2022-2023学年广东省东莞市黄水职业中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省东莞市黄水职业中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点到准线的距离是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.给出下列命题：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③|a|＞b?a2＞b2；

④a＞b?a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④参考答案： D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定四个不等关系的正误，可得答案．【解答】解：①a＞b?ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|?|a|＞|b|?a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b?a3＞b3，故④正确；故选：D3.在等差数列中，若，则（

）（A）45

（B）90

（C）180

（D）270参考答案：C4.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．5.反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°参考答案：B【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．6.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(

)A.

(,+￥)

B.(-￥,)

C.

(,)

D.

[1,)参考答案：7.设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为A.(0,1]

B.(0,e)

C.(1,e)

D.参考答案：D8.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（）A．y=x2 B．y= C．y=log2x D．y=（）|x|参考答案：D【考点】51：函数的零点．【分析】判断各函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性，令函数值为0，解出函数的零点．【解答】解：对于A，y=x2的对称轴为y轴，故y=x2是偶函数，令x2=0得x=0，所以y=x2的零点为x=0．不符合题意．对于B，y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不是偶函数，不符合题意．对于C，y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=log2x不是偶函数，不符合题意．对于D，﹣（）|﹣x|=﹣（）|x|，故y=﹣（）|x|是偶函数，令﹣（）|x|=0，方程无解．即y=﹣（）|x|无零点．故选：D．9.展开式中项的系数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由于，

故，则其展开式通项公式为：，令可得：r=4，则展开式中x2项的系数为：.本题选择C选项.

10.“a＜0”是“函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增，则a≤1，∴“a＜0”是“函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增”的充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设直线l1的方程为x＋2y－2＝0，将直线l1绕其与x轴交点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程为

▲

．参考答案：12.如果c是（1＋x）5的展开式中x3的系数而在总体中抽出一个样本：2，3，4，6，7，S2表示该样本的方差，S表示[(2－c)2＋(3－c)2＋(4－c)2＋(6－c)2＋(7－c)2]，则S2与S的大小关系为

参考答案：S2<S13.已知若不等式恒成立，则的最大值是_________ 参考答案：914.设x＞0，y＞0．且2x﹣3=（）y，则+的最小值为

．参考答案：3【考点】基本不等式．【分析】2x﹣3=（）y，可得x+y=3．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2x﹣3=（）y，∴x﹣3=﹣y，即x+y=3．又x＞0，y＞0．则+===3，当且仅当y=2x=2时取等号．∴+的最小值为3．故答案为：3．15.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

.参考答案：16.已知集合U=R，集合A=[－5,2]，B=(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．参考答案：[－5,1]因为，，所以或，则图中阴影部分所表示的集合为，应填答案[－5,1].17.若，，且，则的值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C：y=eax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．参考答案：考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： （Ⅰ）根据导数的几何意义，y=eax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于?x，a∈R，eax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=eax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为?x，a∈R，b＜eax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于?t∈R，b＜et﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=et﹣t的性质求解．解答： 解：（Ⅰ）y'=aeax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于?x，a∈R，都有eax＞ax+b，即?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=eax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（eax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于?x，a∈R，都有eax＞ax+b，即?x，a∈R，b＜eax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于?t∈R，b＜et﹣t恒成立，令g（t）=et﹣t，则g'（t）=et﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t（﹣∞，0）0（0，+∞）g'（t）﹣0+g（t）↘极小值↗所以g（t）=et﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评： 本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“?x，a∈R，eax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．19.如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T，与抛物线交于C、D两点，且|CD|＝|ST|．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆交于不同两点A和B，且满足(O为坐标原点)，求实数t的取值范围．参考答案：综合知t的范围为(－2，2)………………12分20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C的极坐标方程为.（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值.参考答案：（1）；;（2）【分析】（1）消参数得的普通方程，根据得的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.【详解】（1）因为，所以，即（2）因为圆心到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程是.（Ⅰ）求圆C的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.参考答案：（Ⅰ）圆:,直线：；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为普通方程，再利用普通方程与极坐标方程之间的转化公式即可得到圆的极坐标方程，化简直线的极坐标方程，利用普通方程与极坐标方程之间的转化公式即可得到直线的极坐标方程；（Ⅱ）设为点的极坐标，由，联立即可，设为点的极坐标，同理即可解得，利用即可求出。【详解】解：（I）利用，把圆的参数方程（为参数）化为，∴，即．由化简得：，则直线的直角坐标方程为:，（II）设为点的极坐标，由，解得．设为点的极坐标，由，解得．∵，∴．∴．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、普通方程转化为极坐标方程，弦长问题，考查计算能力，属于中档题。22.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）