2021届高三全国卷Ⅱ高考压轴考试卷数学（理）试卷及解析

2021年2021届高三全国卷II高考压轴考试卷

数学（理）试卷

★祝考试顺利★

（含答案）

第I卷（选择题）

一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符号题目要求的

1.已知集合彳={1,2,3},B={x\（x+1）（x-2）＜0,xG4,贝IJ4U8=（）

A.{1}B.{1,2}

C.[0,1,2,3)D.{-1,0,1,2.3}

2.命题“Vx.O,”)，e'21+sinx”的否定是(

)

A.VxG[0,+OO),e*<1+sinxB.Vx纪[0,+oo),ex>1+sinA:

C.HrG[0,+oo),e*<l+sinxD.[0,+co),e*<1+sinx

1_z_j

3.设复数z满足汇一'，则z的虚部为（）

A.-2B.0C.-1D.1

4.函数y=Asin（8+@的部分图象如图所示，则

71

A.y=2sin(2x-—)

TT

B.y=2sin(2x-y)

IT

C.y=2sin(x+—)

jr

D.y=2sin(x+—)

x>l

5,若实数x,y满足约束条件x+y42,则2x+），的最大值是（）

x-3y<0

77

A.§B.3C.-D.4

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

1I1

俯视图

97r9左

A.---F18B.----h36C.187r+18D.187r+36

22

7.在RtZk/861中，AB=AC=1,点。满足8万=26,则而.而=()

A-1B.--C.-D.1

33

8.已知圆x2+V_2x+2y+a=0截直线x+y—4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围

为()

A.(2-Vn,2+Vi7)B.(2-717,2)

C.(-15,-KO)D.(-15,2)

9.我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益

的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解

九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉

及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数

学的高峰.某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到

的书的书名中有“算”字的概率为（）

5157

A--

B.29-D.9-

18

10.已知等比数列｛a』的各项均为正数,且l°g34+log3a2+...+log3«9=9则

4%+"4a6=

A.6B.9C.18D.81

11.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在O内应填入（

)

A.j>8?B.i>9?C.i>10?D.All?

12.定义在R上的函数,'=〃'），当x"］时，"加产且对任意实数

x-2,2人5—2］伏eN42）,都有小）=万/（万一）若g（x）=/⑴一电》有且仅有5个

零点，则实数a的取值范围是（）

A.（师，侬）B,晔，师）

C.（V10,^/484）D.（V100,^/484）

第11卷（非选择题）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13,已知向量公=（1，加）=（-2,3）,且£//瓦则加=

14.某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a（a为整数）即为

优秀，如果优秀的人数为20人,则a的估计值是_______.

频率/组距

0.030........................—

0.022........................................

0.018..............1-----

0.015.................................................

0.010..........................——

0.005:1——

090100110120130140150分数

22

工-匕=1

15.已知4,人分别是双曲线c：«2b2的左，右顶点，尸为左焦点，以44为直径的圆与

双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于优力两点，若加〃QN,则该双曲线

的离心率为.

16.已知三棱锥S-4比的底面是以48为斜边的等腰直角三角形，A8=6,SA=SB=SC=6,

则三棱锥的外接球的球心到平面486'的距离是.

三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个

试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）

（一）必做题

S=2

17..已知等差数列｛d｝满足％=2,前3项和'2.

（1）求｛，｝的通项公式；

⑵设等比数列同满足〃=4,b4=al5,求同的前〃项和

2J_

18.甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为乙投篮一次命中的概率为万，若甲、

乙各投篮三次，设才为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相

互没有影响.

（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；

（2）求才的分布列及数学期望.

19.如图，在三棱锥P-4861中，D、E分别是48、”1的中点，且PE_L平面48C

(1)求证：BC//平面PDE；

(2)求证：ABJ_平面月CE

C:~+^r=l(a>b>0}e=B

20.已知椭圆。b2'左、右焦点分别为£,号且满足离心率2,

山鸟|=46，过原点0且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C于肌力两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A(2,l),求AAMN面积的最大值.

21.已知/@)=3'+(2。一1"'-x,a为常数.

(1)讨论H)的单调性;

(2)若％之0时，/(x)»(3a-l)cosx恒成立，求实数a的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

1

x=t+-

<t

y=2(/——)

22.在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线G：I'(t为参数)上的动点，以坐标原点

2

p=----------------

0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为：sin。-3cos6

(1)求曲线*G的直角坐标下普通方程；

(2)已知点。在曲线6上，求|R2|的最小值以及取得最小值时。点坐标..

23.已知函数/(力=凶+2卜一4("°).

(1)当”=1时，解不等式/(x)W4；

(2)若不等式“x)24对一切xeR恒成立，求实数a的取值范围.

2021年2021届高三全国卷II高考压轴考试卷

数学(理)参考答案

1.【答案1C

【解析】：解:因为8={x[(x+1)(x—2)<0,xE4={x|-KK2,XWZ={0,1},

/={1,2,3),所以4U8={0,1,2,3).

