2024届一轮复习北师大版 26 直线与圆锥曲线位置关系（中点弦长问题、垂直角度问题） 学案

目录圆锥曲线与直线的位置关系 2课前诊断 2类型一：中点弦问题 6考点一：平行四边形 6考点二：中点弦问题之垂直平分线 8考点三：圆中的弦的中垂线问题 10考点四：中点弦之单动点的对称问题 11类型二：垂直角度问题 17考点一：垂直角度之直径所对的圆周角为直角 17考点二：垂直角度之角度问题 18考点三：垂直角度之单动点问题 20小试牛刀 28巩固练习 31

圆锥曲线与直线的位置关系课前诊断1.分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（）A． B．1 C． D．【答案】C2.设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则.【答案】83.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则A.B.C.D.【答案】B4.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则.【答案】 2

【教学目标】能够熟练直线和圆锥曲线联立求出韦达定理；能够理解中点弦问题的垂直角度问题的转化的实质；能够熟练对这两种方法进行计算【知识框架】【知识要点】设直线方程为，不要设为，因为在椭圆标准方程中会出现.联立直线与椭圆方程消去，得即设,则

一、中点弦问题中点弦问题：（1）弦；（2）中点。需要掌握的东西：（1）题型的转化；（2）计算问题：中点公式的值（平行四边形）；转化问题：（1）线段的垂直平分线；（2）①等腰三角形；②；（3）圆的弦的中垂线问题；（4）菱形；（5）等边三角形。计算：（1）平行四边形（2）；（3）中点公式；二、垂直角度问题垂直角度问题的定义：（1）垂直；（2）角度。需要掌握的东西：（1）题型的转化；（2）计算问题：的值；为锐角锐角三角形（为三角形中最大的角）为直角直角三角形矩形以为直径的圆过原点三角形的垂线问题为钝角钝角三角形转化问题：（1）垂直问题：（2）角度问题：垂直与角度常考题型（1）以为直径的圆过原点故两边同时乘以，整体处理得消去高次项得即找了的关系式.推广：以为直径的圆过焦点可以看得出，同样可以采用整体法处理.

【考点分类】类型一：中点弦问题考点一：平行四边形【例1】已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．【解析】（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，……1分则，．…………2分所以，…………………3分所以椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直．…………6分于是，设直线的方程为，点，，…7分则整理得，…8分，…………9分所以．………10分因为四边形为平行四边形，所以，………11分所以点的坐标为，……………12分所以，……………13分解得，所以．…………14分

考点二：中点弦问题之垂直平分线【例2】已知椭圆C:的左焦点为（-1，0），离心率为，过点的直线与椭圆C交于两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：，，……2分解得：……3分故椭圆的方程为：……4分（II）设直线的方程为，……5分联立，得,整理得7分直线过椭圆的左焦点F方程有两个不等实根.….…8分记则…..9分…..10分垂直平分线的方程为，…..11分令12分……13分….14分

考点三：圆中的弦的中垂线问题已知椭圆的离心率为，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．【解析】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，则．…………1分由，得，从而．………………4分所以，椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）解：设．将直线的方程代入椭圆的方程，消去得．………………7分由，得，且．…………9分设线段的中点为，则，．……………10分由点，都在以点为圆心的圆上，得，……11分即，解得，符合题意．……………13分

考点四：中点弦之单动点的对称问题已知椭圆过点，且离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆上存在点关于直线对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上.【解析】（Ⅰ）因为椭圆过点，所以.………………1分因为，所以.所以椭圆的方程为………3分（Ⅱ）方法一：依题意得.因为椭圆上存在点关于直线对称，所以直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得.…………5分由，得.（*）因为，………………7分所以的中点坐标为.又线段的中点在直线上，所以.所以.………………9分代入（*），得或.（代入判别式求的）所以.……11分因为，所以对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上3分方法二：因为点在直线上，且关于直线对称，所以，且.设（），的中点为.则.………………6分又在椭圆上，所以.所以.化简，得.所以.………………9分又因为的中点在直线上，所以.所以.由可得.所以，或，即，或.所以.………………12分所以对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上…

