2022-2023学年辽宁省沈阳市高一下学期期中数学试题（有答案）

2022-2023学年辽宁省沈阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据诱导公式，判断点的横，纵坐标的正负，即可判断选项.【详解】，，，所以点位于第三象限.故选：C2．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果.【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为，由题意可知，扇形面积，弧长，解得，即扇形中心角的弧度数为1.故选：D3．已知，，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用和角的余弦公式进行求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故A，C，D错误.故选：B.4．已知向量，，，若，则实数（

）A． B．6 C． D．5【答案】D【分析】利用向量的坐标运算及向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，，所以.因为，所以，即，解得.故选：D.5．“阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，且，，则的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.【详解】因为阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，且，，所以，，由，得是函数的一条对称轴方程，则，即，当时，由，解得，故其单调增区间是，则减区间是，所以的单调区间是.当时，由，解得，故其单调增区间是，则减区间是，所以的单调区间是.综上，的单调区间是.故选：A.6．已知A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出圆心和AB中点，结合圆的性质，利用向量的运算及数量积的运算即可.【详解】设圆心为O，AB的中点为D，如图：

因为A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且，所以，且|PD|的最小值为2-1=1，又，，所以，故选：C7．若是互不相等的锐角，则四个数值中，大于的个数最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式得，从而可判断四个数值不可能均大于，再结合特例可得四个数值中大于的个数的最大值．【详解】因为是锐角，所以均为正数，由基本不等式有，，，，将上面各式相加得，因为是互不相等的锐角，故，故不可能均大于．取，，则，，故四个数值中大于的个数的最大值为3，故选：C．8．若在上恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的性质，对不等式进行变形、分离参数，再借助不等式的性质根据选项进行排除.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，，所以等价于，因为，所以，所以，若在上恒成立，则，故C错误；当时，，所以，所以，故A错误；因为，，所以当时，，当，，所以，故D错误；故选：B.二、多选题9．已知平面向量，，均为非零向量，则下列说法不正确的是（

）。A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】利用平面向量平行、垂直的定义，向量的加法运算以及向量数量积的运算律进行判断，通过举反例进行排除.【详解】对于A，因为平面向量，，均为非零向量，所以若，，根据共线向量的定义，则，故A正确；对于B，已知平面向量，，均为非零向量，若，，则，故B正确；对于C，向量的数量积运算不满足消去律，如图，，但与不相等，故C错误；

对于D，如图，在圆O中，，，则，但，故D错误.

故选：CD.10．已知函数，则（

）A．的最小值为－2B．的单调增区间为，C．的对称中心为，D．若为偶函数，则最小值是【答案】BD【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和辅助角公式，利用三角函数的性质及诱导公式即可求解.【详解】，可得的最小值为，故A错误；由，得，所以的单调增区间为，，故B正确；由，得，所以的对称中心为，，故C错误；若为偶函数，即是偶函数，所以，解得，可得最小值是，故D正确.故选：BD.11．若，则α可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，对于A，因为为第四象限角，所以，故A正确；对于B，因为为第二象限角，所以，故B错误；对于C，因为为第三象限角，所以，故C正确；对于D，因为为第四象限角，所以，故D正确.故选：ACD.12．下列各式运算结果为有理数的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A，由诱导公式及二倍角余弦公式化简求值；对于B，弦切互化，用两角和正弦公式及二倍角公式、诱导公式化简求值；对于C，由三角恒等变换公式化简求值；对于D，弦切互化，用两角和正弦公式及二倍角公式、诱导公式化简求值.【详解】，是有理数，故A正确；，是有理数，故B正确；，不是有理数，故C错误；，是有理数，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是.【答案】1【分析】根据正切型函数的对称中心与周期的关系即可求解.【详解】由于的周期为,由于相邻两个对称中心距离是,所以,则,故答案为：114．已知，，且在上的投影的数量为-4，则.【答案】【分析】利用向量投影的计算公式以及向量的模长公式、完全平方公式计算求解.【详解】由题可知，，又，，所以，所以.故答案为：.15．若，则.【答案】/【分析】利用两角和的正切公式求得，根据可得、，利用二倍角的正、余弦公式化简求出、，结合两角和的正弦公式计算即可.【详解】∵，∴，解得或.当时，，所以.当时，，所以.综上，.故答案为：.16．函数的值域是.【答案】【分析】根据函数的周期性，对函数进行分类讨论，结合辅助角公式，对函数的值域展开讨论，则问题得解.【详解】，所以周期为，取，当时，，其中，又，当时，，当时，；当时，，其中，又，当时，，当时，；所以，因为函数的周期为，所以函数的值域为.故答案为：.四、解答题17．设向量，.(1)求与垂直的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）由向量垂直的坐标运算即可列方程求解，（2）根据数量积的正负，去除共线的情况即可求解.【详解】（1）由已知，设与垂直的单位向量为，则，解得或即与垂直的单位向量为或；（2）由已知，，，则，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，，解得，当向量与向量反向共线时，设，则从而或（舍去），所以解得18．已知a，β均为锐角，，(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.【详解】（1），为锐角，且，，则，，，，；（2）由（1）知，，则，又，，，.19．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②根据以上研究结论，回答：(1)在①和②中任选一个进行证明：(2)求值：.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）若选①，由利用两角和的正弦公式及二倍角公式即可证明；若选②，由利用两角和的余弦公式及二倍角公式即可证明；（2）由题，，利用，结合公式②及正弦的二倍角公式得，即，所以，解此方程即可.【详解】（1）若选①，证明如下：.若选②，证明如下：.（2）由题，，因为，则，所以由公式②及正弦的二倍角公式得，又因为，所以，所以，整理得解得或，又，所以.20．在平面直角坐标系xOy中，已知一列点：，，，…，，其中，向量.(1)若，求的最小值；(2)若正整数k，m，n满足，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合辅助角公式,最后应用三角函数值域求最值即可;（2）根据模长的坐标公式表示模长证明即得.【详解】（1），.当时，，则.，,对称轴,单调递增，当时，最小值是－2.（2），，同理，因为，所以，所以，即.21．函数的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.

(1)若方程在上有解，求实数t的取值范围.(2)当时，方程的实根从小到大依次为，，求的数值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图象求出，，再结合特殊点求出，利用平移求出，将化为，结合余弦函数的性质求解；（2）将方程化为，解方程得，或，，分析判断即可求解.【详解】（1）由函数图象可知，，，所以，则，所以，当时，，所以，由得，所以，由，得，由知，则时，，所以，所以；（2）由得，由三角函数线知，，或，.所以，或，，注意到时，，时，，时，，由知，.22．已知函数.(1)当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围.(2)若的图象关于直线对称且，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在实数，使得在上单调，且的取值为1，3.【分析】（1）由单调性可得及正弦函数的单调性即可求解；（2）由对称性与单调性可得为正奇数且，分类讨论即可求解.【详解】（1），∴，由题，，注意到，时