故选:C.

2.【答案】:C

【解析】：根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：玉«(),”)，"<l+sinx

本题正确选项：C

3.【答案】：C

(角星析]：--=z'=l—z=i(l+z)=z'+izol—i=(l+i)zoz=----"、：)----i

1+z7'，1+i(l+z)(l-z)

则z的虚部为-1

故选：C

4.【答案】：A

jrjr27r

【解析】：试题分析：由题图知，A=2,最小正周期7=2[丁-(-/)]=乃，所以。=一=2,所

36冗

TTTT27r

以丫=2$皿2犬+9).因为图象过点(§,2),所以2=2sin(2xg+。)，所以$皿丁+9)=1,所以

—+(p=2k7T+—(keZ),令Z=0,得。=一/，所以y=2sin(2x-"),故选A.

32o6

5.【答案】：C

【解析】:

如图

3

x+y=2x-2

；八=所以点A

x-3y=01

当目标函数的一条等值线2x+y=0过点A时，目标函数会取最大值

317

所以2x+)，的最大值是2乂2+5=万

故选：C

6.【答案】：A

【解析】：由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体,

其中半圆柱的底面半径为3,高为1,

故其体积为：V=1ux32xl+Ix6x6)=y+I8.

故选：A

7.【答案】：A

【解析】：在1中，AB=AC=1,

所以NA为直角，

以A为原点，为x轴，AC为》轴，建立平面直角坐标系，

由丽=2函,可得(x-Ly)=2(x,y—l),

x-l=2x

即解得X=T,y=2,

y=2y-2

所以。（一1,2）,

由丽=(1,0),而=(-1,2)

所以通.加=lx（T）+0x2=T.

故选：A

8.【答案】：D

【解析】：由题意知，圆的方程为：（x-l）2+（y+l）2=2-«,则圆心为半径为万工

贝I]：2—a>0,角翠得：a<2

圆心到直线x+y-4=0的距离为:

2j2-a-8<6,解得：a>—15

综上所述：。€（-15,2）

本题正确选项：D

9.【答案】：D

【解析】：解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数〃=C：o=45,

他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数m=U+C；C；=35,

那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为P=—=■35=；7；.

n459

故选：D.

10.【答案】：C

【解析】：由于lOg34+lOg3%+…+10g3%=lOg36%…=1。83。；=91Og3%=9

/.log3%=1。5=3

由等比中项的性质，

..a3a7+a4a6—=18

故选：C

11.【答案】：C

【解析】：初始：i=K=0；

5=0+1=1,I=Z+1=2,不满足条件；s=l+2=3,i=i+l=3,不满足条件；

s=3+3=6,i=i+l=4,不满足条件；s=6+4=10"=i+l=5,不满足条件；

5=10+5=15,Z=z+1=6,不满足条件；s=15+6=21,i=i+l=7,不满足条件；

s=21+6=28,i=i+I=8,不满足条件；s=28+8=36,i=i+l=9,不满足条件；

5=36+9=45,1=1+1=10,不满足条件；$=45+10=55,i=i+l=ll,满足输出条件;

故选：C

12.【答案】：C

【解析】：当无目0,2]时，/(X)=42>'I-4,

当Z=2时，XG[2,6],此时]—

则

77

当左=3时，xe[6,14],此时]—

当攵=4时，x«14,30],此时5-146,14],

由g(x)=/(x)—log"X=0,可得/(x)=bg“x,

若0＜。＜1时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件;

若时，当对数函数经过点A时，两个图像有4个交点，

经过点时3有6个交点，

则要使两个函数有有且仅有5个零点，

则对数函数图像必须在点A以下，在点8以上,

.."(10)=3,/(22)=|,

"(10,3),《22,|),

loga10<3/>10

即满足角翠得“2，即V10<a<-x/484.

log,,22Q<22

故选：C

3

13.【答案】：--

【解析】：由于向量。=(1,m)，加=(-2,3),且&//B,

由向量平行的坐标表示,

cc3

1x3+2m=0.'.m=—

2

3

故答案为：

14.【答案】：133

【解析】：因为分数低于140的人数为：100x10x(0.005+0.018+0.030+0.022+0.015)=90,

因为分数低于130的人数为：100x10x(0.005+0.018+0.030+0.022)=75,

所以aW(130,140),

所以[(140—a)X0.015+0.01X10]X100=20,

解得a\133.

故答案为：133

15.【答案】：逝

22

【解析】：解：A,4分别是双曲线c：=一5=1的左，右顶点，尸为左焦点,

故渐近线方程为y=2x,

a

以A4为直径的圆与双曲线c的两条渐近线在x轴上方,

从左至右依次交于必力两点，如图所示，

因为FMPON,

可知三角形砸为等腰三角形，腰长为a,底边为c,底角为夕，

在△尸M0中可得，

所以tan«=2=/4,

a£

2

解得e=£=VL

a

16.【答案】：小

【解析】：.・・三棱锥S—ABC中SA=S8=SC,

二•顶点S在底面ABC上的射影D为AABC的外心,

又是以AB为斜边的等腰直角三角形，

..•点。为AB的中点.

