2022-2023学年湖南省衡阳市 县大云中学高三数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市县大云中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x﹣1）是奇函数，则下面结论一定成立的是（）A．f（x+1）是偶函数 B．f（x+1）是非奇非偶函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】求出周期为4，f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），∴f（x﹣2）=﹣f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4．∴f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），∴f（﹣x+3）=﹣f（x+3），∴f（x+3）是奇函数，故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且，则在上的投影为()A.

B.

C.

D.参考答案：B4.设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个参考答案：B5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知等差数列，满足，则数列的前13项之和为 A．24 B．39 C．52 D．104参考答案：C7.为球的直径，是该球球面上的两点，，若棱锥的体积为，则球的体积为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体．G8

【答案解析】B

解析：如图：由题意，设球的直径SC=2R，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则S△ABO=进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：??2R=，所以R=2，所以球O的体积为．故选B．【思路点拨】由题意求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，利用棱锥S﹣ABC的体积，求出R，即可求球O的体积．8.二项式的展开式中常数项为（

）。A．-15

B．15

C．-20

D．20参考答案：B知识点：二项式定理的应用;二项式展开式的通项公式;求展开式中某项的系数.解析：解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得r=4，故展开式中常数项为，

故选：B．思路点拨：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．9.一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（

）A．12

B．16

C．48

D．64参考答案：B10.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则参考答案：略12.在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为

．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为13.在平面直角坐标系xOy中，若曲线（a，b为常数）过点P（1，y0），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则取得最小值时y0值为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】将P的坐标代入曲线方程，求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得2a2+b2=2，再由乘1法和基本不等式可得最小值，求出取得等号的条件，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得y0=a2﹣b2，函数的导数为y′=2a2x+，由题意可得在P处的切线的斜率为2a2+b2=2，则=（2a2+b2）（+）=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=，即有a2=，b2=时，取得最小值，则y0=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．14.已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为

__________。参考答案：略15.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________．参考答案：1.【分析】由题意可得关于首项的方程，解方程可得．【详解】设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案为：1【点睛】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属于基础题．16.已知是定义在上的奇函数，则

参考答案：017.从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为．（用数学表达式表示）参考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考点】类比推理．【分析】从具体到一般，观察按一定的规律推广．【解答】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元。19.（12分）甲袋中装有1个红球，2个白球个3个黑球，乙袋中装有2个红球，2个白球和一个黑球，现从两袋中各取1个球。

（I）求恰有1个白球和一个黑球的概率；

（Ⅱ）求两球颜色相同的概率；

（Ⅲ）求至少有1个红球的概率。参考答案：解析：（I）各取1个球的结果有（红，红1）（红，红2）（红，白1）（红，白2）（红，黑）（白，红2）（白，红2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（白，红1）（白，红2）（白，白1）（白，白2）（白，黑）（黑1，红1）（黑1，红2）（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑）（黑2，红1）（黑2，红2）（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑）（黑3，红1）（黑3，红2）（黑3，白1）（黑3，白2）（黑3，黑）等30种情况其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑3，白2）8种情况，故1白1黑的概率为

（Ⅱ）2红有2种，2白有4种，2黑有3种，故两球颜色相同的概率为

（Ⅲ）1红有1×3+2×5=13（种），2红有2种，故至少有1个红球的概率为20.（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x（单位：小时）与当于投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4

（I）根据上表的数据，求出y关于x的线性回归方程；（II）预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为多少？（考点：线性回归应用）参考答案：21.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.参考答案：解法一：（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥BB1

…………2分

又∵M为CC1中点

∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形

∴EM∥FC1

…4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1

……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1

EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N

∴A1N//EM//FC1

∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理

BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角

……8分设AA1=a，则AB=2a，

∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=

又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=

…………10分在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=

即二面角B—A1N—B1的正切值为

…………12分解法二:（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a>0)，则A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）

……2分∵E为A1B的中点，M为CC1的中点

∴E（2a,a,），M（0，2a,）∴EM//A1B1C1D1

…………6分（Ⅱ）设平面A1BM的法向量为=（x,y,z）又=（0，2a,－a）

由，得

…………9分而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则又：二面角为锐二面角

，……11分从而

…………12分

22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．参考答案：【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中由条件利用二