185412652+722=972这显示古巴比伦有非常发达的数学文明。埃及在地中海的南岸。她的数学文明可以从写在莎草纸上的文字为证。它们分别收藏于伦敦大英博物馆和莫斯科。这些纸草书的年代在公元前1850—前1600，大约相当于我国的“夏”代。纸草书的内容涉及一元一次方程的解法，有等差和等比数列的简单知识。公元前8世纪，北方来的人控制了地中海沿岸，进入了辉煌的古希腊文明时期。古希腊的版图，以现今的希腊雅典城为中心，包含今天的意大利南部、土耳其的一部分以及埃及的亚历山大城等广袤地区。约公元前700年，泰勒斯倡导数学证明，开创论证几何。比如“对顶角相等”，需要从等量减等量、余量相等的公理推出，他还发现直径上的圆周角是直角，相似形各对应线段成比例等数学知识，并能用数学方法求金字塔的高度。活跃于公元前500年的毕达哥拉斯学派是一个神秘的团体，他们研究几何学和数论。据说毕达哥拉斯（Pythagoras，约前570—前495，图2.2.2）证明了直角三角形的直角边平方之和等于斜边的平方，不过并没有文字记载流传至今。他们只承认整数及整数的比——分数。但是，正是这个学派的门人发现了正五边形的对角线和边长不可公度，这等于发现了无理数的存在。毕达哥拉斯不能容忍这样的数，竟把发现无理数的弟子抛进大海。古希腊大哲学家柏拉图（Plato，前427—前347，图2.2.3）在古希腊首都雅典的近郊，开设了一个讲学和研究知识的场所，取名为Academy。它断续存在了900余年，直到公元529年才被拜占庭皇帝下令彻底关闭；而它对科学的深远影响延续至今。如今，每个大国都设立Academy，也就是科学院。每位科学家以当选科学院院士为最高的学术荣誉。在柏拉图学院的大门上，刻着这样一句话：“不懂几何者免入”（LetNoOneIgnorantofGeometryEnterHere）。在古希腊，“几何”与“数学”同义。所以，这句话凸显出数学在古希腊知识领域中的崇高地位。约公元前400年，欧多克斯用非常精细的“穷竭法”，克服了不可公度量的困难，将线段之比为有理数的结论推广到无理数情形。这是一个很大的飞跃。古希腊数学的第二期创造集中在亚历山大城（即今天埃及的亚历山大城），代表人物是欧几里得和阿基米德等。欧几里得（Euclid，前330—前275年，图2.2.4）著《几何原本》13卷，含465个命题，用逻辑演绎的方法，展现了公理化的几何体系，成为人类理性思维的典范作品。◀图2.2.2毕达哥拉斯▲图2.2.3柏拉图▲图2.2.4欧几里得阿基米德（Archimedes，约前287—前212，图2.2.5）是古希腊数学的重要代表，甚至被称为人类有史以来三位最伟大的数学家之一（另两位是牛顿和高斯）。他出生在古希腊西西里岛东南端的叙拉古城。当时，古希腊早期的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；另一方面，意大利半岛上新兴的罗马帝国，正在不断地扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起。阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，叙拉古城则成为许多势力的角力场所。阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以他从小受家庭影响，十分喜爱数学。大概在九岁时，父亲送他到亚历山大城念书，亚历山大城是当时西方世界的知识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括几何学大师欧几里得。▲图2.2.5阿基米德阿基米德发现了一些重要的物理学原理，如杠杆原理和浮体定律；还发明了许多神奇的机械装置，叙拉古人利用其中一些装置曾多次击退罗马军队的进攻。然而，他更着迷于纯数学的研究，并做出一系列开创性的贡献：包括用“穷竭法”算出球面积、球体积、抛物线和椭圆面积，这些工作发展成近代的“微积分”；他还研究了螺旋形曲线的性质，这种曲线后来被称为“阿基米德螺线”。另外他在《数沙术》一书中，创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。