.•.SD_L平面A8C.

如上图，设点0为三棱锥S-ABC外接球的球心，则8的长即为外接球的球心到平面ABC的

距离.

设球半径为R,则OB=R,OD=SD-SO=SD-R.

由题意得，BD=-AB=3,SD=yJSB2-BD2=3^,

2

在R/AODB中，有OB?=002+力夕，即W=G6—R)2+32,解得R=26,

0D=3邪-26=6,

即三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为6.

故答案为：石

17.【答案】：

(D%=审；⑵Tn=r-\.

Q

【解析】：解：(1)设｛《,｝的公差为d,由4=2,前3项和§3=彳，

3x2Q

则6+2d=2,=

化简得q+2d=2,q+d=；3,

解得％=1,4=J，

〃一］

故通项公式4=1+/-,

RH"+1

即4"=—­

(2)由⑴得々=1,d=心=等=8.

设也｝公比为'则/=$=8,从而4=2.

1x(1-2")_2.1

故也｝的前〃项和Tn=

1-2

18.【答案】：

4

(1)(2)分布列见解析，1

2、2

IX££

【解析】：(1)甲以3:1获胜的概率

95

27

甲以3:2获胜的概率6=

甲以2:1获胜的概率吕

121_4

则甲获胜的概率尸=片+鸟+6----1-----1----

999~9'

(2)由题意可得X的所有可能取值是0,1,2,3.

22、21、

2fl:cMlJx

p(X=O)=鬻眇c；备小c嗯I+《xX3XC3X

3J7

1117

X--------1-------1------1------——；

52161262724

、22]

(1xC；x(g)+C；x|x]_2

p(X=2)=-XX—X

1313+停xJGx

73737

1115

------1-------1------1—=—:

723618924

、3\33

fl(2、1

P(X=3)=-XX

(34----------1------——,

7572162724

75111

P(X=1)=1--------

24242424

X的分布列为

X0123

71151

p

24242424

故E(X)=0X2+1XU+2X2+3X-!-=1.

\)24242424

19.【答案】：

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】：(1)由。、上分别为AB、AC中点，可得DE//BC,由DEu面如£BCU面PDE,

可得8C〃平面PDE-,

⑵由PE_L平面48aABI平面48C,可得PELAB,由⑴知OE//8C,且由题意可

PE1AB

得所以由。EJ.AB,且PE、DEu平面即E,可得ABL平面月CE

PEcDE=E

20.【答案】：

22

⑴二r+匕=1；(2)4日

164

【解析】：解：(1)由题意可知，c=26,

根据e*#,得"4,6=2,

f2

椭圆c的方程为---1--------=1.

164

(2)设直线/的方程为y=履(�),

y=kx

22

由＜土+匕=1,

1164

44

得西二后三，布7'

河=J(再-31+(七-

二仲”止苏.

RI

点4到直线/的距离〃

当k<0时,

<41+-.4=472

{2吐(5),

当且仅当％=-；时，等号成立，

所以SMMN的最大值为472.

21.【答案】：(1)答案见解析；(2)«>1.

【解析】：(1)r(x)=(2a^-l)(e'+l),

当awo时，1f(x)<0,f(x)在R上单调递减;

当时,由小)>。得一吟;由人)<。得,

x<ln—.

2a

故/(X)在卜8,In?)递减，在(in?,递增.

/Xn(三、三穴

(2)由/得，aZ+(2«-l>?_£>o,ae"+2/>e7+1,/.£z>0.

①当时，由(1)知，/⑴在[0,物)上单调递增，.•./a)2/(0)=3a—12(3a—l)cosx,

②当0<"g时，令g(x)=/(x)—(3a—l)cosx,

贝I]g'(x)=2a*+(2a-l)ev-l+(3a-l)sinx>f'(x)-|3a-l|,

g'(O)=4a-2<0,g(())=0,

当g<a<；时，g'(x)>f，(x)—|3a—1|=2a^x+(2a-Y)ex-3a,

,[1—2a+J28a—-4a+1八

由2ae7"+(2a-l)e"-3a=0得，x=\n------------------->0,

4a

\/

...X2山l-2a+，28a2-4a+l时,g，(x)>g>(皿1-2"+一4“+1L,

4a14al

从而，由零点存在定理知，存在工€o,E匕巴士与三亘，使得g，(Xo)=O.

X.

当无«0,尤0)时，，⑴V0,此时，g(x)Kg(0)=。,不合题意

当0<aWg时，g'(x)>/'(x)_|3a-1|=2ae2x+(2z7—1)ev+3tz-2,

,?.1_2〃+J_•20a、+12〃+1

由2〃/'+(2。-1)^+3〃-2=0得，x=ln--------------------->0,

4a

\7

XNIn1-2a+J-20>