基于时变自回归模型的非平稳信号建模

基于时变自回归模型的非平稳信号建模

在实践中，许多信号都是不稳定的随机信号。时间间隔自适应模型（tar）随着时间间隔的好特点和参数压缩的特性而逐渐成为分析和处理非稳定随机信号的有效方法。该模型的最大特点是其系数具有时变，因此可以通过组基函数的线性加权和表示，而非稳定时间间隔的模型可以将非稳定时间间隔问题转换为线性时变问题。与以假设信号为短期稳定的参数分析相比，利用模型分析非稳定信号，提高信号参数估计的精度。模型阶数的估计对非稳定信号建模的精度有重大影响。因此，在本规范中，为了提高应用于非稳定信号的itc（信息理论指南）的定阶率，该方法的信号统计数据的误差很小。此外，在本文中，我们详细介绍了非稳定信号时间变化参数建模的方法，并利用了具有严格理论基础和良好时间传统模式的墨西哥牧场小波基作为基本函数。实验表明，基函数与传统基函数相比具有良好的适应性和小误差。同时，我们可以通过沿信号剩余误差的变化趋势来确定基函数的维数。实验证明，该算法对非稳定信号的建模具有有效性和安全性。1非平稳信号模型的拟合设{x(n),n=1,…,N}是均值为零的非平稳时间序列,时变自回归过程就是用序列过去的p个样值的线性组合来拟合序列的当前值,即:式中:e(n)是均值为零、方差为σ2的平稳白噪声,{ai(n),i=1,…,p}为时变系数,p是模型阶数,则x(n)的估计值为用TVAR模型对非平稳信号建模就需要对模型的阶数和时变系数进行估计.1.1tvar模型的估计矩阵为了使TVAR模型能更准确地对非平稳信号序列建模,就要选取适当的模型阶数,阶数的选取对估计信号的准确程度有很大的影响.这里确定阶数的算法在一定程度上应用到文献中的最大似然协方差矩阵的估计方法.设x是非平稳信号,xt=[x1(t),xN(t)]T,(t=1,…,T)是长度为T的N维同分布的非平稳信号样本,它的概率密度服从均值为0、方差为RN的高斯分布.设pmax+1(假设已知)为TVAR模型的最大阶数T>pmax+1,式中:则xt的协方差矩阵为RN(p)≡ξ{XXH}.它是N维正定的埃尔米特矩阵,具有如下特性:即在矩阵[RN(p)]-1中,第t行、第k列(|t-k|>p)上的元素均为0.其估计矩阵为当T≥p+1时,R^的(p+1)维中心块矩阵也是正定的,即利用Dym-Gohberg理论可以直接由Rq(p)计算得到TVAR(p)协方差矩阵的最大似然估计:它具有如下性质:定义V^(p)是下三角矩阵,它的元素定义为式中:式中:ex是x维单位列向量.即可以得到式中:L(q)=min{N,q+p};K(q)=min{N,q+pmax}.TVAR(p)阶数的似然比可以表示为定义LR1(p)=[LR(p)]1/NT,然后即可利用ITC定阶准则的公式估计最优的模型阶数.信息理论准则是指在给定长度为T的非平稳信号的采样序列和它的含参概率密度f(x|Θ)的情况下,通过选取合适的模型,使由该模型得到的数据最合适,AIC和MDL准则对应的模型均可表示为式中:f(x|Θ)为序列的联合概率密度,Θ为参数的极大似然估计,d为偏差修正项.基于上述的推导可知适用于TVAR模型的信息理论准则的表达式为式中:式中:dpTVAR=N(2p+1)-p(p+1),即可求出模型的最佳阶数.1.2tvar模型的基函数TVAR模型的阶数确定之后,就可以估计其时变系数.模型时变系数的估计方法主要有2种:自适应方法和基函数方法.自适应方法的动态模型为该方法只适用于信号缓慢变化的情况,当信号变化较快时,该方法不能对系数进行准确的实时追踪,另外该方法对噪声也很敏感;所以这里采取基函数法来确定时变系数,即把时变系数看成是带有权重的多维基函数的线性组合:式中:fj(n)为基时间函数,aij为基函数的权值,m为模型的维数.