初中数学等腰三角形的分类讨论

初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。遇角需讨论例1.已知等腰三角形的一个内角为75。则其顶角为（ ）A.30° B.75° C.105° D.30。或75°简析：75。角可能是顶角，也可能是底角。当75。是底角时，则顶角的度数为18n°-75°x2=3O°；当73°角是顶角时，则顶角的度数就等于75。。所以这个等腰三角形的顶角为30。或75。。故应选D。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角.再运用三角形内角和定理求解。遇边需讨论例2.已知等腰三角形的一边等于3,另一边等于6,则它的周长等于 。简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是尊腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6.则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。遇中线需讨论例3.若等腰三角形一腰上的中线分同长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm.哪一部分是12cm.因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm.底边长为形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm.底边长为ycm,x+—x=9,21“—x+y=\2.■21―1―x+—x=12,2—x+v=9.12・底边长是9cm；当腰长是8cm或IA=8,即当腰长是6cm时,b=5・底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。遇高需讨论例丄等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为43。，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为453图2中顶角为135。。B CB C图1 图2例5.为美化环境，计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为加的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析在等腰AABC中，设AB=10/n,作CD丄AB于D,由S^c=|xAB-CD=30,可得CD=6mo如下图，当AB为底边时，AD=DB=5m,所以AC=BC=ylCD2+AD2=阳伽）e如下图，当AB为腰S.AABC为锐角三角形时，AB=AC=10/n.所以AD=y/AC2-CD2=8(/7?).BD=2m,BC=y/CD2+BD2=2应(〃?)。如下图，当AB为腰且AABC为钝角三角形时.AB=BC=\0m,BD=V^C2-CD2=8(/«),所以AD=1&ruAC=ylcD2+AD2=6顷伽)。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。遇中垂线需讨论例6.在AABC中，AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角乙B= o简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1.当交点在腰AC±时，AABC是锐角三角形，此时可求得ZA=4O°?所以zB=zC=i(180°-40°)=70%2如图2,当交点在腰CA的延长线上时，AABC为钝角三有形，此时可求得ZBAC=14O°,所以丄(180