第三节古希腊数学与古代中国数学的比较中国是世界文明古国，具有唯一延续至今没有中断的历史文明。就数学文明而言，中国古代数学的发展较古巴比伦和古埃及要晚许多。中国的夏朝与古埃及的年代相当。但是目前还没有发现夏朝文字，因而谈不上数学记载。到了公元前14世纪至前11世纪的商代，出现了甲骨文，其中已刻有数字。甲骨文的记数方法是十进制，这是一个了不得的成就。在古巴比伦，都是60进位，写数字十分麻烦，古希腊的记数方法也非常复杂。如果说中国古代数学以计算和算法见长，那么十进位记数法是重要的特点。现在世界上通用的印度—阿拉伯记数法就是十进制。古希腊数学是奴隶主思想家为追求精神满足、探讨真理、相互辩论的结果。有一幅画上，奴隶主一边在做数学研究，一边把双脚浸在脚盆里，由奴隶伺候洗脚。奴隶主之间进行学术争论，为了说服对方，便使用逻辑演绎的方法，从显然成立的公理出发，一步步推理，直至到达终于使对方相信的某个学术成果。这种求真求实，打破砂锅问到底的理性思维，体现在数学上便是欧几里得《几何原本》中的公理化体系，以及严密而有说服力的证明方法。中国的数学发展和古希腊走着不同的方向。春秋战国时代和古希腊的黄金时代大体相当。例如柏拉图（前427—前347），墨子（约前468—前376）；欧几里得（前330—前275），孔子（前551—前479），庄子（前369—前286）。这样的时代，在学术上可谓“百花齐放，百家争鸣”，因而能产生出辉煌的精神文明。诸子百家各陈其说，一些重要的数学思想相继问世。如墨子有形式逻辑原则和一些数学概念的陈述，庄子有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，公孙龙提出“白马非马”的议论，等等，都是深刻的数学观念。不过，这些论述多半停留在哲学层面上，并未形成系统的理论。特别是，春秋战国时期的思想家，其主要目标是缔造社会秩序，为“王者统治臣民”服务，对于纯粹的理性思维方式，并不特别看重。另一方面，当时的诸子百家都把“经纶天下，治国济民”作为最高理想，数学也沿着“经世致用”的路子走向实用，成为官方管理国家的一种工具。中国考古发现中，以1984年在湖北张家山出土的《算数书》竹简为最早的实物证据，初步定为公元前2世纪初的作品，其内容和后来三国时代数学家刘徽注释的《九章算术》（263年）很相似。《九章算术》（图2.3.1）采用问题集的形式，全书共有246个问题，分为以下九章：◀图2.3.1《九章算术》书影1.方田：土地丈量中的面积计算。2.粟米：物品交换中的兑换比例。3.衰分：计工、税收中按等级、比例分配。4.少广：面积体积中开方、开立方。5.商功：筑城、开渠等的土方计算。6.均输：按人口、路途的实物摊派与运输。7.盈不足：关于依某法“盈”依另法“不足”的数学模型。8.方程：线性方程组问题。9.勾股：利用勾股定理解决测量计算问题。中国古代算学的“实用性”，由此可见。但是，中国古代数学并非没有理论色彩。它和古希腊的演绎数学不同，主要体现为“算法化、数值化”的计算特色。中国古代称“数学”为“算学”。将源于古希腊的英文词Mathematics译成“数学”，是在20世纪由日本传入，到1939年才在中国完全统一使用。因此，说中国的数学传统是“计算”，大概是不会错的。中国古代计算用算筹，按十进的位置记数法放置，黑色为正数，红色为负数。然后按一定的规则演算（开方等），即将算筹依法则进行移动，最后得出精确度很高的结果来（方程求解）。读者用现代数学的眼光看，这里有十进制的记数，有正负数，有乘方和开方，有联立方程求解，高次方程求根。一个突出的成果记载在《隋书》中：祖冲之（429—500）求出圆周率π的近似值为3.1415926＜π＜3.1415927在世界上独步千年。由此可见中国“算学”的伟大与成功。我国著名数学家吴文俊院士，于20世纪70年代首先提出中国数学传统是“算法化”“数值化”“离散化”的观点，并认为在当今的计算机时代，数学的“算法化”是发展趋势，由此创造性地提出了数学定理机械化证明的理论，在许多领域获得了成功。他也因此获得2000年首次颁发的国家最高科学技术奖。古代数学史的成就，不能单纯以发现的迟早论英雄。主要看数学成就所蕴涵的特殊思想，考察它能对人类文明做出何等的贡献。