高中数学一轮复习考点专题68 离心率问题 (含解析)

PAGE微专题68圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数SKIPIF1<0之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：SKIPIF1<0（2）双曲线：SKIPIF1<02、圆锥曲线中SKIPIF1<0的几何性质及联系（1）椭圆：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0：长轴长，也是同一点的焦半径的和：SKIPIF1<0②SKIPIF1<0：短轴长③SKIPIF1<0椭圆的焦距（2）双曲线：SKIPIF1<0①SKIPIF1<0：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：SKIPIF1<0②SKIPIF1<0：虚轴长③SKIPIF1<0椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数SKIPIF1<0的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与SKIPIF1<0有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用SKIPIF1<0进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用SKIPIF1<0表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于SKIPIF1<0的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：SKIPIF1<0，双曲线：SKIPIF1<0二、典型例题：例1：设SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，线段SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上，若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：本题存在焦点三角形SKIPIF1<0，由线段SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点可得SKIPIF1<0轴，从而SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与SKIPIF1<0搭配形成三角形的中位线。例2：椭圆SKIPIF1<0与渐近线为SKIPIF1<0的双曲线有相同的焦点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为它们的一个公共点,且SKIPIF1<0,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设SKIPIF1<0，在双曲线中，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0在第一象限，则由椭圆定义可得：SKIPIF1<0，由双曲线定义可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0代入可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。例3：如图所示，已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交双曲线的渐近线于SKIPIF1<0两点，且直线SKIPIF1<0的倾斜角是渐近线SKIPIF1<0倾斜角的2倍，若SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用SKIPIF1<0表示，再寻找一个等量关系解出SKIPIF1<0的关系。双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0的倾斜角是渐近线SKIPIF1<0倾斜角的2倍可得：SKIPIF1<0，确定直线l的方程为SKIPIF1<0，与渐近线联立方程得SKIPIF1<0将SKIPIF1<0转化为坐标语言，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0答案：B例4：设SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，双曲线上存在一点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.3思路：条件与焦半径相关，所以联想到SKIPIF1<0，进而与SKIPIF1<0找到联系，计算出SKIPIF1<0的比例，从而求得SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：B例5：如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用SKIPIF1<0进行表示，在利用条件求出离心。首先直线SKIPIF1<0的方程含SKIPIF1<0，联立方程后交点SKIPIF1<0的坐标可用SKIPIF1<0进行表示（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0点在椭圆上即可求出离心率SKIPIF1<0解：直线的方程为：；直线的方程为：SKIPIF1<0，联立方程可得：SKIPIF1<0解得：，则在椭圆上，解得：答案：例6：已知F是双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是该双曲线的右顶点，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线与双曲线交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是锐角三角形，则该双曲线的离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：从图中可观察到若SKIPIF1<0为锐角三角形，只需要SKIPIF1<0为锐角。由对称性可得只需SKIPIF1<0即可。且SKIPIF1<0均可用SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0是通径的一半，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线SKIPIF1<0的斜率入手，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0即可求出离心率例7：已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，若椭圆上存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：SKIPIF1<0为焦点三角形SKIPIF1<0的内角，且对边为焦半径SKIPIF1<0，所以利用正弦定理对等式变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，再利用焦半径的范围为SKIPIF1<0可得（由于依题意，SKIPIF1<0非左右顶点，所以焦半径取不到边界值SKIPIF1<0）：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：D例8：已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，若椭圆上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则椭圆离心率的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：考虑在椭圆上的点SKIPIF1<0与焦点连线所成的角中，当SKIPIF1<0位于椭圆短轴顶点位置时，SKIPIF1<0达到最大值。所以若椭圆上存在SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0，则短轴顶点与焦点连线所成的角SKIPIF1<0，考虑该角与SKIPIF1<0的关系，由椭圆对称性可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0思路二：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，进而想到焦点三角形SKIPIF1<0的面积：SKIPIF1<0，另一方面：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，再同思路一可解得：SKIPIF1<0思路三：SKIPIF1<0可想到SKIPIF1<0，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0点一定在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径SKIPIF1<0时才可有交点，所以SKIPIF1<0，同思路一可解得SKIPIF1<0注：本题对SKIPIF1<0在圆上也可由SKIPIF1<0判定出SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到SKIPIF1<0所在圆方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：SKIPIF1<0代入消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，同思路一即可解得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解例9：设点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，若在椭圆上存在异于点SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点，则椭圆的离心率SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点SKIPIF1<0”，则SKIPIF1<0的横纵坐标分别位于SKIPIF1<0中，所以致力于计算SKIPIF1<0的坐标，设SKIPIF1<0，题目中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0也在以SKIPIF1<0为直径的圆上。即SKIPIF1<0，所以联立方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0的范围可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标例10：如图，已知双曲线SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，它关于原点的对称点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线的右焦点，且满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：本题与焦半径相关，所以考虑SKIPIF1<0的几何含义，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0的左焦半径。所以有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即关于SKIPIF1<0的函数，在SKIPIF1<0求值域即可：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B三、历年好题精选1、已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0是双曲线上的动点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02、（2016，新余一中模拟）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的对称轴与准线的交点，点SKIPIF1<0为抛物线的焦点，SKIPIF1<0在抛物线上且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0恰好在以SKIPIF1<0为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03、已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线与双曲线交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04、设SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，若双曲线左支上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<05、（2016四川高三第一次联考）椭圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为椭圆的半焦距）对任意SKIPIF1<0恒有四个交点，则椭圆的离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线SKIPIF1<0，设内层椭圆方程为SKIPIF1<0，外层椭圆方程为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为_______7、（2015，新课标II）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左右顶点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为等腰三角形，且顶角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<08、（2016，宜昌第一中学12月考）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线的左支上，且SKIPIF1<0，则此双曲线离心率的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09、（2015，山东）平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的渐近线与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0的焦点，则SKIPIF1<0离心率为________10、（2014，湖北）已知SKIPIF1<0是椭圆和双曲线的公共焦点，SKIPIF1<0是它们的一个公共点，且SKIPIF1<0，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2014，浙江）设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率是______解得：习题答案：1、答案：B.解析：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得:SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2、答案：A解析：由抛物线方程可得：SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0最小，数形结合可知当SKIPIF1<0与抛物线相切时，SKIPIF1<0最小。设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03、解析：SKIPIF1<0为钝角三角形，且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：B4、答案：A思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形SKIPIF1<0的特点，从SKIPIF1<0入手，可得SKIPIF1<0，数形结合可得四边形SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0，可判定SKIPIF1<0为直角三角形。SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<05、答案：B解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，平方变形后可得：SKIPIF1<06、答案：SKIPIF1<0解析：设切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立切线SKIPIF1<0与内层椭圆方程，得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0