2024届北京市朝阳区陈经伦中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届北京市朝阳区陈经伦中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围A. B.C. D.2．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）A.0.021 B.0.221C.0.461 D.0.6613．函数，的图象形状大致是（）A. B.C. D.4．在中，下列关系恒成立的是A. B.C. D.5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积是（）A.12512πC.1256π6．函数的最大值为（）A. B.C.2 D.37．三个数的大小关系是（）A. B.C. D.8．设集合，若，则实数（）A.0 B.1C. D.29．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A.100 B.C.50 D.10．若条件p：，q：，则p是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若幂函数是偶函数，则___________.12．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________13．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为____________14．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________15．若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.16．已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，，且.（1）求的值；（2）求的定义域；（3）求不等式的解集.18．已知，当时，求函数在上的最大值；对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围19．计算求值：（1）（2）若，求的值.20．已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数，的值；（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围21．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，设，则原方程化为，∵方程有8个相异实根，∴关于的方程在上有两个不等实根令，则，解得∴实数的取值范围为．选D点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识2、A【解题分析】由题意得出，再取对数得出k的值.【题目详解】由题意可知，所以，解得故选：A3、D【解题分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.【题目详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.故选：D4、D【解题分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案【题目详解】由题意知，在三角形ABC中，，对A选项，，故A选项错误；对B选项，，故B选项错误；对C选项，，故C选项错误；对D选项，，故D选项正确．故选D.【题目点拨】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题5、C【解题分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【题目详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即r=12AC=故选：C【题目点拨】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.6、B【解题分析】先利用，得；再用换元法结合二次函数求函数最值.【题目详解】，，当时取最大值，.故选:B【题目点拨】易错点点睛：注意的限制条件.7、A【解题分析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性结合中间量法即可求解【题目详解】解：，，，故选：A8、B【解题分析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.【题目详解】集合，，所以，①当时，集合，此时，成立；②当时，集合，此时，不满足题意，排除.故选：B.9、D【解题分析】利用向量的平行四边形法则求解即可【题目详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，根据向量的平行四边形法则，故选：D10、B【解题分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性【题目详解】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.【题目详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，，为奇函数，不满足，舍；当时，，为偶函数，满足条件.所以.故答案为：12、①.②.6【解题分析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.【题目详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”时取等号，，当且仅当“”时取等号.故答案为：，6.【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.13、【解题分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得【题目详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，，则，存在故答案为：【题目点拨】关键点点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可，属于中档题.14、【解题分析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可【题目详解】解：函数的周期为，值域为,，则的值域为,，故答案为：15、【解题分析】根据得到，再取时，，根据函数奇偶性得到表达式.【题目详解】是定义在R上的奇函数，则，故，时，，则.故答案为：.16、##a≤【解题分析】时，，原问题.【题目详解】∵，，∴，∴，即对任意的，都存在，使恒成立，∴有.当时，显然不等式恒成立；当时，，解得；当时，，此时不成立.综上，.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或；（3）或.【解题分析】（1）根据的解析式，结合，即可求得；（2）根据对数的真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果；（3）根据对数函数的单调性，结合函数定义域，即可求得不等式解集.【小问1详解】由题可知，又因为，即，所以.【小问2详解】由知，，若使有意义，只须，解得或，所以函数的定义域为或.【小问3详解】由对数函数的单调性可得：由，解得或，由，解得，所以或，不等式的解集为或.18、（1）3；（2）.【解题分析】（1）由，得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当时，，结合图像可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，，所以函数在上的最大值为3.（2），由题意得：成立.①时，，函数在上是增函数，所以，，从而，解得，故.②因为，由，得：，解得：或（舍去）当时，，此时，，从而成立，故当时，，此时，，从而成立，故，综上所述：.点睛：（1）对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号19、（1）（2）【解题分析】（1）利用指数和对数运算法则直接计算可得结果；（2）分子分母同除即可求得结果.【小问1详解】原式.小问2详解】，.20、（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.【解题分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.（2）化简得到，，计算，得到是增函数.（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.【题目详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，即，所以．又由，即，所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.（2）在上单调递增.证明：由（1）知，任取，则，因为函数在上是增函数，且，所以，又，所以，即，所以函数R上单调递增.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为在上是增函数，由上式推得，即对一切有恒成立，设，令，则有，，所以，所以，即的取值范围为.21、（1）；（2）存在，，.【解题分析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.【小问1详解】∵函数，其反函数为，∴，∴，又函数在区间上单调递减，又∵在定义域上单调递增，∴函数在区间上单调递减，∴，解得；【小问2详解】∵，∴，∵，，令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为