要说如何用数学史内容进行爱国主义教育，吴文俊先生的工作是一个典范。尽管中国古代数学具有灿烂的历史，古希腊的数学所具有的更加深邃的理性精神仍然震撼了近代中国数学界。其中《几何原本》（图2.3.2）对中国的影响尤其重大，以至许多人将《几何原本》译成中文作为中国近代数学的开端。我国明末时期的杰出学者徐光启（1562—1633）与意大利籍传教士利玛窦（MatteoRicci，1552—1610）合作，首次把《原本》的前六卷翻译成中文，并使用了中文书名《几何原本》（图2.3.3）。从此，“几何”成为数学中一门历史悠久的主要学科的中文名称。徐光启盛赞此书“能令学理者祛其浮气练其精心，学事者资其定法发其巧思，故举世无一人不当学。”“能精此书者无一事不可精，好学此书者无一事不可学。”1徐光启对《几何原本》极其推崇，指出“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”所谓的“欲驳之不可得”，即说明了它的严密的逻辑性。《几何原本》对徐光启的震撼可见一斑。◀图2.3.2《几何原本》古版书影◀图2.3.3《几何原本》中译本书影再过250年，清末最杰出的数学家李善兰（1811—1882）与英国籍传教士伟烈亚力（AlexanderWylie，1815—1887）合作，翻译了《几何原本》的后九卷（末两卷是后人校对增补的内容），使中国学者终能看到该书全貌。《几何原本》从5条公设和5条公理出发，运用逻辑推理证明了465个命题，从而演绎出整个古典几何学体系。时至今日，不仅中学生仍然在课堂上学习欧几里得几何学，而且数学家也依旧在沿用《几何原本》所开创的公理化加逻辑推理的方法建造高度抽象、极其复杂的现代数学大厦。以下是书中第一卷开头部分的内容。1见徐光启和利玛窦译《几何原本》中徐光启序。第一卷定义1.点只有位置没有尺寸。2.线只有长度没有宽度。3.线之两端是点。4.线如随同其上的点平直延伸，则称之为直线。5.面只有长度和宽度。6.面的边缘是线。7.面如随同其上的直线平直展开，则称之为平面。8.平面角是指一平面上两条不在同一直线上且相交的线互相之间的倾斜度。9.当包含角的两条线是直线时，则称该角为直线角。10.当一条直线站在另一条直线上，使得相邻的两个角相等，则这两个角都被称为直角，并称前一条直线垂直于后一条直线。11.钝角就是大于直角的角。12.锐角就是小于直角的角。13.边界是任意一物的边缘。14.图形是被一个或几个边界所围起的。15.圆是由一条线所围起的平面图形，使得两端落在该线上并经过图形内一点的所有直线都相等。16.上述图形内的那一点被称为圆心。17.圆的直径是指任意一条通过圆心且两端沿相反方向落在圆周上的直线，这条直线也平分了圆。18.半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形，而且半圆的心就是圆心。19.直线形是由直线围成的图形，三边形由三条直线围成，四边形由四条直线围成，多边形由四条以上的直线围成。20.在三边形中，等边三角形是指其三条边相等，等腰三角形是指其有两条边相等，不等边三角形是指其三条边都不相等。21.在三边形中，直角三角形是指其有一个直角，钝角三角形是指其有一个钝角，锐角三角形是指其有三个锐角。22.在四边形中，正方形是指其等边且四角都为直角，长方形是指其四角为直角但不是等边，菱形是指其等边但没有直角，平行四边形是指其对边和对角都分别相等但不是等边且不是直角，其余的四边形叫做不规则四边形。23.平行线是指一平面上的两条直线，它们朝两个方向无限延伸而永不相交。公设1.从任意一点到任意另外一点可作一条直线。2.可从一条直线上连续地取出有限长直线（段）。3.可以用任意圆心和半径作圆。4.所有的直角都相等。5.若一条直线与另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。公理1.与同一个事物相等的事物彼此相等。2.等量加等量，其和仍相等。3.等量减等量，其差仍相等。4.彼此重合的事物彼此相等。5.整体大于部分。现在我们来看“对顶角相等”的证明给我们带来的震撼。定理如图2.3.4，两条直线相交，那么角A等于角B。这太简单了！一眼就看出来了！