2021高考数学（理）真题评析（全国乙卷带解析）

2021高考数学真题名师评析全国乙卷理带解析）

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一、武卷使用地区

2021年全国乙卷由原来的全国I卷及II卷合并而成，使用地区为安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑

龙江、吉林、宁夏、青海、新强、内蒙古

二、武卷尾坪

2021年高考数学全国乙卷理科命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特

点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观.试题运

用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科

素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同,增强理

想信念与爱国情怀.如第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力；第

9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题

的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导

考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械

刷题”现象.2021年高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查

考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能.第16题考查考生的空间想象能力，有多组正确答

案，有多种解题方案可供选择.全国乙卷理科命题注重理论联系实际,体现数学的应用价值，并让考生感悟到数

学的应用之美.理论联系实际的试题,体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点，有机渗透数学建模、数

据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义.如第17题,以芯片

生产中的刻蚀速率为原型,设计了概率统计的应用问题，考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用，引导考

生树立正确的人生观、价值观.总之,2021年高考数学全国全国乙卷理科很好地落实了立德树人、服务选才、

引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革

发挥了积极的导向作用.

三、考点分布细目表

题号命题点模块（题目数）

1复数的概念与运算复数（共1题）

2集合的交集运算集合（共1题）

3复合命题真假的判断逻辑用语（共1题）

4函数的奇偶性函数（共3题）

5异面直线所成的角立体几何（共3题）

6排列组合概率与统计（共3题）

7三角函数的图象与性质三角函数与解三角形（共3题）

8几何概型概率与统计（共3题）

9三角函数的应用三角函数与解三角形（共3题）

10函数的极值导数（共2题）

11椭圆解析几何（共3题）

12比较函数值的大小函数（共3题）

13双曲线的几何性质解析几何（共3题）

14平面向量的数量积及坐标运算平面向量（共1题）

15解三角形三角函数与解三角形（共3题）

16魂见四立体几何（共3题）

17样本的数字特征概率与统计（共3题）

18几何体棱长的计算与线面角立体几何（共3题）

19等差数列的证明与求通项数列（共1题）

20导数的应用1.函数（共3题）

2.导数（共2题）

3.不等式（共1题）

21抛物线与面积最值解析几何（共3题）

22极坐标与参数方程选修4-4

23绝对值函数的图象及恒成立问题选项4-5

四、武题深度解读

1.设2（z+z）+3（z-z）=4+6i^ijz=（）

A.l-2zB.l+2zc.1+zD.1-i

【命题意图】本题考查复数的概率与运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【答案】C

【解析】

解法一：设z=a+6,则三=a_4，则2(z+z)+3(z-z)=4a+6bi=4+6i,

4。=4

所以X/,/,解得a=/?=L因此,z=l+i.故选C.

6b=6

解法二：因为2(2+2)+3(2-2)=4+6，,所以52-2=4+60所以52-2=4-6。

15z-z=4+6z'

由1{一，得z=l+i,故选C.

[5z-z=4-6/

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，考查热点一是复

数的概念与复数的几何意义，如复数的模、共施复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.

今年复数的考查回避了往年考查的热点：复数的除法运算,重点考查复数相等、复数的共辄复数及方程思想

在求值中的应用.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作

另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的舞写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化筒，一般化为“十齿(a/GR)的形式，再结合相关

定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi(a,〃GR)的形式，再结合

复数的几何意义解答.

2.已知集合5={5k=2"+1,〃€2},7=卜,=4〃+1,”62},则5?7()

A.0B.SC.TD.Z

【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【答案】C

【解析】

解法r集合S是奇数集，集合T是由部分奇数构成的集合,7望S.所以Sf]T=T,故选C.

解法二：由5eS.5eT.可得5eSDT,排除A,由由3e5,3eT,可得3史S，可排除B,由2eSC|T.可排

除D,故故选C.

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置匕考查热点一是集

合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，这种考查方式多年来保持稳定.

