2022年湖南省怀化市湘维有限公司子弟学校高三数学理下学期期末试题含解析

2022年湖南省怀化市湘维有限公司子弟学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是平面区域内的动点，向量=（1,3），则的最小值为（

）A.-1

B．

-12

C.

-6

D．-18参考答案：D2.若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4参考答案：D【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．3.函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则方程f（x）=m有两个零点的实数m的取值范围是（）A.（﹣6，6）B.（﹣2，6）

C.（﹣6，﹣2）D.（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）

参考答案：C略4.函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为…………………（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B5.口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，易得口袋中有6个球，其中红球和白球共有4个，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是=；故选D．6.式子的值为（

）A．

Ｂ．

Ｃ．

D．参考答案：A略7.是函数为奇函数的（

）．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为595，245，则输出的a=（）A．490 B．210 C．105 D．35参考答案：D【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，可得答案．【解答】解：辗转相除法是求两个正整数之最大公约数的算法，595=245×2+105，245=105×2+35，105=35×3，所以a=35，故选D．9.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C

【知识点】函数与方程B9解析：令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.当时，易知临界位置为过点和，分别求出这两个位置的斜率和，由图可知此时当时，设过点向函数的图象作切线的切点为，则由函数的导数为得解得，得切线的斜率为，而过点的斜率为，由图知此时，【思路点拨】令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.然后对m分类讨论.10.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A．

B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的不等式的解集为，则实数

．参考答案：12.如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则

．参考答案：试题分析：设方格边长为单位长.在直角坐标系内，，由得，所以，解得，所以，.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理.13.如图，△ABC中，，D为边AB上的一点，，，，则AC=

．参考答案：

14.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．参考答案：15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为

．参考答案：16.设变量满足约束条件，则的最小值是

．参考答案：

17.

曲线y=x3在点（1，1）切线方程为___________________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（05年全国卷Ⅰ理）（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到）参考答案：解析：（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，所以甲坑不需要补种的概率为

3个坑都不需要补种的概率恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为3个坑都需要补种的概率为补种费用的分布为0102030P0.6700.2870.0410.002的数学期望为19.设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；（Ⅱ）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域；（Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为R上的奇函数，可求得k的值，即可得函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（Ⅱ）根据f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用换元法，将函数g（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；（Ⅲ）根据a=3，将f（3x）≥λ?f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t2+3对t恒成立，利用二次函数的性质，求得t2+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x，∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+），∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去），则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），x∈[﹣1，1]，令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，由（1）可知该函数在区间[﹣1，1]上为增函数，则t∈[﹣，]，则y=h（t）=t2﹣2t+2，t∈[﹣，]，当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，]，（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在x∈[1，2]时恒成立令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则t，则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），x∈[1，2]恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立，λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．参考答案：解：（I）因为，所以．又==+=．（II）由已知得，又因为，所以．又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．此时．所以△ABC的面积的最大值为．略21.已知向量，，且.（1）当时，求;

（2）设函数，求函数的最值及相应的的值.参考答案：所以，当时，.，当，即时，；当，即时，.略22.(13分)

已知函数（1）

求在处的切线方程（2）

若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；（3）

求方程的根的个数.参考答案：解析：（1）

且

故在点处的切线方程为：

………3分

（2）由得，

故仅有一个极小值点，根据题意得：

或

………6分

（3）令

当时，