江西师范大学附中2024届数学高一上期末统考试题含解析

江西师范大学附中2024届数学高一上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的大致图象是（）A. B.C. D.2．设，，若，则ab的最小值是（）A.5 B.9C.16 D.253．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.4．已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（）A.[0,4] B.（0,4）C.[0，4) D.(0，4]5．函数的最大值是（）A. B.1C. D.26．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，且，则；③若，，则；④若，，且，则其中正确命题的序号是（）A.②③ B.①④C.②④ D.①③7．某几何体的三视图都是全等图形，则该几何体一定是（）A.圆柱 B.圆锥C.三棱锥 D.球体8．设，则“”是“”的（）条件A.必要不充分 B.充分不必要C.既不充分也不必要 D.充要9．设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要10．函数单调递增区间为A. B.C D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.12．设向量不平行，向量与平行，则实数_________.13．已知奇函数f（x），当x>0，fx=x214．已知为奇函数，，则____________15．已知函数的最大值为3，最小值为1，则函数的值域为_________.16．若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则的值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=k4x+5（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设（1）求fx（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求fx18．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？19．如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为.（1）若的周长为，求的值；（2）求的最大值，并求此时的值.20．已知函数，函数（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围21．记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由奇偶性定义判断的奇偶性，结合对数、余弦函数的性质判断趋向于0时的变化趋势，应用排除法即可得正确答案.【题目详解】由且定义域，所以为偶函数，排除B、D.又在趋向于0时趋向负无穷，在趋向于0时趋向1，所以在趋向于0时函数值趋向负无穷，排除A.故选：C2、D【解题分析】结合基本不等式来求得的最小值.【题目详解】，，，，当且仅当时等号成立，由.故选：D3、A【解题分析】根据题意，先得到是周期为的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出在区间上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到，得出，从而可得出结果.【题目详解】因为偶函数满足，所以函数是周期为的函数，又在区间上是减函数，所以在区间上是减函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是增函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以，即，因此，即，所以.故选：A.【题目点拨】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.4、C【解题分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围.【题目详解】当时，，此时，符合题意.当时，，由解得或，由得或，其中，，和都不是这个方程的根，要使，则需.综上所述，的取值范围是.故选：C5、C【解题分析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.【题目详解】，∵，∴函数的最大值是.故选：C.6、A【解题分析】对于①当，时，不一定成立；对于②可以看成是平面的法向量，是平面的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④，也可能相交【题目详解】①当，时，不一定成立，m可能在平面所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故成立；④，，且，，也可能相交，如图所示，所以错误，故选A【题目点拨】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键7、D【解题分析】任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是圆【题目详解】球、长方体、三棱锥、圆锥中，任意方向上的视图都是全等图形的几何体只有球，在任意方向上的视图都是等圆，故答案为：D【题目点拨】本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是看出各个图形的在任意方向上的视图，本题是一个基础题8、B【解题分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接得出结果.【题目详解】若，则，所以“”是“”的充分条件；若，则或，所以“”不是“”的必要条件；因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：B【题目点拨】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.9、A【解题分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【题目详解】若函数在上严格递增，对任意的、且，，由不等式的性质可得，即，所以，在上严格递增，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；若在上严格递增，不妨取，则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.10、A【解题分析】，所以．故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.12、-2【解题分析】因为向量与平行，所以存在，使，所以，解得答案：13、-10【解题分析】根据函数奇偶性把求f-2的值，转化成求f2【题目详解】由f（x）为奇函数，可知f-x=-f又当x>0，fx=故f故答案为：-1014、【解题分析】根据奇偶性求函数值.【题目详解】因为奇函数，，所以.故答案为：.15、【解题分析】根据三角函数性质，列方程求出，得到，进而得到，利用换元法，即可求出的值域【题目详解】根据三角函数性质，的最大值为，最小值为，解得，则函数，则函数，，令，则，令，由得，，所以，的值域为故答案为：【题目点拨】关键点睛：解题关键在于求出后，利用换元法得出，，进而求出的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题16、##【解题分析】直接根据三角函数定义求解即可.【题目详解】解：因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，所以根据三角函数单位圆的定义得故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）fx=9004x+5【解题分析】（1）根据距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，可求k的值，由此，可得f(x)的表达式；（2）fx【题目详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则20=k4×10+5，解得k（2）因为fx=9004x+5答：宿舍应建在离工厂254km处，可使总费用最小，f【题目点拨】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方18、（1）300台；（2）90人.【解题分析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【题目详解】（1）由总成本，可得每台机器人的平均成本.因为.当且仅当，即时，等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为∴当时，日平均分拣量有最大值144000.当时，日平均分拣量为∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.【题目点拨】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.19、（1）；（2），.【解题分析】（1）根据周长即可求得，以及；将目标式进行转化即可求得；（2）用表示出，将其转化为关于的三角函数，求该三角函数的最大值即可求得结果.【题目详解】（1），，则若的周长为，则，，平方得，即，解得（舍）或.则.（2）中，，，在中，，，则因为，，当，即时，有最大值.【题目点拨】本题考查已知正切值求齐次式的值，以及几何图形中构造三角函数，并求三角函数最值的问题，涉及倍角公式和辅助角公式的利用，属综合中档题.20、（1）[－4，﹢∞)；（2）【解题分析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（2）由题意得，求得，然后通过解对数不等式可得所求范围【题目详解】（1）由题意得，即的值域为[－4，﹢∞).（2）由不等式对任意实数恒成立得，又，设，则，∴，∴当时，=∴，即，整理得，即，解得，∴实数x的取值范围为【题目点拨】解答本题时注意一下两点：（1）