2022-2023学年河北省保定市祖冲之中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年河北省保定市祖冲之中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可．【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：，故选：C．【点睛】本题主要考查了古典概型定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．2.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（

）

A.

B.1

C.

D.参考答案：C3.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是(

)A.

B.，则C.，则

D.，则参考答案：B略4.下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；（4）设随机变量服从正态分布；若，则（

）A．4

B．

3

C．

2

D．1参考答案：B（1）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，故（1）错误；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，数据的离散程度不变，则样本的方差不变，故（2）正确；（3）根据残差的定义可知，在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，预测值与实际值越接近，其模型拟合的精度越高，（3）正确；（4）设随机变量服从正态分布，若，则，则，则，故（4）正确，故正确的命题的个数为个，故选B.

5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+ B．6 C．4+ D．6参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．6.集合M={x|x=+1,n∈Z}，N={y|y=m+,m∈Z}，则两集合M，N的关系为（）A．M∩N=? B．M=N C．M?N D．N?M参考答案：D【分析】对集合M中的n分奇数、偶数讨论，然后根据元素的关系判断集合的关系．【解答】解：由题意，n为偶数时，设n=2k，x=k+1，当n为奇数时，设n=2k+1，则x=k+1+，∴N?M，故选D．【点评】本题主要考查集合关系的判断，利用集合元素的关系判断集合关系是解决本题的关键．7.如图，将的直角三角板ADC和的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中的直角三角板的斜边AC与的直角三角板的所对的直角边重合，若，则x，y分别等于()

A．

B． C．

D．参考答案：B8.函数f(x)＝－x3－ax2＋2bx(a，b∈R)在区间[－1,2]上单调递增，则的取值范围是()．A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－1,2)参考答案：A9.设α为钝角，且3sin2α=cosα，则sinα等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可求sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵α为钝角，sinα＞0，cosα＜0，∴3sin2α=cosα，可得：6sinαcosα=cosα，∴sinα=．故选：B．10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A．

B．

C．

D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是_______．参考答案：(－1,1) 12.抛物线的准线方程为___________.参考答案：

13.在中，角所对的边分别为．若，的面积，则的值为_____________．参考答案：

考点：余弦定理

14.平面内不共线的三点O，A，B，满足，，点C为线段AB的中点，若，则

．参考答案：或∵点为线段的中点，∴，，解得，∴．15.在无穷等比数列{an}中，等于__________。参考答案：16.已知（其中a、b为非零实数）与圆相交于A、B两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_________.参考答案：1

c===1【知识点】微积分基本定理B13∵直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d==，化为2a2+b2=8．∴=（）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+4）=1，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴的最小值为1．故答案为：1【思路点拨】先求出c，再由直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d=，可得2a2+b2=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．17.已知向量，，若，则的最小值为

参考答案：9【知识点】基本不等式E6由得=0，，（）.（）=5++5=9【思路点拨】由得=0，，后利用重要不等式求出。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…，第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示（I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；（II）现从及格的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？附：P（K2≥k0）0.010.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635参考答案：【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，计算平均数即可；（Ⅱ）根据分层抽样原理计算从这四组中分别抽取的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算平均数为=（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；…（Ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四组学生的频率之比为0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1，按分层抽样应该从这四组中分别抽取30，25，10，5人，依题意，可得到以下列联表：

男生女生合计优异415一般（及格）323365合计363470，对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．…19..已知函数（1）若（2）若（3）是比较的大小并证明你的结论。

参考答案：(1)f（x）在（0，1）内单调递减，在【1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）有最小值f（1），且f（1）=0(2)则在区间上是单调递增的，当时，，则在区间上是单调递减的(3)略解析：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1﹣lnxf′（x）=1﹣=≥0∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的当0＜x＜1时f（x）=1﹣x﹣lnxf′（x）=﹣1﹣lnx＜0∴f（x）在区间（0，1）上是递减的f（x）在（0，1）内单调递减，在【1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）有最小值f（1），且f（1）=0（2）由(1)若当时，，则在区间上是单调递增的，当时，，则在区间上是单调递减的(3)由（1）x＞1时，有x﹣1﹣lnx＞0即＜1﹣∴1﹣=n﹣1+（）＜n﹣1﹣（）=n﹣1﹣（）=n﹣1﹣（）=

略20.已知数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）首先利用Sn与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；结合已知条件等式推出数列{an}是等比数列，由此求得数列{an}的通项公式；（2）首先结合（1）求得bn=log2an=log22n=n，cn=an?bn=n?2n，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为，可得an﹣Sn﹣1=2，n≥2，相减可得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，即为an+1=2an，由a2﹣S1=2，即为a2﹣a1=2，可得a2=4，an+1=2an，对n为一切正整数均成立，则数列{an}为等比数列，且首项为2，公比为2，则an=2n；（2）bn=log2an=log22n=n，cn=an?bn=n?2n，所以前n项和Tn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n，2Tn=1?22+2?243+3?24+…+n?2n+1，两式相减得﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1，化简可得Tn=2+（n﹣1）?2n+1．21.为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分.

（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．参考答案：略22.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若