这样对ai(n)的估计就转换为对常参数aij的估计问题.将式(8)代入式(2)中,可得预测信号的表达式为估计误差为令:A=[a10,a11,…,a1m|…|ap0,ap1,…,apm]T.利用最小二乘估计方法估计时变系数矩阵A,估计的参数A^应使估计误差的平方值最小,即令上式结果为0并对其求偏导,求得参数A^为估计出A后,根据式(8)即可求出参数ai(n)在各个时刻的值,从而可以得到TVAR的三维立体时频谱图,定义谱函数为式中:f为频率.由以上推导可知,基函数选取的好坏很大程度上影响模型参数的逼近性能,目前常应用于TVAR模型的基函数有:勒让德基函数、沃尔什基函数、DCT基函数和傅里叶基函数等;但上述基函数在使用时都需要预先知道信号的先验信息,如傅里叶基函数和DCT基函数都只适用于周期变化的缓慢信号,对于突发信号拟合的效果较差.为了缓解上述问题,这里选取小波基作为基函数,小波分析属于调和分析,具有多分辨分析的特点,它通过平移的可变窗口巧妙地利用了非均匀分布上的分辨率观察非平稳信号,在信号的高频处用窄窗,在低频处用宽窗;因此有效地提取了信号的波形特征,从而获得了信号的先验信息,所以小波分析能较好地反应信号的时频特征和系统的细节信息,所以具有广泛的应用性.由于墨西哥草帽小波具有良好的时间和频率局化能力,所以文中选择墨西哥草帽小波函数作为基函数.实验证明,它对信号的适应能力较强,二阶墨西哥草帽小波基为令l为分解层数:随着分解层数l的增大,小波基函数张成的空间代表缓变的信号,即低频信号,相反当逐渐减小时,代表的是细微变化的信号,即高频信号.令最大分解层数等于基函数的最大维数,有当l=0,1,…,s时,ψl,k(t)的伸缩就可以拟合快变和慢变的系数,从而就覆盖了从低频到高频的整个频带.由于这种基函数的使用无需已知信号的先验信息,因而具有良好的适应性.基函数的维数对时变参数的估计也有很大的影响.维数太小,则拟合的精度较低;维数太大,不但会增加计算的复杂度,还有可能出现过拟合现象,从而影响参数模型及其时频分布,所以只有选取适合的基函数的维数才能得到最好的效果.文中通过使信号系统误差最小的方法来确定基函数维数,估计误差公式为2itc法关于应力的基函数实验1采用上述基函数的方法估计非平稳信号的时变系数,这里分别利用墨西哥草帽小波基函数、傅里叶基函数和DCT基函数对一个线性调频分量与一个正弦分量的叠加信号进行TVAR建模,通过比较误差,分析3种基函数拟合的性能.采样点数N=500,采样频率fs=2000Hz.傅里叶基函数为图23种基函数拟合信号的误差(p=11,m=5)DCT基函数为由图1可知,根据ITC定阶准则,p在范围变化时,当p=11时,则满足ITC准则的表达式最小,所以模型的阶数为11.至于基函数维数的确定,如表1所示,m在范围变化时,随着维数的不断增大,MSE_x逐渐减小;但减小的幅度越来越小,所以为了既能使估计误差很小,又能减少运算的复杂度,节约存储空间,选择基函数的维数为m=5.图2是用DCT基、傅里叶基和墨西哥草帽小基函数估计信号的误差.由该图可见,DCT基的拟合误差最大,墨西哥草帽小波基的拟合误差最小.用墨西哥草帽小波基作为基函数对信号进行TVAR建模,图3是墨西哥草帽基函数,图4是模型的估计系数,图5为原信号与TVAR信号的比较图.由此可见,墨西哥草帽小波基对非平稳信号具有良好的适应能力.实验2取一段真实的语音信号,采样频率为fs=22050Hz,模型参数p=9,m=5,用TVAR模型进行拟合,由图6可见,TVAR具有很好的拟合性,适用于实际非平稳信号的分析和处理.3模型阶数和基函数维研究了非平稳随机信号的时变自回归模型的建模