【知识链接】

1.求解集合的运算问题的三个步骤：

(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等，如{x|_y=7U)},{yly=/(x)},{(x,y)ly=/5)}三者是不同的.：

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

2.1x|x=2n+l,neZ|=|x|x=2n-l,nGZ}={x|x=4〃±l,〃eZ}；

3.已知命题p:eR,sinx<1；命题q:WxwR,21,则下列命题中为真命题的是()

A.P^QB.~P^QC.D.「(pvq)

【命题意图】本题考查全称命题、特称命题及复合命题真假的判断，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难

度：容易

【答案】A

【解析】由于sin0=0,所以命题P为真命题；由于y=e'在R上为增函数,国A0,所以2e°=1,所以命

题9为真命题；所以P八夕为真命题，故选A.

【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年必考题，如程序框图及线性规划,受新教

材的影响，这些内容的考查热点有所降低，如程序框图及线性规划在本套试卷都没有涉及，但不要认为新教材

删除的内容都不考，如本题的复合命题真假的判断及16题中的三视图都是新教材删除的内容.

【知识链接】l.“pVg”“pAg”“「p”等形式命题真假的判断步骤

(I)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、g的真假；

(3)确定“p/\q”“pVq”“等形式命题的真假.

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(IRVq：p、g中有一个为真，则pVg为真,即有真为真；

(2)p八q：p、q中有一个为假，则pAq为假,即有假即假；

(3)「p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.

1—Y

4.设函数/(x)=——，则下列函数中为奇函数的是()

1+X

A/(x-l)-lB./(X-1)+1C./(X+1)-1D./(X+1)+1

【命题意图】本题考查函数图象的平移及函数图象的对称性.难度：容易

【答案】B

1-r2

【解析】由题意可得/(x)=--=-1+——.

14-X1+X

对于A,/(x—1)—1=2-2不是奇函数：

X

2

对于Bj(x—1)+1=一是奇函数；

X

2

对于C,/(x+l)—l=-----2,定义域不关于原点对称,不是奇函数；

x+2

2

对于D,/(x+l)+l=——，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B

x+2

【点评】函数的奇偶性如单独命题一般为容易题,此类问题考查热点是判断函数的奇偶性；给出奇函数在一

个区间上的解析式，求函数值或函数在另一个区间上的解析式；根据函数的奇偶性求参数取值等，如与函数的

其他性质综合在一起考查，一般为中等题.

【知识链接】

1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数7U)是偶函数，那么,/(X)=/(国).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇、奇=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇.

(4求x)为偶函数弓(x)=A㈤).

(5)若奇函数在x=0处有意义，则.*0)=0.

2.常见的奇函数与偶函数

37

=I；5；)”>/L根#0)，丁=:+；S>0,a/1),y=log„px2+1->Q,a丰1),

y=—^+3(。>0,.*1)是奇函数,》=ax+q-*(a>0,aw1),y=log”(1+a")->(),aH1)是

偶函数

5.在正方体488-4耳&〃中/为BQ的中点厕直线必与A"所成的角为()

【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等偏易

【答案】D

【解析】

解法一：如图所示，连接BCt,BCt，则NPBC1就是直线PB,AD,所成的角，易得PB±PC,，且BCt=2PQ,

TT

所以NP8G=—.故选D.

6

解法二：以点D为坐标原点，直线DA.DC.DDJ分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。一盯z,设AB=1,

则3(1,1,0),0,0),〃(0,0,1),所以而=.碣=(一1,0,1),

_3

=3,所以。=乡,故选D.

设直线房与A"所成的角为,则cos。=2

画阿26

【点评】客观题中求异面直线所成的角，一般用几何方法，有时也可以用空间向量.

［知识链接］

1.用几何法求两异面直线所成角的方法可概括为：平移定角，连线成形，解形求角，得钝求补.

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直

线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）两异

面宜线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配

到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【命题意图】本题考查排列组合，考查数学应用及逻辑推理素养,难度：中等偏易

【答案】C

【解析】先把5名志愿者分为4组，再把4组志愿者分配到4个项目，不同的分配方案种数为共有C；&=240.

