第1章特殊平行四边形 同步自主提升训练 北师大版数学九年级上册（含答案）

北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》同步自主提升训练（附答案）一、单选题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=10，则菱形的边长是（

）

A．5 B．9 C．41 D．403．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4cm，∠AOD=120°，则BC

A．2cm B．23cm C．434．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE=53°，则∠CEF的度数为（

）

A．13° B．14° C．15° D．16°5．如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（

）

A．S△ABC=SC．S矩形NFGD=6．如图，在矩形ABCD中，E为BC边延长线上一点，连接AC，DE．若∠ACB=40°，BE=AC，则∠CED的度数为（

A．40° B．50° C．60° D．70°7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在CD上，CM=3，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（

）

A．2 B．3 C．4 D．58．如图，正方形ABCD的边AD上取一点E，以CE为边作正方形CEFG，当点A、B、G三点共线时，若AG=4，AE=3，则△AEF面积等于（

A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.5二、填空题9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=5，OH=2，则菱形ABCD的面积为．10．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．若AE=32时，则CF=

11．如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB=4，DF=5，则AE的长为

12．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，AD上的点，∠FEC=∠FCE=45°．若AD=6，△EFC的面积为10，则线段BE的长

13．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE=DC，连接AE，若∠CDE=40°，则∠AEC的度数为．

14．如图，矩形ABCD中，点O、M分别是AC、AD的中点，OM=3，OB=5，则BC的长为．

15．如图，正方形ABCD边长为4，E是BC的中点，正方形BEGF的顶点F在AB上，H是DG的中点，则△CHF的面积是．

16．已知矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，P点是线段CB延长线上的动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为．

三、解答题17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，求线段

18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，求OE的长．

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交

(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)若OA=4，OB=3，求CE的长．20．如图，在正方形ABCD中，动点M在CD上，过点M作MN⊥CD，过点C作CN⊥AC，点E是AN的中点，连接BE交AC于点F．

(1)求证：BE⊥AC；(2)请探究线段BE、AD、CN长度之间的等量关系，并证明你的结论；(3)设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的图形面积为________（直接写出答案）．21．在矩形ABCD中，点F，H是AD边上的点，点E是BC边上的点，且AF=CE=DH，AB=BE．连接HE，BF，CH，连接CF交EH于点P．

(1)如图1，求证：①BF=CH；②EC=EP(2)如图2，连接BH交CF于点Q，连接EQ．探究EQ，CH的数量关系并证明．22．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．(1)思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据______，易证△AFE≌______，得EF=BE+DF(2)类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、参考答案1．解：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=12AC=4，OB=在Rt△AOB中，AB=故选：C．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，∴△AOD是等腰三角形，又∠AOD=120°，∴∠OAD=∠ODA=1∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=4∴AC=2AB，则AB=AC∴BC=3故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，AB∥CD，∵BD是角平分线，∴∠ABE=∠CBE=45°，∵∠BAE=53°，∴∠AFD=53°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE=45°∴△ABE≌△CBESAS∴∠BAE=∠BCE=53°，∴∠ECF=90°−53°=37°，∵∠AFD=∠ECF+∠CEF，∴∠CEF=53°−37°=16°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，AC是对角线，∴S△ABC∵MN∴∠EAN=∠AEF=∠ANF=90°，∠MCG=∠CMF=∠CGF=90°，∴四边形AEFN，四边形CMFG都是矩形，∴四边形NDFG，四边形BEFM都是矩形，∴S△AEF=S∴S△ABC即S矩形∵AN≠2ND∴S∴S△AEF故选D．6．解：连接BD，交AC与点O，如图所示，

∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OB=1∴BO=OC∴∠DBC=∠ACB，∵∠ACB=40°，∴∠DBC=40°，∵BE=AC，BD=AC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠E=1故选：D．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N'，连接DN'

则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CM=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故选：D．8．解：作EH⊥AD交DA的延长线于点H，则∠H=90°，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ABC=∠D=∠BCD=∠GCE=∠CEF=90°，EF=CE=CG，CD=CB=AD，∴∠CBG=90°，∠H=∠D，∠FEH=∠ECD=90°−∠CED，∠DCE=∠BCG=90°−∠BCE，在△FEH和△ECD中，∠H=∠D∠FEH=∠ECD∴△FEH≌△ECDAAS∴HF=DE，在△ECD和△GCB中，CD=CB∠DCE=∠BCG∴△ECD≌△GCBSAS∴DE=BG，设DE=BG=x，∵AG=4，AE=3，∴AB=4−x，AD=3+x，∵AB=AD，∴4−x=3+x，解得x=0.5，∴HF=DE=0.5，∴S故选：B．9．解：∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD,OA=OC,BO⊥AO∵DH⊥AB∴OB=OD=OH=2∴S∴S故答案为：2010．解：①如图，当E点在BC上时，过F点作FG⊥AC于G点，

则∠AGF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°=∠AGF，BC=AD=3．根据旋转的性质得AF=AE=32∴∠EAF−∠EAC=∠BAC−∠EAC，即∠CAF=∠BAE，∴△GAF≌∴AG=AB=4，∴FG=A∵RtABC中AB=4，∴AC=A∴GC=AC−AG=1，∴CF=F②如图，当E点在CD上时，

∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=3，∠BAC=∠B=∠D=90°，又∵AB=4，∴AC=A根据旋转的性质得AF=AE=32∴∠EAF+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即∠CAF=∠BAE．∵Rt△ADE中，∴DE=A∴∠DAE=∠AED=45°，∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=45°，∴∠CAF=45°．作FG⊥AC于G点，则∠AGF=90°，∠AFG=45°，∴AG=GF．∵AG∴2AG∴AG=3，∴GF=3

，∴GC=AC−AG=2，∴CF=G综上，CF的长为3或13．故答案为：3或13．11．解：过F作GH⊥AD分别交AD、BC于G，H，则四边形GDCH为矩形，∴CH=GD，CD=GH，∠FGA=∠FHE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=4，∠B=90°，∵F是AE的中点，∴AF=EF，在△AFG与△EFH中，∠AGF=∠EHF=90°∠AFG=∠EFH∴△AFG≌∴AG=EH，GF=HF=1在Rt△GDF中，DG=∴AG=EH=3，CH=DG=1，∴CE=2，∴BE=6，在Rt△ABE中，AE=故答案为：213

12．解：∵在△EFC中，∠FEC=∠FCE=45°，∴FE=FC，∴∠AFE+∠CFD=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠CFD+∠DCF=90°，∴∠AFE=∠DCF，在△AEF和△DFC中，∠A=∠D∠AFE=∠DCF∴△AEF≌△DFC∴AF=CD；在△CEF中，∠EFC=90°，FE=FC，∴12∴FE=CF=25在Rt△CEF中，C又∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴在Rt△BEC中，BE=故答案为：2．13．解：过E作EF⊥CD交CD于F，

∴∠EFD=∠EFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°∴EF∥∴∠EAD=∠AEF，∵DE=DC，∠CDE=40°∴AD=DE，∠DCE=∠DEC=1∴∠EAD=∠DEA，∠CEF=90°−∠DCE=20°，∴∠AEF=∠EDA，∠DEF=∠DEC−∠CEF=50°，∴∠AEF=1∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=25°+20°=45°．故答案：45°．14．解：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ABC=∠D=90°，∵点O是AC的中点，∴AC=2OB=10，∵M是AD的中点，∴CD=2OM=6，∴BC=AD=A故答案为：8．15．解：如图，连接BG,BD,DF,EF，过点H作HP⊥CD于点P，设EF,BG交于点O，则EF⊥BG，EF=BG，

∵四边形ABCD，BEGF均是正方形，∴∠ABD=45°，∠ABG=45°，AB=BC=CD=AD=4，∴点B，G，D三点共线，BD=2∵E是BC的中点，∴BE=CE=BF=FG=EG=2，∴AF=2，在等腰Rt△BEF中，BG=EF=∴OF=OE=OB=OG=2∴DG=BD−BG=22∵H是DG的中点，∴DH=2∴S△BCFS△AFDS△FHDS正方形在Rt△DHP中，PH=∴S△CDH∴S△CHF故答案为：516．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠ABF=∠ADE=90°，则∠ABP=180°−∠ABF=90°，由折叠对称性可知：AF=AD=10，FE=DE．在Rt△ABF中，BF=∴FC=BC−BF=4，要使△PAF为等腰三角形，分三种情况：①若AP=AF，如图，连接AP，

∵AB⊥PF，∴PB=BF=6；②若PF=AF，连接AP，如图，

则PB+BF=AF，即PB+6=10，解得PB=4；③若AP=PF，连接AP，如图，

则AP=PF=PB+BF=PB+6，在Rt△APB中，A即PB+62解得PB=7综上可得PB=6或4或73故答案为：6或4或717．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AC⊥BD，OA=OC=4，∴∠AOB=∠COD=90°，∴AE=O∴BE=AE=5，∴OB=BE+OE=5+3=8，∴AB=O∴CD=45∵点F为CD的中点，∠COD=90°，∴OF=118．解：如图，连接CE，

∵四边形ABCD是矩形，且AB=6，BC=8，∴AC=62+82∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，设CE=AE=x，DE=AD−AE=8−x，在Rt△CDE中，C即62解得x=254，即∴OE=A19．（1）证明：∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∠DCA=∠BAC，又AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，故四边形ABCD为菱形；（2）解：由（1）四边形ABCD为菱形，OA=4，OB=3，∴AC⊥BD，AC=2AO=8，BD=2OB=6，∴AB=O又S菱形ABCD=∴CE＝48520．（1）证明：连接CE，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=1∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°，∵在Rt△ACN中，点E是AN∴AE=CE=1∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）解：BE=2∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC，∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=1∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF，在Rt△BCF中，B∴BF=2∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=2∵BE=BF+FE，∴BE=2（3）解：在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN，

∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥∴四边形DFCN为梯形，∵AB=2，∴CF=DF=12BD=∴S梯形故答案为：3．21．（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°，∵AF=DH，∴△ABF≌∴BF=CH；②连接BH，交CF于点Q,

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥∵CE=DH，∴AH=BE，∴四边形ABEH矩形，∵AB=BE，∴四边形ABEH是正方形，∴∠HBC=∠AHB=45°，∵△ABF≌∴∠AFB=∠CHD，BF=CH，∴∠BFH=∠CHF,∵FH=HF，∴△BFH≌∴∠FBH=∠HCF，∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠HBC=∠FCB=45°，∴∠BQC=∠FQH=90°，∴∠QPH=∠CPE=45°，∵∠PEC=90°，∴∠PCE=45°，∴PE=CE；（2）CH=2连接DQ，DE，

∵∠QHP=∠QPH=45°，∴△HQP是等腰直角三角形，∴QH=PQ，∵D