知识拓展【例1】★★如图，已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线上；（Ⅲ）是否存在实数，使得四边形AOBC为平行四边形?若存在求出的值，若不存在说明理由.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为.因为，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，，，.（ⅰ）证明：由消去得：.则，所以.同理.因为,所以.因为，所以.（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则.因为，所以.所以.（或）所以当时，四边形的面积取得最大值为.【例2】★★★已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【解析】（Ⅰ）由题意可知，，于是.所以，椭圆的标准方程为程.--------------------------3分（Ⅱ）设，，，即.所以，，，，于是.因为，所以在直线上.-------------------9分（Ⅲ）方法一：由（II）得，所以求得，代入椭圆求得方法二：设存在这样的平行四边形，则M为OC中点设点C的坐标为，则.因为，解得.于是，解得，即.（分析：通过两个直线解出的C点横坐标相同）所以，当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形.------------------------------------------------14分类型二：垂直角度问题考点一：垂直角度之直径所对的圆周角为直角【例1】已知是椭圆G：上的两点．（Ⅰ）求椭圆G的离心率；（Ⅱ）已知直线l过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x∴焦点坐标（，0）准线：x=-。（Ⅱ）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由题知A(x1，x1)，B(x1，)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=。，由x1+x2=，x1x2=，上式∴A为线段BM中点。

考点二：垂直角度之角度问题【例1】已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：.………………4分（Ⅱ）设联立，消去，得：…6依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，----=1\*GB3①，由（*）式，-------=2\*GB3②，可得----=3\*GB3③，…………8分由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③，，………10分由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即..…12分即，整理得.解得：.………14

考点三：垂直角度之单动点问题【例1】已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.（Ⅰ）求的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）由得：.所以椭圆的短轴长为.…………2分因为，所以，即的离心率为.………………4分（Ⅱ）由题意知：，设，则.因为………………9分，………………11分所以.所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.……13分另解：由题意可设直线的方程为，.由可得：.所以，.………………7分所以.………………9分因为，所以.………………11分所以.所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.

知识拓展【例1】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可得解得，.故椭圆的方程为．………5分（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，，由得、所以．因为，所以中点．因此直线方程为．由解得，． 因为四边形为矩形，所以，（或）即．所以．所以．解得．故直线的方程为．………14分

【例2】★★★已知椭圆，求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.【解析】（I）由题意，椭圆C的标准方程为。所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（Ⅱ）直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，，其中。因为，所以，即，解得。当时，，代入椭圆C的方程，得，故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。此时直线AB与圆相切。当时，直线AB的方程为，即，圆心0到直线AB的距离又，故此时直线AB与圆相切。

类型三：中点弦和垂直角度综合【例1】已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于,两点.(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，.……………2分所以.所以，椭圆的标准方程为.………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由解得：或即（不妨设点在轴上方）.……5分则直线的斜率，直线的斜率.因为，所以.所以.……………6分（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为点在椭圆的内部，显然.………8分因为，，，所以.所以.所以为直角三角形.……11分假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.记点为.另一方面，点的横坐标，所以点的纵坐标.所以.所以与不垂直，矛盾.所以当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.…13分

小试牛刀已知点,,动点P满足,记动点P的轨迹为W．(Ⅰ)求W的方程; (Ⅱ)直线与曲线W交于不同的两点C,D,若存在点,使得成立,求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）

★★已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．-------------1分∵长轴长为,离心率，∴．所求椭圆方程为．----------------4分（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．设，由得，解得．∴．---------------9分（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．由可得．∴．，因为以为邻边的平行四边形是矩形.由得，.所求直线的方程为．----------------14分

巩固练习1.已知椭圆的离心率，点为椭圆的右点.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若在轴上存在着动点，使得以为邻边的菱形，试求出的取值范围.【解析】（Ⅰ）由已知，，，所求椭圆的方程为.__________4分(Ⅱ)由已知直线的斜率存在且，当，点M，N和P三点共线。设：，消去得：__5分，设，，__________7分，，因为在轴上存在动点，使得以，为邻边的平行