内蒙古一机集团第一中学2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析

内蒙古一机集团第一中学2024届高一数学第一学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数对的一切实数均有，则等于A.2016 B.-2016C.-2017 D.20172．下列函数，表示相同函数的是（）A.， B.，C.， D.，3．设集合，若，则实数（）A.0 B.1C. D.24．已知函数，，则函数的值域为（）A B.C. D.5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A.若a>b，则ac2>bc2C.若a>b，ab<0，则1a>1b D.若a6．下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.7．化简=A.sin2+cos2 B.sin2-cos2C.cos2-sin2 D.±(cos2-sin2)8．已知函数的部分函数值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.6321－0.10650.27760.0897－0.007那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）A.0.55 B.0.57C.0.65 D.0.79．已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为A B.C. D.10．已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12．已知点角终边上一点，且，则______13．若，则_____14．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______15．已知的图象的对称轴为_________________16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.（1）若满足性质，且，求的值；（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.18．已知函数，（1）指出的单调区间，并用定义证明当时，的单调性；（2）设，关于的方程有两个不等实根，，且，当时，求的取值范围19．已知函数.（1）若，解不等式；（2）解关于x的不等式.20．已知.（1）若为锐角，求的值.（2）求的值.21．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本35917…年利润1234…给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得【题目详解】①②①②得，故选：【题目点拨】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式2、B【解题分析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可【题目详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；选项B，，为相同函数；选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数故选：B3、B【解题分析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.【题目详解】集合，，所以，①当时，集合，此时，成立；②当时，集合，此时，不满足题意，排除.故选：B.4、B【解题分析】先判断函数的单调性，再利用单调性求解.【题目详解】因为，在上都是增函数，由复合函数的单调性知：函数，在上为增函数，所以函数的值域为，故选：B5、C【解题分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析【题目详解】A．若a>b，当c=0时，ac2=bB．若ac>bc，当c<0时，则C．因为ab<0，将a>b两边同除以ab，则1a>1D．若a2>b2且ab>0，当a<0b<0时，则a<b故选：C6、D【解题分析】利用偶函数的性质对每个选项判断得出结果【题目详解】A选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数，A选项错误B选项：函数定义域为，且，，故函数既不是奇函数也不是偶函数C选项：函数定义域为，，故函数为奇函数D选项：函数定义域为，，故函数是偶函数故选D【题目点拨】本题考查函数奇偶性的定义，在证明函数奇偶性时需注意函数的定义域；还需掌握：奇函数加减奇函数为奇函数；偶函数加减偶函数为偶函数；奇函数加减偶函数为非奇非偶函数；奇函数乘以奇函数为偶函数；奇函数乘以偶函数为奇函数；偶函数乘以偶函数为偶函数7、A【解题分析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简【题目详解】根据诱导公式，化简得又因为所以选A【题目点拨】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题8、B【解题分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【题目详解】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B9、A【解题分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出【题目详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A【题目点拨】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题10、D【解题分析】由题意利用角在各个象限符号，即可得出结论.【题目详解】由题意，点在第二象限，则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1800【解题分析】由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；考点：抽样方法的随机性.12、【解题分析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得m值【题目详解】点角终边上一点，，则，故答案为【题目点拨】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题13、【解题分析】首先求函数，再求的值.【题目详解】设，则所以，即，，.故答案为：14、【解题分析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.【题目详解】当时，即当时，由，可得；当时，即当时，由，可得（舍）.综上所述，函数的零点个数为.故答案为：.15、【解题分析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.【题目详解】因为所以，故对称轴为.故答案为:16、【解题分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后由题意可得，解不等式可求出的取值范围【题目详解】解：函数的对称轴方程为，因为函数在区间上是单调递增函数，所以，解得，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解题分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【小问1详解】因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，，由可得，由可得，所以，.【小问2详解】若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存在，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.【小问3详解】若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.18、（1）增区间为，减区间为；证明见解析（2）【解题分析】（1）根据函数的解析式特点可写出其单调区间，利用函数单调性的定义可证明其单调性；（2）写出的表达式，将整理为即关于的方程有两个不等实根，，且，，即，在上有两个不等实根，然后数形结合解得答案.【小问1详解】函数的增区间为，减区间为；任取，不妨令，则，因为，，故，所以，即，所以函数在时为单调减函数；【小问2详解】，则即，也即，，因此关于的方程有两个不等实根，，且，，即，在上有两个不等实根，作出函数的图象如图示：故要满足，在上有两个不等实根，需有，即.19、（1）；（2）答案见解析【解题分析】（1）由抛物线开口向上，且其两个零点为，，可得不等式的解集.（2）由对应的二次方程的判别式，其两根为，.讨论时，时，时，其两根的大小，由此可得不等式的解集.【题目详解】解：（1）当时，不等式可化为，又由，得，.因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，所以不等式的解集为.（2）对于二次函数，其对应的二次方程的判别式，其两根为，.当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为.20、（1）（2）【解题分析】(1)根据题意和求得，结合两角和的余弦公式计算即可；(2)根据题意和可得，利用二倍角的正切公式求出，结合两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由，为锐角，，得，∴；【小问2详解】由得，则，∴21、（1）可用③来描述x，y之间的关系，（2）该企业要考虑转型.【解题分析】（1）由年