2022年湖北省鄂州市石桥中学高三数学文期末试卷含解析

2022年湖北省鄂州市石桥中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，集合，集合，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略3.（6）已知图象不间断的函数是区间上的单调函数，且在区间上存在零点．图1是用二分法求方程近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①；

②；③；

④其中能够正确求出近似解的是（

）①、③

B．②、③

C．①、④

D．②、④参考答案：C略4.已知平面向量，，则（

）A．(－2,－1)

B．(－2,1)

C．(－1,0)

D．(－1,2)参考答案：D5.将函数的图象沿x轴方向左平移个单位，平移后的图象如右图所示.则平移后的图象所对应函数的解析式是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C略6.，方程有个实根，

则所有非零实根之积为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F等6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有（

）

A．24种

B．36种

C．48种

D．72种参考答案：B8.已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|kx﹣y≤2}，其中x，y∈R，若A?B，则实数k的取值范围是(

)A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，] D．[﹣，+∞）参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A和B均为点的集合，所以可以考虑用数形结合求解．【解答】解：集合A为单位圆上的点，集合B表示恒过（0，﹣2）点的直线一侧的区域，若A?B，如下图所示：当直线kx﹣y﹣2=0与圆相切时，k=±，故k的范围为故选C【点评】本题考查集合的关系问题，注意数形结合思想的运用．9.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为A.

B.

C. 2

D.4参考答案：D作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为.故选D.10.已知函数

则下列结论正确的是A．

B．C．函数在上单调递增

D．函数的值域是参考答案：D【考点】三角函数的图像与性质分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】结合图像知：f(x)是奇函数，且在上递减，在上递增，在上递减，且值域为。故A、C错；D对。

对B，存在x=0，使故B错；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为．参考答案：因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。12.已知sina+cosa=，则sin2a的值为_______.参考答案：略13.当x〉l时，的最小值为____.参考答案：略14.已知P,A,B,C是以O为球心的球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球的表面积等于______________________。参考答案：答案：

15.

.参考答案：

2/3

16.对于大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律．若m3（m∈N*）的分解中最小的数是91，则m的值为

。参考答案：17.i是虚数单位，计算等于

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知椭圆M：，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为．（1）求椭圆M离心率；（2）若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），由对称性得B（﹣x1，﹣y1）．将A（x1，y1）代入椭圆可得．利用斜率计算公式可得kPA?kPB=，再利用已知，a2=b2+c2及即可得出；（2）由（1）可得a2=2b2，于是椭圆方程可化为x2+2y2=a2，与直线AC的方程联立可得A，C的坐标，进而得到|AC|2，再利用基本不等式即可得出．解：（1）设A（x1，y1），由对称性得B（﹣x1，﹣y1）．将A（x1，y1）代入椭圆得，∴．∴．又，∴，∴，∴．（2）椭圆方程可化为x2+2y2=a2，联立解得，设O为坐标原点，则|OA|2=，同理可得|OC|2=．∴|AC|2=+==．当且仅当k2=1即k=±1时取等号，此时，∴a2=2．∴椭圆方程为

．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立，两点间的距离公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．19.设函数，k∈R（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间上仅有一个零点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）由解析式求出定义域和f′（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出k的范围，对k进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出f（1）和f（）、判断出符号，即可证明结论．【解答】解：（1）由得，函数的定义域是（0，+∞），=；①当k≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当k＞0时，由f′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），当时，f′（x）＞0，当时，令f′（x）＜0，所以f（x）的递减区间是（0，），递增区间是（）；…证明：（2）由（1）知，当k＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）==．因为f（x）存在零点，所以，解得k≥e．当k=e时，f（x）在（1，）上递减，且f（）=0，所以x=是f（x）在（1，]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在（0，）上单调递减，且f（1）=0，f（）=＜0，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在（1，]上仅有一个零点…【点评】本题考查求导公式、法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．20.（12分）如图，P—ABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=

（1）求证：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P—AB—C的大小；

（3）求AB的中点E到平面PBC的距离.

参考答案：解析：方法一：（1）证明：连结BD，∵D分别是AC的中点，PA=PC=∴PD⊥AC，∵AC=2，AB=，BC=∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分∴BD=，∵PD2=PA2—AD2=3，PB∴PD2+BD2=PB2，∴PD⊥BD，∵ACBD=D∴PD⊥平面ABC.…………4分（2）解：取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DE//BC，∵AB⊥BC，∴AB⊥DE，∵DE是直线PE的底面ABC上的射景∴PE⊥AB∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角，……6分在△PED中，DE=∠=90°，∴tan∠PDE=∴二面角P—AB—C的大小是（3）解：设点E到平面PBC的距离为h.∵VP—EBC=VE—PBC，∴……10分在△PBC中，PB=PC=，BC=而PD=∴∴点E到平面PBC的距离为……12分方法二：（1）同方法一：（2）解：解：取AB的中点E，连结DE、PE，过点D作AB的平行线交BC于点F，以D为原点，DE为x轴，DF为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D（0，0，0），P（0，0，），E（），B=（）设上平面PAB的一个法向量，则由这时，……6分显然，是平面ABC的一个法向量.∴∴二面角P—AB—C的大小是……8分（3）解：设平面PBC的一个法向量，由得令是平面PBC的一个法向量……10分又∴点E到平面PBC的距离为………………12分21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，点O，M分别为AD，PC的中点，.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PA与平面OBM所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：因为底面为菱形，，所以是正三角形.因为为的中点，所以.因为，，所以.又因为，所以是正三角形.因为为的中点，所以.所以是平面与平面所成的平面角.因为，所以平面与平面所成的平面角为.即平面平面.（Ⅱ）解：分别以，，为，，轴建立如下图所示的空间直角坐标系：不妨设，则点，，，，，.则，，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.22.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.049.95

经计算得，，，，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，抽取次序，样本的相关系数.（1）求的相关系数r，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.参考答案：（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09.【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；（ii）代入公式计算即可．【详解】(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，所以样本(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r