故选C.

【点评】本题是一道排列组合基础题，但也是一道易错题，常见的错误解法是：如先选4名志愿者各分配1个

项目，再把最后1人任意分配，得到错误种数为4C：=48().

【知识链接】

1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素

优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.“含有''或

"不含有''某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,

再从剩下的元素中去选取."至少''或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至

多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆

向思维，用间接法处理.

2.分组、分配问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题

①对于整体均分,解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后一定要除以A；；(〃为均

分的组数)，避免重复计数.

②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有，"组元素个数相等，则分组时应除以，加,

分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.

③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.

7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移§个单位

长度，得到函数y=sin(x-f］的图像，则/(x)=()

71

D..si(nC2x-\-----

I12

【命题意图】本题考查三角函数图象的平移，考查宜观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

【答案】B

【解析】

解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到y=/(2x)的图象，再把

所得曲线向右平移?个单位长度，得到y=/[2上一]）的图象，所以/[2卜一（1|=sin（x-?J,

令，=2.-乱则x=*g,x—?所以〃f）=sin仁+"所以〃x）=sinK+"故选

\-J/ND乙\乙）、乙'乙）

B.

解法二：由函数丁=411（尤一£]逆向变换,第一步：向左平移2个单位长度,得到

I4J3

y=sin（x+q-?）=sin（x+V）的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,

【点评】本题易错之处是函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到

y=f（2x）的图象，再把所得曲线向右平移。个单位长度，误以为得到得到y=的图象,

【知识链接】

1.函数y=Asin（s+3）+k图象平移的规律：“左加右减,上加下减”.

2.由y=sincox到了=5皿（5>+勿）（0）>0,8>0）的变换：向左平移券个单位长度而非（p个单位长度.

7

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数,则两数之和大于一的概率为（）

4

723-92

932329

【命题意图】本题考查几何概型，考查直观想象的核心素养.难度：中等偏易

【答案】B

7

【解析】设xw（O,l）,yw（l,2），如图所示，由儿何概型概率计算公式可得x+y>：的概率为

,133

1--X-X—

―「_^=生，故选B.

132

【点评】求解本题的关键是把所取的两个数视作X,又然后把点（x,y）看作点，再利用面积测度求概率.

【知识链接】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,

把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E,4,G在水平

线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”,EG称为“表距”,GC和

EH都称为“表目距”,GC与E/7的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=()

A表高x表距D表高x表距

,表目距的差-F,表目距的差一弋力

表高x表距表高x表距

C.+表距D.

表目距的差表目距的差

【命题意图】本题考查测量问题与数学文化，考查直观想象与数学建模的核心素.难度：中等

【答案】A

【解析】如图所示:

npEHFGCG

由平面相似可知,一=——,—=—，而=所以

ABAHABAC

DEEHCGCG—EHCG—EH

，而CH=CE-EH=CG-EH+EG,

AB~AH~AC~AC-AH-CH

CG-EH+EGEGxDE表高X表距

即AB=xDE=+DE=+表IWJ.故选A.

CG—EHCG—EH表目距的差

【点评】本题涉及的是我国占代数学文化,求解过程中用到了比例关系式与方程思想，但没有涉及到高中数学

知识.

【知识链接】《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为

《重差》.唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式.研究的对象全是有关高与距离的测量,所使用的工具

也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒.有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中

的正余弦概念.所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远.

此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆.刘徽也曾对九章算数重编并加

以注释.全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远，故得名.

10.设GH0,若x为函数/(x)=a(x—a)2(x—3的极大值点，则()

A.a<hB.a>bC.ah<aD.ab>a

【命题意图】本题考查导数的应用，考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等

【答案】D

【解析】

解法一：因为=Q(X-Q)2(x-Z?),所以=a(x-q)(3x-a—2〃)，

a>0(a<0八八

/、a>0a<0

因为工=«为f(x)的极大值点，所以｛〃+或1。+2〃，即｛或｛，故选D.