这还要证明吗？那不是自找麻烦吗？然而，在《几何原本》中，“对顶角相等”是命题15。证明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根据公理3（“等量减等量，其差仍相等”），所以A=B。据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，彼此间的不同意见需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术不仅要解决真理“是什么（what）”的问题，还要回答“为什么（why）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？▲图2.3.4对顶角相等重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。第四节黄金时代：从牛顿到高斯欧洲中世纪的漫漫长夜逐渐过去，历史的车轮滚滚向前。数学的巨人不断出现，形成了连绵的科学高峰。当中国的明清两代皇帝坐稳江山的时候，科学落后的祸根已经埋下。抚今追昔，“科学是第一生产力”的论断，似乎更加清晰了。牛顿（IsaacNewton，1642—1727，图2.4.1）的生平，我们将在后面提到。这里先介绍牛顿所面临的数学问题。◀图2.4.1牛顿借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（ReneDescartes，1596—1650）于1637年提出的坐标几何的概念，曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道，二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。见图2.4.2，通过观察我们发现，研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点（x=0处），切线平行于x轴，斜率为零；在顶点的左边，函数值随x的增加而减少，与此相应的切线的斜率一直是负的；而在曲线顶点的右边，函数值随x的增大而增大，这时的切线斜率是正的。这样一来，如果能够把函数图像的切线斜率计算出来，函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法，导致了微积分的产生。这是石破天惊的科学事件。牛顿概括前人的成果，完成了微积分学的创立，并且把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具。世界上的物体运动状态的改变，无非是力的作用：重力、热力、电力、原子核力等。这样，大到天体运行，小到电子旋转，微积分成为刻画运动的基本工具。数学对于人类的价值，由此可以想见。和牛顿同时研究微积分的还有德国的莱布尼茨（GottfriedWihelmLeibnitz，1646—1716）。他的微积分研究从几何出发，与牛顿殊途同归。从现有文献来看，牛顿在微积分的研究上比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨发表微积分论文的年代却比牛顿要早些。位于英伦海岛上的英国人和位于欧洲大陆的德国人曾为微积分的发明优先权争得不可开交，英国人甚至不愿和欧洲大陆的数学家来往，结果是英国人在牛顿之后缺乏大数学家。实际上，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明人，都对人类做出过巨大的贡献。谁早谁迟不必过分计较，而意气用事更不足取。英国人为争微积分发明权作茧自缚，吃亏的是自己。▲图2.4.2抛物线切线的变化18世纪的数学家在牛顿和莱布尼茨的基础上创造了许多辉煌的数学成就。其中欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）是最多产的数学家，他先后在瑞士和俄国工作，著作累累，不及备述。1789年，法国发生大革命，工业发展，科学昌盛，世界数学中心也转至法国。