湖南省常德市武陵区芷兰实验学校历史班2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析

湖南省常德市武陵区芷兰实验学校历史班2024届高一数学第一学期期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式的解集是A. B.C. D.2．若正数x，y满足，则的最小值为（）A.4 B.C.8 D.93．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B.C. D.4．已知幂函数的图象过点，则等于（）A. B.C. D.5．若函数满足，，则下列判断错误的是（）A. B.C.图象的对称轴为直线 D.f（x）的最小值为－16．已知角的终边与单位圆的交点为，则（）A. B.C. D.7．“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．设集合，，则集合＝（）A B.C. D.9．设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（）A.， B.2，C.4，34 D.2，3410．下列命题中，其中不正确个数是①已知幂函数的图象经过点，则②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是③已知平面平面，平面平面，，则平面④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为____12．已知=，则=_____.13．已知向量不共线，，若，则___14．已知函数，则___________.15．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.16．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知A（3，7）、B（3，-1）、C（9，-1），求△ABC的外接圆方程.18．已知向量（1）当时,求的值；（2）若为锐角,求的范围.19．已知函数，.（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求的取值范围.20．某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度是时间（单位：小时）的一个连续不间断的函数其函数表达式为，其中时间是午夜零点后的小时数，为常数.（1）求的值；（2）求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间；（3）若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.21．已知(1)化简(2)若是第三象限角,且，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】利用指数式的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解【题目详解】由，得，∴8﹣x2＞﹣2x，即x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4∴不等式解集是{x|﹣2＜x＜4}故选A【题目点拨】本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的单调性，是基础题2、C【解题分析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得结果【题目详解】解：因为正数x，y满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选：C【题目点拨】此题考查基本不等式应用，利用了“1”的代换，属于基础题3、B【解题分析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，所以即：，化简得：故选4、A【解题分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.【题目详解】因为是幂函数，所以，又因为函数的图象过点，所以，因此，故选：A5、C【解题分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.【题目详解】解：由题得，解得，，所以，因为，所以选项A正确；所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；因为的对称轴为，所以选项C错误故选：C6、A【解题分析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【题目详解】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.7、B【解题分析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【题目详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，故选：B8、B【解题分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集运算可得选项【题目详解】解：由得，解得或，所以集合，由得，解得，所以集合，所以，故选：B9、D【解题分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可【题目详解】解：由，满足约束条件表示的可行域如图，由，解得的几何意义是点到坐标原点的距离的平方，所以的最大值为，的最小值为：原点到直线的距离故选D【题目点拨】本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力，属于常考题型.10、B【解题分析】①②因为函数在区间上有零点，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线,作PB垂直于平面,则所以平面④因为,且,所以,即是的外心所以正确命题为①③,选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据给定条件列出使函数f(log2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可.【题目详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有，解不等式可得：，即，所以函数f(log2x)的定义域为.故答案为：12、##0.6【解题分析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可【题目详解】故答案为：13、【解题分析】由，将表示为的数乘，求出参数【题目详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得【题目点拨】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得14、【解题分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【题目详解】因为，则，故.故答案为：.15、【解题分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，有,即，然后分别求得侧面积和底面积即可.【题目详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得：,即，所以其侧面积是，底面积是，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为故答案为：16、【解题分析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.【题目详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，当时，函数取最小值2，令，则，或，若函数在上的最大值为3，最小值为2，则，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A（1，0），B（0，1），C（3，4）代入，能求出△ABC外接圆的方程【题目详解】设外接圆的方程为.将ABC三点坐标带人方程得：解得圆的方程为【题目点拨】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用18、（1）x或x＝﹣2；（2）x＞﹣2且x【解题分析】（1）利用向量的数量积为零列出方程求解即可．（2）根据题意得•0且，不同向，列出不等式，即可求出结果【题目详解】（1）2（1+2x，4），2（2﹣x，3），（2）⊥（2），可得（2x+1）（2﹣x）+3×4＝0即﹣2x2+3x+14＝0.解得：x或x＝﹣2（2）若，为锐角，则•0且，不同向•x+2＞0，∴x＞﹣2，当x时，，同向∴x＞﹣2且x【题目点拨】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角为锐角的充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19、（1）或（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析（3）【解题分析】（1）由已知得，解方程即可；（2）任取，且，则，分和讨论可得答案；（3）将不等式对恒成立问题转化为，的最小值问题，求出的最小值即可得的取值范围.【题目详解】（1）由已知.所以，得或，所以或；（2）任取，且，则因为，且，所以，.当时，恒成立，，即；当时，恒成立，，即.故在上单调递减，在上单调递增；（3），，令，.由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，故的取值范围是.【题目点拨】本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可，是中档题.20、（1）（2）昆虫密度的最小值为0，出现最小值的时间为和（3）至至【解题分析】（1）由题意得，解出即可；（2）将看成一个整体，将函数转化为二次函数，根据二次函数的单调性即可得出结论；（3）解不等式即可得出结论【题目详解】解：（1）因为它是一个连续不间断的函数，所以当时，得到，即；（2）当时，，，则当时，达到最小值0，，解得，所以在和时，昆虫密度达到最小值，最小值为0；（3）时，令，得，即，即