2022年湖南省长沙市第三十一中学高三数学文月考试卷含解析

2022年湖南省长沙市第三十一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的心理状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．35 D．25参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义进行求解即可．【解答】解：设样本容量为n，则由题意得，解得n=15，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S2014等于(

)A．1007

B．1008

C．2013

D．2014参考答案：A3.设函数,则（）A． B．3 C． D．参考答案：D4.已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为(

)A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8=20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（

）A.210 B.205 C.200 D.195参考答案：C【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数。【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为所以低于100分的人数为则不低于100分的人数为所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题。6.已知正四棱锥P—ABCD的棱长都等于a，侧棱长为,侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成二面角的大小为A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B7.设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为A[0，1]

B（0，1）

C[0，1）D（-1，0]参考答案：C8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，则|a－b|=（

）A． B． C． D．1参考答案：B解答：由可得，化简可得；当时，可得，，即，，此时；当时，仍有此结果.

9.已知:Sinθ=

,cosθ=

(<θ<π),则tan=A.

B.5

C.

D.参考答案：答案：B10.已知函数，且在上是增函数，则实数的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则

。参考答案：712.右图表示的是求首项为-41，公差为2的等差数列前n项和的最小值得程序框图，如果?中填，则?可填写参考答案：【知识点】等差数列算法和程序框图【试题解析】因为所有负数项的和最小，所以当a>0时，前n项和最小。

故答案为：13.在的展开式中，

的系数是______(用数字作答).参考答案：8414.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐进线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M，N两点，若，则双曲线C的渐进线方程为

．参考答案：

15.从一副扑克牌(52张)中随机抽取2张,则“抽出的2张不是同一花色”的概率为________.参考答案：16.抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为

．参考答案：

【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（xA，yA），∵抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，∴点A到其准线的距离为4，∴xA+1=4，∴xA=3，∴yA=±2∴点A（3，），∴直线AF的斜率为，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．17.已知函数，若在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象恒在直线的图象的下方，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】先把图象位置关系转化为不等关系，即，然后利用导数求解最值可得.【详解】设，由题意可知，在区间上恒成立；，当时，，，所以为增函数，所以有，即；当时，总存在，使得，即为减函数，不合题意；综上可得.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…∴，即．…②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…19.(12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为.(1)求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．参考答案：20.（本小题满分12分）ks5u已知的内角的对边分别是,且.(1)求的值；(2)求的值.

参考答案：（1）解:∵,依据正弦定理得:,

……………1分即,解得.

……………3分(2)解:∵，

∴.

……………4分

∴.

……………5分∴,

……………6分

.

……………7分∵,∴.

……………8分∴

……………9分

……………10分

.

……………12分21.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点，求的值.参考答案：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.【分析】（1）直接消去参数可得C1的普通方程；结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆C2联立，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解．【详解】（1）曲线的普通方程为.由，，得曲线的直角坐标方程为.（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.点在直线上，设直线