法国巴黎高等师范学校、巴黎高等工业学校等，产生了大批的杰出数学家，如拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736—1813）、勒让德（Adrien-MarieLegendre，1752—1833）、拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace，1749—1827）、柯西（Augustin-LouisCauchy，1789—1857）、傅里叶（JosephFourier，1768—1830）、蒙日（GaspardMonge，1746—1818）等，都是顶尖的数学大师。到了19世纪，德国的资产阶级兴起，在数学上的代表人物则是高斯。高斯（CarlFriedrichGauss，1777—1855，图2.4.3）是全能数学家，数论、分析、几何、代数、概率等领域，都有他的足迹。一个家喻户晓的故事，说从1加到100是多少？少年高斯看出那是50个101，结果是5050。这个故事对于说明数学的魅力，很有价值。高斯的另一个著名工作是首先证明，任何一个n次代数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面……以高斯命名的数学名词数不胜数。最值得提起的是高斯发现非欧几何。19世纪30年代，俄国的罗巴切夫斯基（NikolasIvanovichLobachevsky，1792—1856）和匈牙利的波里埃（JánosBolyai，1802—1860）都先后发现了“过平面上一点有多于一条直线与一给定直线平行”的几何。他们通过各种方式宣布或写成论文发表。其实，高斯早已发现这种几何，只是害怕众人不能接受，不敢公布。就这点而言，高斯太胆小了。◀图2.4.3高斯在高斯之后有黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826—1866）、克莱因（FelixKlein，1849—1925）、希尔伯特（DavidHilbert，1862—1943）等人，使德国在20世纪初成为世界数学中心。第五节信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁一部近代世界史表明：世界经济军事大国一定也是数学文明的发源地。17世纪的英国爆发资产阶级革命，牛顿的微积分诞生在英伦三岛。18世纪法国大革命催生拿破仑帝国，法国数学学派称雄欧洲。19世纪中叶，德国资产阶级崛起，数学王子高斯带来德国数学的辉煌。到了20世纪的开头，国际数学界形成法国与德国数学争雄的格局。那时的美国尚未称霸世界，数学也处于二流水平。到了20世纪的中叶以后，则是美国数学与苏联数学对决的年代了。清代学者赵翼有诗云：“江山代有才人出，各领风骚数百年。”在数学界，能领先数百年是不可能的，能当几十年的霸主就很不容易了。1900年，第二届国际数学家大会在巴黎召开。法国的庞加莱任大会主席，德国的希尔伯特作大会报告。这反映了法、德两国在国际数学的领导地位依然平分秋色。庞加莱（HenriPoincaré，1854—1912，图2.5.1）是一位牛顿式数学家，关注天文学、物理学等自然科学中的数学问题，开创了定性理论、拓扑学等许多影响深远的新学科。庞加莱于1912年去世。法国数学渐渐走下坡路。不久前披露的档案表明，鉴于庞加莱的数学工作大气磅礴，在证明的严密性上有时不甚讲究，法国同行（包括他的导师皮卡）颇有非议。结果是权威的领导决定不让庞加莱教数学课，只能教天文学和物理学。20世纪20年代的法国数学，逐渐远离庞加莱的数学路线，研究领域缩小到纯粹数学中狭小的一块，简直成了“函数论王国”。于是一批年轻的数学家开始向德国格丁根学派学习，继承发扬希尔伯特的数学传统，努力走出函数论王国的圈子。这就是著名的布尔巴基（Bourbaki）学派。20世纪法国数学的这一亮点，使得德国希尔伯特形式主义成为一时的时尚。布尔巴基学派的结构主义的数学，曾经在20世纪50年代前后领导世界数学潮流，风靡一时。希尔伯特（图2.5.2）是一位全才的数学大师，曾有证据显示他和爱因斯坦各自独立地提出了广义相对论。不过，希尔伯特更以纯粹数学的创见、提倡形式主义的数学哲学而著称，可以说更具欧几里得那样的古希腊数学的特色。