解法二：若.=。.则/(力二双》一班为单调函数，无极值点，不符合题意，故/b.

.-./(X)有X=。和X=。两个不同零点，且在X=a左右附近是不变号，在X=b左右附近是变号的.依题意,

X="为函数y(x)=a(x-ti)2(x-b)的极大值点，，在x=。左右附近都是小于零的.

当"0时，由x〉bJ(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故">/.当。>0时，由龙>/,吐/(兀)>0,画出了(尤)的图象如下图所示:

由图可知b>a.a>0,故〉/.综上所述,ab>a2成立.故选D.

【点评】忽略对a的符号的讨论，是本题易出错误.

【知识链接】

1.求函数/U）极值的一般解题步骤

（1）确定函数的定义域；②求导数/（X）；③解方程八x）=0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验/（X）在/（X）

=0的根加左右两侧值的符号.

2.根据函数极值情况求参数的两个要领

（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

（2）验证：求解后验证根的合理性.

3.若“X）在x=/可导，则/'（%）=0是“X）在X=%处取得极值的必要不充分条件.

11.设B是椭圆C：=1（。>。>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足IPB区2b，则c的离心率

的取值范围是（)

B・加心V2

A.C.0,--D.。，；

制I2

【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：中等偏难

【答案】C

【解析】

22

解法•：设/事,为），由3（0,8）,因为其+等■=192=》2+。2,所以

ab

2

\PB\~+(y0-by=a1一居+(%一匕了=一**+勺］+勺+〃+〃,

、")"IC)C

因为RW%W"当一。4，即/»‘2时，归到1=4/,即归功冰=2。.符合题意，由户>W可得

«2>2c2,BP0<e<—；当一耳>一人即从<。2时,|PB「=^r+a2+b2^^r+a2+b2<4〃,化简得,

2*1

2C「axc2,2

卜2—wo,显然该不等式不成立.故选C.

解法二：设P(izcos0,bsin，则忸用=Ja2cos。6+(bsin6-垃

=^(h2-a2)sin26-2b1sin0+a2+h2

-------------------------I7r24-

tz2)sin20-2b2sin^+^z2+/?2=(b2-a2}sin^+—+—^―y

7Y\a2-b2)a2-b2

因为加—/<0,所以当0〈/号41时sine+滔异=0时|PB|取得最大值

，整理得a2=2b2，此时椭圆C的离心率e=-14

当昌〉1时.’=一1时|期取得最大值2"由号>1得/<2火此时椭圆C的离心率

1—5<――，乂e>0，故选C.

a22

【点评】求解本题的关键是利用函数思想求|尸目的最大值.

【知识链接】圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,

即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最

值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式）,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

12.设。=21111.01/=山1.()2.°=7^5?—1.则()

A.a<h<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【命题意图】本题考查利用构造函数及利用函数单调性比较大小，考查逻辑推理及数学运算的核心素养素养.

难度：难

【答案】B

【解析】设/(x)=ln(l+x)-Jl+2x+1(x>0)，则f'(x)=-.....=/1-,1

')'"，''1+xVl+2x,1+2尤+丁Jl+2x

<0,所以/(%)在(0,+8)上是减函数，所以/(0.02)</(0),即〃一c<0,所以c>〃，同理设

______2299

g(%)=21n(1+x)-yjl+4x+1(0<x<1),则f'(x]-------,/--广,因为

'''''7V71+xJl+4xVl+2x+x2Jl+4x

1+2X+X2-(1+4X)=X(X-2)<0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以

/(0.01)>/(0),即a—c>0,所以a>c,故选B.

【点评】构造函数，然后利用所构造的函数解决问题是近几年的高考热点，求解这类问题的关键是洞悉条件中

不同式子的相同结构，

【知识链接】比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性,引入中间量；有时也可用数形结合的方法,

解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幕函

数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量,一般选0或1.对于复杂的数与式大小的比较可通过

观察式子结构构造函数，此外还可以通过作差比较大小，或利用不等式的性质及基本不等式比较大小.