▲图2.5.1庞加莱▲图2.5.2希尔伯特希尔伯特赢得了很高的声誉。他在国际数学家大会上提出了20世纪将要解决的23个问题，引无数英雄竞折腰。能够解决其中一个问题都是极高的荣誉（著名的哥德巴赫猜想是第8问题的一部分）。希尔伯特引导的现代公理化数学思潮，成为人类数学文明的又一个高峰。20世纪的前30年，世界数学中心在德国的格丁根大学。那里曾是高斯、黎曼等大数学家工作的地方，以后则是希尔伯特为首的格丁根数学学派大本营。爱因斯坦发表相对论时，这里的闵可夫斯基就发展四维的时空几何。量子力学刚刚形成，外尔的《量子力学的数学基础》立即在格丁根问世。当过希尔伯特助教的冯·诺依曼，则建立起希尔伯特空间上的算子谱论，成为量子力学的数学框架。近代史上伟大的女数学家诺特在这里发表影响深远的“一般理想论”，开创抽象代数的先河。那时的欧洲，还从未有过女性的教授。希尔伯特为此忿忿不平：“大学评议会不是浴室，为什么不准妇女进入？”1933年的那个黑色的春天，立即把格丁根的辉煌葬送了。希特勒上台迫害犹太人，驱逐犹太籍的科学家。爱因斯坦是犹太人，冯·诺依曼、诺特都是犹太人，外尔的太太是犹太人，格丁根数学研究所的所长柯朗也是犹太人。他们先后被迫前往美国的普林斯顿和纽约，美国也因此成为新的世界数学中心。在20世纪初，像爱迪生那样的美国发明家领导着先进技术的世界潮流，经济实力已经达到世界前列。但是基础科学的水平还远落在欧洲后面。美国学生到欧洲学习数学，是普遍的现象。1930年，一位零售业富商，想捐款建造一所医学院，造福社会。当时的科学名流富莱斯纳告诉他，这些钱造一所医学院是不够的，而且纽约附近的医学院已经足够多。如果设立一个以数学为主的研究院，投资较少，而且美国正需要这样的基础性研究。这样，普林斯顿高等研究院便开始筹备。富莱斯纳到欧洲，请来爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼三位顶尖的数理科学家，加上美国本土的三位数学家，强大的阵容一下子就把普林斯顿的学术声誉推到云端。诺特在普林斯顿附近的一所女子学院任教，柯朗则在纽约大学工作。大批的数学家难民从欧洲来到美国，造就了美国的数学辉煌。冯·诺依曼（图2.5.3）来到普林斯顿高等研究院时只有26岁。他不仅在纯粹数学和应用数学上独树一帜，更伟大的创造是用数理逻辑方法设计数字电子计算机的方案。这一使用至今的科学精品，不仅是数学的骄傲，更是人类文明的里程碑。美国本土出生的数学家也有杰出的成就，尤其是应用数学方面。例如，首创控制论的维纳，提出信息论的仙农，都是划时代的数学英雄。差不多也在20世纪30年代，另一个世界数学中心出现在莫斯科。大数学家欧拉曾在俄国工作多年，数学的积淀很深。1917年十月革命胜利之后，国家经济一度十分困难。人们都在期待“面包会有的，牛奶也会有的”。可是，苏联的科学政策保证了科学研究的优先发展，数学家们可以经常出国访问，特别是到德国的格丁根大学。例如苏联的天才数学家▲图2.5.3冯·诺依曼和他设计的计算机乌雷松访问德国和法国之后，因在海边游泳时溺水去世，时年仅26岁。苏联的莫斯科大学有鲁金为首的数学学派，起先以函数论为主，以后全面出击，泛函分析、变分学、概率论、集合论、偏微分方程等学科，都有一流成果展现。鲁金是沙俄时代留下来的数学家，在历次政治运动中倒也平安。据说斯大林曾经出面“保”过鲁金。鲁金招收了许多具有数学天才的年轻学者。其中尤以P·亚历山大罗夫和A·H·科尔莫戈罗夫（图2.5.4）两人最为杰出，前者是世界拓扑学先驱，后者是20世纪少有的全能数学家。第二次世界大战期间，科尔莫戈罗夫建立火炮自动跟踪技术，和维纳同时创立控制论。到了20世纪50年代，苏联数学可以和美国数学全面抗衡。冷战时代苏美在军事上争霸，在数学上也处于彼此争雄的年代。不过，两国的数学家之间还是相当友好（难免有些小的摩擦），大家都统一在国际数学家联盟的数学大家庭中间。自从电子计算机问世以来，数学更趋向于应用。一张纸、一支笔、一个脑袋的研究方法，已经由于计算机的介入而被打破。美国和苏联在军备竞赛中投入了大量的人力物力，也作了大量的数学投资，这就刺激和带动了数学科学的进步。美国和苏联的数学技术也长期在世界上继续领先。