2

13.已知双曲线C：工—V=1(m>0)的一条渐近线为Gx+my=0,则c的焦距为.

m

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

【答案】4

【解析】由渐近线方程Jix+my=()化简得y=-且x,即2=@，同时平方得与=乌，又双曲线中

mamarrr

/=也/=1,故弓.=解得〃?=3,m=()(舍去)，c2=/+E=3+i=4nc=2.故焦距2c=4.

mm

【点评】双曲线的几何性质是高考考查热点，但单独考查，一般为容易题，若与直线、圆等其他曲线结合在一起

考查，常作为客观题的压轴题.

【知识链接】

1.与双曲线,一乐=1(〃>0力>0)有共同渐近线的方程可表示为f(#0).

2.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线,一&=1(a>0力>0)中，离心率e与双曲线的渐近

线的斜率左=]满足关系式e2=l+K

14.已知向量a=(1,3),1二(3,4)，若(a-1反则A=

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算，考查数学运算的核心素养.难度：容易

3

【答案】-

【解析】因为£-萩=(1,3)—4(3,4)=(1—343—42),所以由方可得，

3(1—3冷+4(3—42)=0,解得几=：

【点评】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的

数量积，可以是容易题，也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于常

规题型，难度与课本练习中的基础题相等，且学生训练比较多，所以此题属于得分题.

【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略

①求两向量的夹角：cos0=j^而,要注意0仁［0,兀］.

②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：aLb<^a'b—Q<^a—b\—\a+b\.

③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：。2=。S=|〃|2或⑷=五^;|4±旬=供〃2±2°协+〃；若a

=(x,y),则同K^+y2.

2

15.记AABC的内角A.B.C的对边分别为〃力了,面积为由,B=60°,a2+c=3QC,则b=.

【命题意图】本题考查余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：容易

【答案】2及

【解析】由题意,5,“」"3118=且比=6，所以比=4,/+02=12.

A/ADC24

所以/?2=a2+c2-2accosB=12-2x4x'=8,解得力=20.

2

【点评】填空题是历年得分率最低的一类题型，得分率低的一个主要原因是填空题没有中间分，一步出错，就得

零分，所以做填空题一定要力求准确，并按照要求答题，也许是为了提高填空题的得分率吧,本卷前3道填空题

都比较简单，运算量也比较小.

【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧

(1)求边：利用公式。=缥普力=噜牛,。=等普或其他相应变形公式求解.

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=呼与sin8=粤4;山•或其他相应变形公式求

解.

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.

(4)灵活利用式子的特点转化：如出现。2+序一/=助/，形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次

式用正弦定理.

16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视

图和俯视图的编号依次为.(写出符合要求的一组答案即可).

H----2-H

图⑤

【命题意图】本题考查三视图，考查直观想象及逻辑推理的素养.难度：中等偏易

【答案】③④(答案不唯一)

【解析】由正视图与侧视图同高，可得侧视图为②或③,若侧视图为②，结合正视图可得该三棱锥的右侧面与底

面垂直，俯视图为⑤，若侧视图为③,结合正视图可得该三棱锥的右侧有一条侧棱与底面垂直，俯视图为④

【点评】有关三视图的试题，往年大多为选择题，且多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年试题有所创新,

考查三视图的识别，且与新高考中的多选题很靠近，但难度依然不大，总的来说，本试卷填空题难度比较小，对大

多数考生来说，这四道题都属于得分题.

【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能

看到的部分用虚线表示.

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式,

然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是

否符合.

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间

想象将三视图还原为实物图.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台

新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和］,样本方差分别记为s：和s；.

(1)求

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果了—亍22,反应■，则认为新

\10

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）.

【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用，考查数据分析与数学运算的核心素养.难

度：容易

-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

[解析]（I）x=-------------------------------------------------=10.

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=--------------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八

5.=-----------------------------------------------------=0.036,

110

0.22+0.12+O.22+O.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+()2?

=0.04.

10

(2)依题意,)—嚏=0.3=2x0.15=2,0.152=270.0225-2J竺笑吧=270.0076.