▶图2.5.4科尔莫戈罗夫1991年苏联解体和东欧政治变化之后，莫斯科数学中心的地位大为下降。一些优秀的苏联、东欧数学家相继到西方工作。最突出的例子是苏联数学大师盖尔范德（IzrailMoiseevichGelfand，1913—2009），曾以80岁高龄接受了美国罗格斯大学之聘。还有当代几何大家格罗莫夫（MikhailLeonidovichGromov，1943—）先后到美国、法国执教，并加入了法国籍。苏美数学争雄结束之后，美国数学一枝独秀。但是数学中心也呈现多元化趋势。俄罗斯数学的威势仍存，莫斯科和圣彼得堡都有十分优秀的数学家在工作。圣彼得堡走出了佩雷尔曼，一举解决“庞加莱猜想”，却拒绝接受菲尔兹奖章和克莱数学研究所的千年奖，堪称一代风范。以阿蒂亚为首的英国的牛顿数学研究所，法国的庞加莱数学研究所，德国的马克斯-普朗克数学研究所，日本京都大学的数学研究所，都是一定范围的数学研究中心。即使在美国，除了普林斯顿高等研究院之外，还有加州伯克利的美国数学科学研究所、明尼苏达的美国应用数学研究所，纽约大学的柯朗数学研究所也负盛名。目前国际数学大势是：美国继续领先，西欧紧随其后，俄罗斯蓄势待发，日本正在迎头赶上。至于中国数学，目前还是未知数。一旦潜在的力量释放出来，北京也许是又一个国际数学中心。近50年来，数学发展呈现出许多特点。随着计算机技术的成熟和发展，数学从社会进步的幕后走到台前，进入数学的又一个黄金时期。计算机的硬软件设计基于数学，又推动数学。当数学模型能够实时控制生产和管理流程时，数学成为能够直接产生经济效益的“数学技术”。宏观地如数学控制论于航天技术，微观地如拓扑学扭结理论于基因的双螺旋结构；造福人类健康的CT扫描技术基于“拉东变换理论”，随机微分方程用于金融股票价格的确定；数论公式用于保证网络通信和电子商务的安全。时至今日，数据处理已经进入千家万户，成为人们日常生活中理财、决策时不可缺少的一部分。难怪“红楼梦的作者是谁？”，也可以去问问数学家了。数学和计算机技术联姻，并未放慢纯粹数学前进的脚步。费马猜想和庞加莱猜想的解决，是世纪之交数学科学的华彩乐章。数学研究从线性问题跨到非线性问题，从交换情形发展到非交换情形。从低维空间问题推广到高维空间，却以4维空间为最大难点。当随机数学以确定性数学为工具进行研究的时候，复变函数中的皮卡定理用随机数学方法加以证明。新鲜事物穷出不穷，引无数数学英雄竞折腰。当20世纪的大数学家希尔伯特、外尔、冯·诺依曼、科尔莫戈罗夫等先后逝世之后，能够通晓当代全部数学的数学家已经远去。一些哲学家和数学史家喜欢描述数学的三次危机。由集合论在的罗素悖论触发的第三次数学危机至今并未完全度过。然而，所谓的数学“危机”，不过是故作惊人之语。数学文明正在一日千里地发展，依然绚丽多彩，无比灿烂。第六节国际数学联盟与国际数学家大会2002年8月20日，国际数学家大会在北京开幕（图2.6.1）。这一数学家的盛会，第一次在一个发展中国家举行，又是21世纪的第一次国际数学家大会，人们期待着国际数学合作将由此揭开新篇章。现在的国际数学家大会（ICM）每四年举行一次，由国际数学联盟负责组织。尽管数学有许多分支，各分支间又“隔行如隔山”，但是数学很幸运仍旧是统一的。数学能够超越国界、超越民族、超越歧见，在追求数学真理的崇高目标下，使全球的几千名数学家聚集在同一个大厅内，当属国际合作的典范，人类精神文明的胜利。◀图2.6.12002北京国际数学家大会会徽国际数学家大会已经有100年以上的历史了。19世纪末年，每年产生的数学文献在2400种以上，一个人、甚至一个国家都无法了解数学整体的最新进展，国际交流日显其重要性。1897年，欧洲的数学家在瑞士的苏黎世举行第一次国际数学家大会，有16个国家的208名数学家参加，全部来自欧洲各国。奉行孤立主义的英国只来了3人，俄罗斯倒有12位数学家与会。这届大会的功绩在于：确立国际数学家大会是一个常设机构，准备定期举行下去。因此是一个良好的开端。1900年在巴黎举行第二届国际数学家大会。庞加莱担任大会主席，希尔伯特作大会报告。希尔伯特是格丁根大学教授，大会举行那年刚38岁，已和庞加莱并列为当时在世的最伟大的数学家。大会的成果深刻地影响了20世纪数学的进程。巴黎大会在数学史上因希尔伯特的演讲而永远享有特殊的荣誉。希