3―IN2、住且,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

Vio

【点评】本题属于基础题，主要考查考生的运算能力，运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点，在

高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多，高考命题没有固定的热点，一般情况下，统

计与概率、随机变量的分布列都会涉及，客观题至少会有2道.

【知识链接】

1.标准差与方差

标准差：S=yl~[X]—X2+X2-X2+...+jt„—X2],

方差：$2=%（加-X）2+（X2—x）2+…+（X"-X）2]（X"是样本数据,"是样本容量,X是样本平均数）.

2.有关平均数、方差的一些结论

若数据X1,X2,…,X”的平均数为方差为S2.

则axi,ax2,…,axn的平均数为ax,方差为a2s

22

数据mx।+a,inx2+a,...,mxn+a的平均数为/“x+a,方差为ms.

3.众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系

（1）众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中,

最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形底面4BCDP£>=£)C=1,M为6c的中点，且

PB1AM.

(1)求8C；

(2)求二面角A—PM—8的正弦值.

【命题意图】本题考查几何体中基本量的计算及二面角的计算，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度:

中等

【解析】

解法一：(1)连接BD,因为P£)_L底面ABCO.AMu平面ABCD,所以

因为P8AM.且P8D=P，所以AM±平面PBD,

因为BOu平面PBD,所以所以tanNA8DtanN8AM=4^-g^=/.J=l,

ABAB11

所以3C=J5;

(2)以点。为坐标原点,D4、DC、OP所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系

D-xyz,

[p

y

B

(应\

则£＞（0,0,0）、尸（0,0,1）、B（V2,l,0）、M—,1,0、A(&,0,0'则/=(_夜,0,1)

I2J

V2—

AM=——,BMro

2

7

m-AM=~~^~x\+M=0

设平面PAM的法向量为w=（%,y,zj,由＜

m•AP=-垃%+Z]=0

取玉=JL可得正=（JI1,2）,

——V2

HBM=--x,=0

设平面PBM的法向量为〃=（工2，%/2）,由＜2-

z=

n-BP=-\[2X2-y2+2^

取出=1,可得：=(0,1,1),

m-n33V14

COS<n〉=TTzn_rzr——尸产"

网v7x>/214，

—-I~二二,70

所以,sin<m,n>=5/l-cos<m,n>=——,

因此，二面角A-PM-B的正弦值为叵.

14

解法二：（1）•.•「£），平面ABC。,四边形ABC。为矩形，不妨以点。为坐标原点,D4、DC、0P所在直

线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。一乎，

设3c=2。,则。（0,0,0）、P（0,0/）、B（2a,l,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

则丽=(2a,1,T),加=(一a,1,0),

PBLAM厕P月.AM=-2a2+1=0，解得a=—，板BC=2a=丘;

2

f_V2、

(2)设平面QW的法向量为五=G，x，4),则加1,0,AP=(-V2,o,l).

2

7

[___V2八

m,AM=----x+y.=0；—―//一\

由，21，取的=VL可得/〃=(J2,1,2),

in-AP--\/2x+Z]=0

i、

_显,0,0，丽=(-&,-1,1),

设平面PBM的法向量为H=(X2,Y2,Z2).BM=

7

1

n-BM=--^-x7-0

由v2-，取必=1,可得〃=(0,1,1).

n-BP-->/2x2一%+Z2=0

m-n33x^4

cos<m,n>=

|m|-|n|A/7x^214，

所以,sin<m,n>--\/l-cos2<m,n>A/70

IF

因止匕二面角A—PM—3的正弦值为叵.

14

【点评】本题第1问，虽然是求BC的长，实质是垂直关系的证明与应用，第2问求空间角般用空间向量求，

该问失分主要原因是运算失误.

【知识链接】利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到

二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,

则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21

19.记S„为数歹ij｛a,,｝的前n项和也为数列｛S,,｝的前〃项积，已知—+—=2.

(1)证明：数列｛2｝是等差数列；

(2)求｛4｝的通项公式.

【命题意图】本题考查等